解析幾何運算細節的優化策略及教學建議*

趙 剛 (江蘇省徐州市第一中學 221002)

丁永剛 (江蘇師范大學數學與統計學院 221116)

縱觀近幾年高考解析幾何試題可見其主要特點：一是以過特殊點的直線與圓錐曲線相交為基礎設計“連環題”，結合曲線的定義及幾何性質，利用待定系數法先確定曲線的標準方程，再進一步研究弦長、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的位置關系為基礎設計“連環題”；三是判斷曲線和直線位置關系，綜合性較強，往往與向量(共線、垂直、數量積)結合，涉及方程組聯立、根的判別式、根與系數的關系、弦長問題等，試題運算量較大，需要繁雜的討論，不但會影響解題的速度，甚至會導致學生“望題興嘆”“望而卻步”.學生在求解解析幾何問題時，往往能夠理解數學對象，但在設計運算程序時往往會有比較大的偏差.這就導致一部分學生在解題時運算量偏大，無法算出正確結果[1].為了提高運算效率，筆者通過實例說明解析幾何中運算細節的優化策略，歸納出解決此類問題的一些方法和技巧.

1 運算優化策略

1.1 重視定義，揭示本質

反思 涉及焦點與拋物線上的點時，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜的計算[2].定義是性質的“根基”，牢記圓錐曲線的定義，將定量的計算和定性的分析有機結合，可大大降低運算量.

1.2 抓住零元，優化設線

解析幾何中經常會碰到過定點(a,0)的直線問題，對此學生往往會分類處理，將直線設為y=k(x-a)或x=a，筆者建議將直線設為x=my+a.兩種設法雖然都很簡潔，但運算量卻相差很大.

圖1

解法1①當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x-2)(常規設法).

②當直線l斜率不存在時，易得A,B兩點 坐標分別為(2,1)，(2,-1)，故AB=2.此時S△OAB=2.

解法2由題意可知直線l的斜率不為0，故可設其方程為x=my+2.

反思 解法2的算法簡潔，運算量小.事實上，解法1中將直線l的方程設為y=k(x-2)，與橢圓聯立后所得方程(1+4k2)x2-16k2x+16k2-8=0形式復雜，參數k出現頻數較多，直接導致了后續運算量增大.而解法2將直線l的方程設為x=my+2，與橢圓聯立后所得方程(m2+4)y2+4my-4=0形式簡潔，參數m出現頻數較少，所以后續運算量也比較小.如果廣義理解直線l斜截式方程y=kx+b的本質，抓住其簡潔的特征是因為直線l所過的定點(0,b)恰好在y軸上，那么用對偶的思想去分析就會得到，當直線l所過的定點(a,0)在x軸上時，就應該把直線l的方程設為x=my+a.這種設法使方程達到最簡，其根本原因是充分利用了“0”元素.

1.3 巧用不等式，化簡分式

反思 在具體解題中需要關注分式結構特征，通過調配系數，使得分式滿足基本不等式的使用條件，從而實現簡化運算.

1.4 借助同構，簡化計算

當題目中出現圖形對等，并且圖形滿足的條件相似時，就具備了同構法的使用條件.

例3已知拋物線y2=2x上三點A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓M:(x-2)2+y2=1的兩條切線，求直線BC的方程.

圖2

反思 解法1思路清晰，但是計算量很大且易錯.如果注意到題目中AB,AC均為圓M的切線，說明AB,AC地位相同，且點B與點C均在拋物線y2=2x上，故只要求出點B的坐標所滿足的關系，就可以得到點C的坐標所滿足的關系，從而得到直線BC的方程.解法2利用點B與點C結構相同，通過探求點B滿足的關系，從而求得點C的關系，巧妙地規避了復雜的運算，這種算法充分說明在運算中要注重探究運算思路，避免單純機械的計算.

1.5 利用曲線系，巧求切線

解法1(常規解法)設所求切線方程為y-1=k(x-2),

反思 運用這種解法非常簡潔，對于求圓及橢圓這種閉合曲線上一點處的切線方程均可以采用此法來簡化運算.需要注意的是，借助這種方法求切線方程，必須先把切點表示成特殊的“曲線”形式，即與所給曲線結構相同才可以，否則令λ=-1就得不到切線方程.

