歸納四類常用一元二次方程的解法

宋萬民

【摘要】 學習一元二次方程時，它的解法是基礎也是重點，應該值得我們的重視.一元二次方程的四類常用基本解法歸納如下：一、直接開平方法；二、配方法；三、運用公式法；四、分解因式法.

【關鍵詞】 一元二次方程解法;直接開平方法;配方法;運用公式法;分解因式法

我們知道只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成形如ax2+bx+c=0的形式.這種形式就是一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

學習一元二次方程時，它的解法是基礎也是重點，應該值得我們的重視.一元二次方程的四類常用基本解法歸納如下：

1.直接開平方法

把方程ax2+c=0（a≠0）化成x2=-ca的形式，當-ca≥0時，兩邊同時開平方得x=±-ca.這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.

例 用直接開平方法解方程：12（x+3）2=2.

解 方程兩邊都乘以2，得（x+3）2=4，兩邊同時開平方得x+3=±2，整理得x1=-1，x2=-5.

說明 直接開平方法適用于x2=c（c≥0）形式的一元二次方程的求解.這里的x既可以是字母，單項式，也可以是含有未知數的多項式.換言之：只要經過變形可以轉化為x2=c（c≥0）形式的一元二次方程都可以用直接開平方法求解.

2.配方法

用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步驟是：將一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c=0（a≠0）；把常數項移到方程的右邊，得ax2+bx=-c；方程的兩邊都除以二次項系數，使二次項系數為1，得x2+bax=-ca；方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方，得x2+bax+b2a2=ca+b2a2；把方程的左邊變形為一次二項式的完全平方，右邊合并成一個常數，得x+b2a2=b2-4ac4a2；當b2-4ac≥0時，方程兩邊同時開平方，得x+b2a=±b2-4ac2a；進一步整理可得一元二次方程的兩個根，即

x1，2=-b±b2-4ac2a.

例 用配方法解方程：

4x2+1=7-4x.

解 原方程可化為為x2+x=64，方程兩邊同時加上一次項系數的一半的平方，得

x2+x+122=64+122，

整理得x+122=74，

直接開平方得

x+12=±72，

所以x1=-12+72，

x2=-12-72.

說明 通常不用配方法解一元二次方程，因為配方法是推導公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了.但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好.（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）.

3.運用公式法

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）進行配方，當b2-4ac≥0時，可得一元二次方程的兩個根，即x1，2=-b±b2-4ac2a.這具有廣泛的代換意義，只要是有實數根的一元二次方程，均可將a，b，c的值代入兩根公式中直接解出，所以把這種用求根公式解一元二次方程的方法稱為求根公式法，簡稱公式法．

例 用公式法解一元二次方程：x2+2=22x.

解 原方程化為一般形式為

x2-22x+2=0，

由此可知a=1，b=-22，c=2，

所以b2-4ac=（-22）2-4×1×2=0，

所以x=-（22）±02×1=2，

即x1=x2=2.

說明 由求根公式可知

x1，2=-b±b2-4ac2a，

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由系數a，b，c的值決定的；應用求根公式可解任何一個有解的一元二次方程，但應用時必須先將其化為一般形式.

4.分解因式法

把一元二次方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

例 解下列一元二次方法：

（1）3x2-6x=0;

（2）2（x-3）2=x2-9.

解 （1）原方程可化為x（3x-6）=0，

所以x=0或3x-6=0，

即x1=0，x2=63=23.

（2）原方程可化為2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，方程左邊分解因式得

（x-3）［2（x-3）-（x+3）］=0，

整理得（x-3）（x-9）=0，

所以x-3=0或x-9=0，

即x1=3，x2=9.

說明 因式分解法只適用于左邊易于分解而右邊是零的一元二次方程，即可化為a·b=0的形式，從而得a=0或b=0.這種解法的實質就是“降次”，將一個一元二次方程，化為兩個一元一次方程.

練習

用適當方法解下列一元二次方程：

（1）2（2x-1）2=18.

（2）x2-2x=224.

（3）2x2-5x-1=0.

（4）（4x+1）（x-1）=（3x-1）（x-1）.

總結 要合理地選用適當的方法解一元二次方程，就必須熟悉各種方法的優缺點，處理好特殊方法和一般方法的關系.就直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法這四種方法而言，配方法、公式法是一般方法，而直接開平方法、因式分解法是特殊方法.

（1）公式法是最一般的方法，只要明確了二次項系數、一次項系數和常數項，若方程有實根，就一定可以用求根公式求出根，但因為要代入一元二次方程的求根公式x1，2=-b±b2-4ac2a求值，所以對某些方程，解法又顯得復雜了.如（1），可以直接開平方，就能馬上得出解；若此時還用求根公式就顯得繁瑣了.

（2）配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到簡便的作用.若方程中的一次項系數有因數是偶數，則可使用，計算量也不大.如（2），因為224比較大，分解時較繁，此題中一次項系數是-2.可以利用用配方法來解，經過配方之后得到x2-2x+1=224+1（x-1）2=225，顯得很簡單.

（3）直接開平方法一般解符合x2=c（c≥0）型的方程，如第（1）小題.

（4）因式分解法是一種常用的方法，它的特點是解法簡單，故它是解題中首先考慮的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數系數因式或系數較大難以分解時，應考慮變換方法.

以上各題請同學們用其他方法做一做，再比較各種方法的優缺點，體會如何選用合適的方法，上面給出常規思考方法，僅作參考.