用面積解幾何問題

崔濤

【摘要】 用面積法來解幾何題，將幾何元素之間的關系變成數量之間的關系，往往能使問題順利獲解.

【關鍵詞】 面積法；幾何元素；不變性

一些數學問題，表面上看似與面積無關，但巧借面積建立各種幾何量之間的聯系，往往能使問題順利獲解.下面舉例說明面積法在解幾何問題中的應用.

1 利用同一個圖形的面積不變性解題

從不同的角度使用面積公式來表示同一個圖形的面積，列出方程后即可求出未知的量.

例1 如圖1，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點D和點E，AD與CE交于點O，連接BO并延長交AC于點F，若AB=5，BC=4，AC=6，則CE∶AD∶BF值為.

分析 根據三角形三條高線交于一點，可得BF⊥AC，再根據三角形面積是一定的，即可得到CE∶AD∶BF值．

解 因為在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點D和點E，AD與CE交于點O，

所以BF⊥AC，

因為AB=5，BC=4，AC=6，

所以S△ABC=12BC·AD=12AB·CE

=12AC·BF，

所以S△ABC=2AD=52CE=3BF，

所以CE∶AD∶BF=12∶15∶10．

注 本題考查了三角形的高以及三角形的面積，解題的關鍵是掌握“三角形的三條高交于一點”，熟練掌握三角形面積公式，難點是得到BF⊥AC．

例2 如圖2，菱形ABCD中，對角線AC=10，BD=24．則菱形的高等于.

分析 由題意，得菱形的面積=12×10×24=120，設菱形的高為h，則菱形的面積=AB·h=13h=120，即可求解.

解 由題意得，菱形的面積=12×10×24=120，

因為AC=10，BD=24，

則AO=5，BO=12，

由勾股定理 AB=AO2+BO2=13，

設菱形的高為h，則菱形的面積=AB·h=13h=120，

解得h=12013.

注 本題考查的是菱形面積的計算方法，利用兩種不同方法求解菱形面積是本題解題的關鍵.

2 利用兩個圖形之間面積的比解題

常用結論：（1）等底等高的兩個三角形的面積相等;（2）等底不等高的兩個三角形面積的比等于其對應高的比;（3）等高不等底的兩個三角形面積的比等于其對應底的比.

例3 如圖3，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=.

分析 連接ED，由BE是△ABC的中線，得到

S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，

由BF=3FE，得到

S△ABFS△AFE=3，S△BFDS△FED=3，

設S△AEF=x，S△EFD=y，

由面積的等量關系解得x=53y，最后根據等高三角形的性質解得S△ABDS△ADC=BDDC，據此解題即可．

解 連接ED，因為BE是△ABC的中線，

所以S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，

因為BF=3FE，

所以S△ABFS△AFE=3，S△BFDS△FED=3，

設S△AEF=x，S△EFD=y，

所以S△ABF=3x，S△BFD=3y，

所以S△ABE=4x，S△BEC=4x，S△BED=4y，

所以S△EDC=S△BEC-S△BED=4x-4y，

因為S△ADE=S△EDC，

所以x+y=4x-4y，

所以x=53y，

所以△ABD與△ADC是等高三角形，

所以S△ABDS△ADC=BDDC=3x+3yx+y+4x-4y=3x+3y5x-3y

=3×53y+3y5×53y-3y=8y163y=32．

注 本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．

3 利用面積的可分性解題

將圖形分成若干個小三角形，利用其整體面積等于各部分面積的和建立關于條件和結論的表達式，從而解決問題.

例4 如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，按下列步驟作圖：

步驟1：以點A為圓心，小于AC的長為半徑作弧分別交AC，AB于點D，E．

步驟2：分別以點D，E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧交于點M．

步驟3：作射線AM交BC于點F．

則AF的長為（? ）

（A） 6. （B）35. （C）43. （D）62.

分析 利用基本作圖得到AF平分∠BAC，過F點作FH⊥AB于H，如圖，根據角平分線的性質得到FH=FC，再根據勾股定理計算出AC=6，設CF=x，則FH=x，然后利用面積法得到12×10·x+12×6·x=12×6×8，解得x=3，最后利用勾股定理計算AF的長.

解 由作法得AF平分∠BAC，過F點作FH⊥AB于H，如圖4，

因為AF平分∠BAC，

FH⊥AB，FC⊥AC，

所以FH=FC，

在△ABC中，因為 ∠C=90°，

AB=10，BC=8，

所以AC=AB2-BC2=6.

設CF=x，則FH=x，

因為S△ABF+S△ACF=S△ABC，

所以12×10·x+12×6·x=12×6×8，

解得x=3，

在Rt△ACF中，

AF=AC2+CF2=35．

故選（B）.

注 本題考查了基本作圖以及角平分線的性質．

例5 如圖5，在ABCD中，對角線BD=8cm，AE⊥BD，垂足為E，且AE=3cm，BC=4cm，則AD與BC之間的距離為.

分析 設AB與CD之間的距離為h，由條件可知ABCD的面積是△ABD的面積的2倍，可求得ABCD的面積，再S四邊形ABCD＝BC·h，可求得h的長．

解 因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以AB＝CD，AD＝BC，

在△ABD和△BCD中，AB=CD，BD=DB，AD=BC，

所以△ABD≌△CDB（SSS），

因為AE⊥BD，

AE＝3cm，BD＝8cm，

所以S△ABD＝12BD·AE＝12×8×3＝12（cm2），

所以S四邊形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，

設AD與BC之間的距離為h，

因為BC＝4cm，

所以S四邊形ABCD＝12BC·h＝4h，

所以4h＝24，

解得h＝6cm．

注 本題主要考查平行四邊形的性質，由條件得到四邊形ABCD的面積是△ABC的面積的2倍是解題的關鍵，再借助等積法求解使解題事半功倍．