1.6 點代平方差，簡化問題

圖3

解法2通過數式變形，使得問題可以直接借助韋達定理解決，算法清晰簡潔，計算復雜程度降低.

1.7 通過平幾，化簡轉化

解析幾何源于平面幾何，在解題過程中，運用相關的平面幾何性質，常常能達到事半功倍的效果.

在例5的求解過程中，如果注意利用雙曲線的幾何性質“雙曲線上任意一點M與關于原點對稱的兩點A,B的連線MA,MB斜率之積為定值”,則可以大大簡化計算.

反思 題目中出現多個點和多條線時，設點還是設線，理清“點變”中不變的本質，會減少計算量[2].不同的選擇往往直接影響后續的計算量和難度.從例5的探究中可以發現，幾何性質的運用可以在一定程度上簡化運算.而學生在解題時能否挖掘到一些幾何性質，則取決于學生平時的積累.這就要求教師在平時的教學中，要注重對學生探究能力的培養，注意結合幾何圖形開展探究，鼓勵學生大膽設想、推導，引導學生結合圓錐曲線定義及圖形對稱等角度進行論證，并通過師生互動、生生互動等方式進行研討，從而整體提升學生的探究能力及教師的教學水平.

2 解析幾何教學建議

弗賴登塔爾說過：“老師不該將數學定義、規則、算法灌輸給學生，應該讓學生體驗、發現數學知識.”傳統教育理念下的教師在課堂上一個人唱獨角戲，獨自完成知識傳授，而新教育理念下教師改進學生的學習方式，讓學生展示自己的思維過程.“舉一反三”是接受學習的寫照，學習方式的轉變關鍵不在于是“發現的”還是“接受的”，而在于學生數學思維的參與程度.在解析幾何的教學中，筆者使用了上述多種運算優化策略，一題多解、一題多變、層層遞進，解題思路都是在與學生的互動碰撞中產生的，學生思維的創造性、深刻性得到了真正的訓練,真正實現了深度學習.

解析幾何教學要從數學基本技能出發，提高學生的數學素養，同時體現顯性目標(雙基)和隱性目標(數學能力、理性精神).

2.1 教學目標由“知識中心”向“能力中心”轉變

教學目標應由“關注知識傳輸”向“關注能力提升”轉變，解析幾何教學要關注學生計算的實際水平，安排合理的計算程序，使其計算更高效.課程設計由“傳統的知識灌輸”轉向“教改后引導活動”，讓學生在簡化計算的活動中獲得自信.培養學生勤于動手的良好學習風貌.當前，“滿堂灌”已被教師摒棄,但是“滿堂問”卻比比皆是.滿堂問實則為“按教師設計程序”的接受式學習.探究解析幾何計算優化策略的過程中筆者給學生提供了足夠的機會，讓學生依據自己已有的知識和經驗主動建構知識體系，真正培養了學生的學科核心素養.

2.2 教學觀念由“統一規格”向“差異教育”轉變

課程目標應致力于“打好基礎，促進發展”.“一刀切、統一規格”是當前教育的一個突出問題，顯而易見，“一刀切”教育不利于人才培養.筆者在解析幾何習題計算中使用的一題多解都是由學生獨立完成，充分尊重了學生的個體差異，讓學有余力的學生在課堂上有機會體現自己的價值，真正實現了差異性教育.

2.3 認知活動由“重視結果”向“重視過程”轉變

習題只給學生對對答案是當前不少解析幾何習題課的教學現狀.過程遠比結果重要，缺少過程的結果是無源之水、無本之木.數學概念、原理、定理應引導學生通過抽象概括得出結論，過程是不能省略的，解析幾何的運算教學中，筆者引導學生重視每一個解題過程并思考如何優化計算，在過程訓練中逐漸理清解題思路.

總之，教師在教學中要不斷研究教材、研究學生、研究教法、研究習題，在解決復雜的計算時要積極引導學生，通過師生互動、生生互動、生本互動，拓寬解題思路，“從無到有，無中生有”，從各個角度給出解題探索.讓學生的解題速度“從慢到快”、解題經驗“從少到多”、解題能力“從弱到強”，“讓學習更加自然，讓備考更加輕松”，讓學生的數學品格、數學觀念、數學素養同步提升[3].