整體最小二乘法坐標轉換在河道測量中的應用

馬世龍,巫蘭光,李宏超

(河南測繪職業學院，河南 鄭州 450046)

1 引言

在水利工程河道建設中，河道測量作為貫穿施工全過程的非常重要的基礎性工作，河道測量的精度直接決定了整個水利工程的質量、成本與進度。在進行河道測量時，由于河道線較長，需要跨域多個省市，經常會遇見不同地區或不同系統之間進行坐標系轉換的問題。對于傳統平面直角坐標系之間的轉換，通常做法是選取2～3個在兩套坐標系中均有坐標值的公共點，將公共點的坐標值視為無誤差的真值，先利用公共點坐標反算出坐標轉換參數，然后再通過參數轉換模型來求解目標坐標系下坐標值[1]。但是，傳統的平面坐標轉換方法未考慮到公共點坐標在獲取過程中觀測誤差對其產生的影響，在轉換精度上存在較大的缺陷，不適合應用在精密工程測量中[2～4]，如高鐵軌道測量、壩體形變測量等。近幾年，隨著對坐標系轉換研究的不斷深入，國內外一些專家學者將最小二乘法引入到坐標轉換中，并取得了一定的成果，如楊元興等[5]利用最小二乘法原理，詳細推導了平面坐標轉換的計算步驟，為其在轉換模型精度上的改進提供參考；黃坤陽等[6]將改進最小二乘算法應用到天文定位時轉換參數的求解，通過不同方法對比驗證了改進的最小二乘法解算出的參數值精度更高；項偉等[7]引入阻尼最小二乘法解決了因轉換角過大導致的參數計算誤差大的問題。雖然最小二乘法在一定程度上提高了坐標轉換精度，但該方法在參數解算中僅考慮了公共點單向誤差，在實際應用中具有一定的局限性[8，9]。河道測量作業環境復雜，容易受到人為、儀器以及外界環境等方面的綜合影響，導致施測過程中公共點坐標在原坐標系和目標坐標系中同時存在誤差，因此，使用最小二乘法對模型參數求解難以滿足坐標轉換高精度的要求。綜合以上問題，本文在充分考慮公共點誤差對坐標轉換精度影響的前提下，將整體最小二乘法應用到平面直角坐標轉換參數求解中，以獲取更高精度的坐標轉換成果。

2 平面坐標轉換模型

二維四參數模型常被用于平面直角坐標系之間的相互轉換，模型轉換方程如下[10]：

(1)

式(1)中，(XT、YT)為公共點在目標坐標系中坐標值，(XG、YG)為公共點在原坐標系中坐標值，(Δx、Δy)為兩坐標系平移參數，α為兩坐標系坐標軸之間的旋轉參數，λ為縮放尺度參數。公式中共有4個未知轉換參數，分別為(Δx、Δy、Δz、α)，如果要求解這些未知轉換參數，至少需要已知2個或2個以上公共點在2套坐標系下的坐標值。對式(1)進行變換，可以寫成式(2)形式：

式(2)中，a=λcosα，b=λsinα。

假設觀測值向量存在誤差，則誤差方程用向量形式進行表示，結果如式(3)：

(3)

采用經典最小二乘法對誤差方程進行求解，要求VTPV=min[11]，其中P為觀測值權陣。

3 整體最小二乘法坐標轉換

3.1 整體最小二乘法誤差方程

利用經典最小二乘法在計算坐標轉換參數時，僅考慮觀測向量的誤差，忽略了系數矩陣本身存在的誤差，但在實際測量工作中，由于人為誤差、模型誤差和儀器誤差等因素的影響，系數矩陣同樣也是含誤差的觀測量[12]，因此，采用最小二乘法解算出的坐標轉換參數精度并不高。鑒于經典最小二乘法存在的問題，本節將討論如何用整體最小二乘法解算坐標轉換參數，整體最小二乘法同時考慮了系數矩陣和觀測值含有的誤差。將式(3)加入系數矩陣誤差b，可得整體最小二乘法誤差方程的計算公式為：

(4)

式(4)中，b為系數誤差矩陣，其它符號含義同式(3)。

3.2 整體最小二乘法誤差方程求解

對于式(4)的解算，目前常用方法有奇異值分解法(SVD分解法)[13]、拉格朗日函數法[14]、正交三角分解法(QR分解法)[15,16]、分裂迭代法等[17]，但上述方法計算過程均較為復雜，不僅計算工作量大，而且要求具備一定的數學基礎[18]。本文對整體最小二乘法解法將依據文獻[19]，參考整體最小二乘法在線性回歸建模和解法的案例，分析整體最小二乘法在平面直角坐標轉換中參數的求解過程。假設已知公共點在兩套坐標系中均存在誤差，在原坐標系中坐標誤差改正值為(VXG、VYG)，在目標坐標系中對應的誤差改正值為(VXT、VYT)，則相應的條件方程式(2)可寫成以下形式:

