解三角形的幾種構造方法

褚洪訪

【摘要】利用解直角三角形解決實際問題的關鍵是化“斜”為“直”，往往通過作垂線把斜三角形轉化為直角三角形，通過解直角三角形達到解斜三角形的目的.

【關鍵詞】解直角三角形；化斜為直；構造直角三角形

利用解直角三角形解決實際問題是每年中考必考內容，解決這類問題的關鍵是運用“化斜為直”的數學思想方法，即根據題意確定或構造出直角三角形，進而應用解直角三角形的知識解決問題．常見的構造的方法主要有如下幾種：

1遇30°，45°，60°作三角形內部垂直

（1）三角形中含有30°，45°，60°特殊角，在三角形內部作垂直，構造直角三角形；

（2）構造“背靠背”型直角三角形，利用特殊角的三角函數值，求出未知線段的長度．

（3）基本圖形如圖1.

例1如圖2，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處遇險，發出求救信號．一艘救生船位于燈塔C的南偏東40°方向上，同時位于A處的北偏東60°方向上的B處，救生船接到求救信號后，立即前往救援．求AB的長（結果取整數）．參考數據：tan40°≈0.84，3≈1.73．

分析通過作垂線，構造直角三角形，利用銳角三角函數的意義列方程求解即可．

解如圖3，過點B作BH⊥CA，垂足為H．

根據題意∠BAC=60°，

∠BCA=40°，CA=257．

在Rt△BAH中，

tan∠BAH=BHAH，

cos∠BAH=AHAB，

所以BH=AHtan60°=3AH，

AB=AHcos60°=2AH．

在Rt△BCH中，tan∠BCH=BHCH，

所以CH=BHtan40°=3AHtan40°．

又CA=CH+AH，

所以257=3AHtan40°+AH，

可得AH=257tan40°3+tan40°，

所以AB=2×257tan40°3+tan40°

≈2×257×0.841.73+0.84=168．

答：AB的長約為168海里．

點評本題考查了解直角三角形的應用，構造高線構造出直角三角形，并靈活解之是解題的關鍵．

2遇120°，135°，150°反向延長，作垂直

（1）三角形為鈍角三角形，且鈍角為120°，135°，150°，反向延長作垂直；

（2）構造“母子”型直角三角形，利用特殊角的三角函數值求解．

（3）基本圖形如圖4.

例2某天，北海艦隊在中國南海例行訓練，位于A處的濟南艦突然發現北偏西30°方向上的C處有一可疑艦艇，濟南艦馬上通知位于正東方向200海里B處的西安艦，西安艦測得C處位于其北偏西60°方向上，請問此時兩艦距C處的距離分別是多少？

分析如圖5，過點C作CD⊥BA的延長線于點D，由題意可證明△ABC為等腰三角形，所以AC=AB=200海里．再求出CD的距離，最后根據BC=2CD求BC的長．

解過點C作CD⊥BA的延長線于點D，如圖．

由題意可得∠CAD=60°，

∠CBD=30°=∠DCA，

所以∠BCA=∠CAD-∠CBD

=60°-30°=30°，

即∠BCA=∠CBD，

所以AC=AB=200（海里）．

在Rt△CDA中，

CD=sin∠CAD×AC=32×200

=1003（海里）．

在Rt△CDB中，CB=2CD=2003（海里）．

故位于A處的濟南艦距C處的距離200海里，位于B處的西安艦距C處的距離2003海里．

點評本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵在于把實際問題轉化為直角三角形來求解．

3遇75°，105°將其分解為兩個特殊角，作垂直

（1）三角形中含有75°，105°，可分解為30°，45°，60°特殊角；

（2）利用特殊角的三角函數值求解．

（3）基本圖形如圖6.

例3為了豐富學生的文化生活，學校利用假期組織學生到紅色文化基地A和人工智能科技館C參觀學習，如圖7，學校在點B處，A位于學校的東北方向，C位于學校南偏東30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+303）km處．學生分成兩組，第一組前往A地，第二組前往C地，兩組同學同時從學校出發，第一組乘客車，速度是40km/h，第二組乘公交車，速度是30km/h，兩組同學到達目的地分別用了多長時間？哪組同學先到達目的地？請說明理由（結果保留根號）（2020年朝陽）

分析過點B作BD⊥ AC于D，在Rt△BCD中證得BD=CD，設BD=x，則CD=x，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函數定義或勾股定理表示出AD的長，在Rt△BDC中，利用三角函數表示出CD的長，由AD+CD=AC列出方程問題得解．

解作BD⊥AC于D．

依題意得∠BAE=45°，

∠ABC=105°，∠CAE=15°，

所以∠BAC=30°，

∠ACB=45°．

在Rt△BCD中，

∠BDC=90°，∠ACB=45°，

所以∠CBD=45°，

所以∠CBD=∠DCB，

BD=CD.

設BD=x，則CD=x，

在Rt△ABD中，∠BAC=30°，

所以AB=2BD=2x，tan30°=BDAD，

所以33=xAD，AD=3x.

在Rt△BDC中，

∠BDC=90°，∠DCB=45°，

所以sin∠DCB=BDBC=22，

BC=2x，

因為CD+AD=30+303，

所以x+3x=30+303，

所以x=30，AB=2x=60，

BC=2x=302，

第一組用時：60÷40=1.5（h）；

第二組用時：302÷30=2（h）.

因為2<1.5，

所以第二組先到達目的地.

答：第一組用時1.5小時，第二組用時2小時，第二組先到達目的地．

點評本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線面構造直角三角形解決問題．

4遇“組合圖形”將其分割為特殊圖形與三角形

（1）組合圖形可以通過作輔助線，將圖形分割成矩形和直角三角形；

（2）利用銳角三角函數求解．

（3）基本圖形如圖8.

例4時代中學組織學生進行紅色研學活動．學生到達愛國主義教育基地后，先從基地門口A處向正南方向走300米到達革命紀念碑B處，再從B處向正東方向走到黨史紀念館C處，然后從C處向北偏西37°方向走200米到達人民英雄雕塑D處，最后從D處回到A處．已知人民英雄雕塑在基地門口的南偏東65°方向，求革命紀念碑與黨史紀念館之間的距離（精確到1米）．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

分析過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，由銳角三角函數定義求出CF≈120（米），DF≈160（米），再證四邊形BFDE是矩形，得BF=DE，BE=DF=160米，則AE=AB-BE=300-160=140（米），然后由銳角三角函數定義求出DE≈299.60（米），即可求解．

解過D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如圖9所示.

由題意得∠CDF=37°，CD=200米，

在Rt△CDF中，

sin∠CDF=CFCD=sin37°≈0.60，

cos∠CDF=DFCD=cos37°≈0.80，

所以CF≈200×0.60=120（米），

DF≈200×0.80=160（米），

因為AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，

所以∠B=∠DFB=∠DEB=90°，

所以四邊形BFDE是矩形，

所以BF=DE，

BE=DF=160米，

所以AE=AB-BE=300-160

=140（米），

在Rt△ADE中，

tan∠DAE=DEAE=tan65°≈2.14，

所以DE≈AE×2.14=140×2.14

=299.60（米），

所以BF=DE≈299.60（米），

所以BC=BF+CF=299.60+120

≈420（米）.

答：革命紀念碑與黨史紀念館之間的距離約為420米．

點評本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，熟練掌握方向角的定義和銳角三角函數定義，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．