高考中幾種機械能圖像的理解與認知

許 文

(華中科技大學附屬中學)

機械能E包括動能Ek與重力(彈性)勢能Ep.物體在運動過程中,動能與勢能可能隨時間和空間的變化發生變化,其變化規律可用函數關系式和圖像兩種方式表達.圖像是反映變化關系的一種直觀手段,是一種數與形相結合的思想.與機械能有關的圖像一直倍受高考命題者的青睞,在近幾年高考中頻繁出現.本文通過典型實例解析幾種機械能圖像,幫助同學們理解機械能圖像問題.

1 Ek-x 圖像

Ek-x圖像描述的是物體的動能Ek隨位移x變化的關系.設物體受到的合力大小為F,在一段很短的位移Δx內物體動能的變化為ΔEk.由動能定理有FΔx＝ΔEk,可得.故Ek-x圖像中直線或曲線某點切線的斜率的絕對值表示物體在運動方向上受到合力F的大小.

例1(2017年江蘇卷)一小物塊沿斜面向上滑動,然后滑回到原處.物塊初動能為Ek0,與斜面間的動摩擦因數不變,則該過程中,物塊的動能Ek與位移x關系的圖線是( ).

解析設斜面傾角為θ,物塊質量為m,物塊與斜面間的動摩擦因數為μ,則物塊在斜面上運動過程中受到的動摩擦力大小Ff＝μmgcosθ不變.物塊沿斜面上滑過程中受到的合力大小F1＝mgsinθ＋Ff即為上滑過程中物塊動能Ek隨位移x的變化率,故描述物塊上滑過程的Ek-x圖像的斜率k1不變;物塊沿斜面下滑過程中受到的合力大小F2＝mgsinθ－Ff即為下滑過程中物塊動能Ek隨位移x的變化率,故描述物塊下滑過程的Ek-x圖像的斜率k2不變,且k2的絕對值小于k1的絕對值,故選項C正確.

點評物體的動能隨位移的變化率的絕對值表示物體受到的合力大小.正確分析物塊沿斜面上滑和下滑過程中受到合力的大小及特點,并結合Ek-x圖像變化率的物理意義,進而對Ek-x圖像的分布作出定性判斷.

例2(2020 年江蘇卷)如圖1 所示,一小物塊由靜止開始沿斜面下滑,最后停在水平地面上.斜面和地面平滑連接,且物塊與斜面、物塊與地面間的動摩擦因數均為常數.該過程中,物塊動能Ek與水平位移x關系的圖像是( ).

圖1

解析設物塊的質量為m,斜面傾角為θ,物塊與斜面間的動摩擦因數為μ,物塊開始下滑時到斜面底端的距離為s0.當物塊沿斜面下滑的位移s滿足0≤s≤s0,即0≤x≤s0cosθ時,有mgsinθ－μmgcosθ,由幾何關系知,可得為定值;當x＞s0cosθ時,物塊在水平面上向右滑動,有為定值,故選項A 正確.

點評物塊在斜面上運動時動能Ek隨位移s變化率的絕對值表示物體在斜面上運動過程中受到的合力大小.題給出的圖像描述的是物塊的動能Ek與水平位移x的關系,根據物塊沿斜面下滑的位移s與水平位移x的大小關系,將的表達式轉換為的表達式,根據的表達式結合圖像的物理意義,作出對圖像的定性判斷.

例3(2022年江蘇卷)某滑雪賽道如圖2 所示,滑雪運動員從靜止開始沿斜面下滑,經圓弧滑道起跳.將運動員視為質點,不計摩擦力及空氣阻力,此過程中,運動員的動能Ek與水平位移x的關系圖像正確的是( ).

圖2

解析設運動員質量為m,斜面傾角為θ,不計摩擦力和空氣阻力,由題意可知運動員在沿斜面下滑過程中,根據動能定理有Ek＝mgxtanθ,可得,故運動員沿斜面下滑過程中的Ek-x圖像為一條過原點的傾斜直線;圓弧切線的水平傾角θ先減小后增大,則運動員在圓弧軌道上運動過程中,Ek-x圖像中曲線切線斜率的絕對值先減小后增大.綜合判斷可知選項A 正確.