(5)

(6)

V=[VXTVYTVXGVYTG]T，

按照最小二乘法VTPV=min的原則構造條件極值函數，可得坐標轉換參數改正數的解為：

當公共點在兩坐標系中的坐標值均為同精度獨立觀測時，那么權陣P可視為單位陣，則式(7)簡化為：

(8)

兩坐標系中公共點坐標值的改正數向量為：

(9)

經式(9)改正后的公共點坐標值，按式(1)重新計算坐標轉換參數，即為整體最小二乘法所得坐標轉換參數的解。如果一次改正后仍不滿足精度要求，可重復以上計算步驟，直至滿足精度后結束。

4 應用實例

4.1 方案設計

為檢驗整體最小二乘法在坐標轉換上的精度，本文與經典最小二乘法的坐標轉化精度進行對比。公共點選擇某河道控制網中8個同時具有國家2000坐標和西安80坐標的控制點，其中D1-D6前6個控制點沿河道分布情況如圖1所示，控制點坐標經加密處理后的坐標值見表1。本文驗證設計方案如下：

圖1 控制點沿河道分布

(1)將D1-D6前6個控制點坐標用于經典最小二乘法和整體最小二乘法對坐標轉換參數的求解，使用最小二乘法對參數求解時，將國家2000坐標系視為無誤差的觀測值。D7、D8后2個點用于檢驗這兩種方法坐標轉換精度。

(2)整體最小二乘法轉換參數求解時，先把經典最小二乘法解算出坐標轉換參數作為整體最小二乘法轉換參數的初值，再由式(8)計算整體最小二乘法坐標轉換參數的改正數，然后根據式(9)對控制點在兩套坐標系中的坐標初始值進行改正，并用改正后坐標值重新計算新的坐標轉換參數值，本方案對坐標值改正一次即可。

(3)分別用以上2種方法解算出的坐標轉換參數值，將D7、D8兩點坐標值從原80西安坐標系轉換至目標2000國家坐標系，把轉換出的坐標值與表1中給出的理論坐標值進行精度對比，并計算出最大點位誤差。

表1 公共點在兩套坐標系中坐標值

4.2 轉換參數解算及精度分析

根據該河道已有觀測資料可知，D1-D6控制點位于同一個GPS控制網中，控制點在兩套坐標系中的坐標值均使用TOPCON HiperII G型號儀器進行了同精度獨立觀測，并采用Trimble Business Center軟件進行了基線解算和平差計算。因此，各控制點坐標值在精度上的權重相等，權陣可視為單位陣。為方便坐標參數轉換求解，本文利用MATLAB軟件對參數計算過程進行了編程[20]，則由前6個公共點分別用最小二乘法和整體最小二乘法解算出的坐標轉換參數結果如表2所示。

根據表(2)解算出的兩組坐標轉換參數值，按式(1)4參數模型依次將D7、D8兩點坐標從84西安坐標系轉換至2000國家坐標系(以下簡稱“轉換值”)，表3和表4分別為這2種方法的轉換成果。與表1中D7、D8兩點的理論坐標值相比，使用經典最小二乘法解算出的轉換值和理論坐標值的最大較差為0.015 m，最大點位誤差為0.017 m，而使用整體最小二乘法解算出的轉換值和理論坐標值的最大較差僅為0.003 m，最大點位誤差為0.003 m，結果驗證了使用整體最小二乘法計算坐標轉換參數，進而轉換出的坐標值更接近理論坐標值，點位誤差相對更小，表明該方法與經典最小二乘法相比，具有更高的精度。綜上可得，如果公共點在兩套坐標系中坐標值均存在觀測誤差情況下，使用整體最小二乘法計算出的坐標轉換參數，更接近真值，具有更強的抗誤差干擾能力，可適用于對測量精度要求更高的河道測量工作中。

表3 用經典最小二乘法計算檢核點坐標

表4 用整體最小二乘法計算檢核點坐標

5 結語

本文將整體最小二乘法應用到平面直角坐標轉換的問題研究上，并結合工程實例，與經典最小二乘法坐標轉換精度進行了對比。通過分析表明，整體最小二乘法能夠更好地解決平面坐標轉換中公共點坐標在原坐標系和目標坐標系均含有誤差的弊端，完成平面坐標轉換參數的精確解算，從而實現高精度的平面直角坐標轉換。在實際河道測量中，由于控制點離水面較近，臨河區域內地質較軟，埋設控制點標石極易發生沉降或位移，導致控制點的坐標值中不僅含有偶然誤差，也可能因位移量過大產生粗差，本文未充分考慮粗差對坐標轉換精度的影響，有待于進一步的研究和完善。