點評本題給出的圖像描述的是運動員的動能Ek與水平位移x的關系.運動員沿斜面下滑過程中其動能Ek與水平位移x的關系圖像中切線斜率絕對值為.圓弧軌道可看成傾角θ連續變化的斜面,根據運動員在斜面上運動的特點,結合的物理意義,即可推知運動員在圓弧軌道上運動過程中Ek-x圖像的分布情況.

2 Ek-t圖像

Ek-t圖像描述的是物體的動能Ek隨時間t變化的關系.設物體合力做功的功率為P,在一段很短的時間Δt內物體動能的變化為ΔEk.由動能定理有PΔt＝ΔEk,可得.故Ek-t圖像中直線或曲線某點切線的斜率的絕對值表示物體所受合力做功的瞬時功率P.

例4(2018年江蘇卷)從地面豎直向上拋出一只小球,小球運動一段時間后落回地面,忽略空氣阻力,該過程中小球的動能Ek與時間t的關系是( ).

解析設小球質量為m,不考慮空氣阻力,小球在運動過程中受到的合力即為小球的重力mg.小球在上升過程中速度v1逐漸減小,由P1＝－mgv1知合力的功率逐漸減小,可知小球在上升過程中Ek-t圖像為曲線,切線斜率的絕對值逐漸減小;小球在下落過程中速度v2逐漸增大,由P2＝mgv2知合力的功率也逐漸增大,小球下落過程中的Ek-t圖像為曲線,切線斜率的絕對值逐漸增大,故選項A 正確.

點評物體動能變化的快慢與合力做功的快慢有關,即與合力的功率有關.以上分析中利用了Ek-t圖像的物理意義,采用了定量與定性相結合的方法對圖像的變化進行判斷.

3 Ep-x 圖像

Ep-x圖像描述的是物體的重力勢能Ep隨豎直位移x變化的關系.設物體的質量為m,由重力做功與重力勢能的變化關系有ΔEp＝－mgΔx,得－mg.故Ep-x圖像某點切線的斜率的絕對值表示物體受到的重力大小.

例5(2020年全國卷Ⅰ)一物塊在高3.0m、長5.0m 的斜面的頂端從靜止開始沿斜面下滑,其重力勢能和動能隨下滑距離s的變化分別如圖3中直線Ⅰ、Ⅱ所示,重力加速度g取10m·s－2.則( ).

圖3

A.物塊下滑過程中機械能不守恒

B.物塊與斜面間的動摩擦因數為0.5

C.物塊下滑時加速度的大小為6.0m·s－2

D.當物塊下滑2.0m 時機械能損失了12J

解析由圖像知物塊的機械能E＝Ek＋Ep是變化的,即機械能不守恒,選項A 正確.設斜面的傾角為θ,有,可知θ＝37°.圖線Ⅰ為物體的重力勢能Ep隨物體沿斜面下滑的距離s的變化圖線,其圖像斜率,物塊的豎直位移大小x＝ssinθ,由得mgsinθ＝6N,故m＝1kg.圖線Ⅱ為物體的動能隨位移變化圖線,Ek-s圖像斜率k2＝2N,為物體所受合力的大小,即mgsinθ－μmgcosθ＝2 N,可得μ＝0.5,選項B正確.物塊沿斜面下滑時由牛頓第二定律有mgsinθ－μmgcosθ＝ma,得a＝2m·s－2,選項C錯誤.物塊損失的機械能等于克服摩擦力做的功,即Wf＝μmgscosθ＝8J,選項D 錯誤.

點評物體重力勢能隨豎直位移的變化率等于物體受到的重力大小,要注意物塊在斜面上運動的位移s與豎直位移x的大小關系.

4 Ep-t圖像

Ep-t圖像描述的是物體的重力勢能Ep隨時間t變化的關系.設物體質量為m,由重力做功與重力勢能的變化關系有ΔEp＝－mgΔx,又由Δx＝vΔt,得.故Ep-t圖像中直線或曲線某點切線的斜率絕對值表示物體重力做功的瞬時功率PG.

例6(原創)物體做自由落體運動,不計一切阻力,則在下落過程中物體的重力勢能Ep隨運動時間t的變化圖像可能是( ).

解析設物體質量為m,某時刻豎直速度大小為v,則;自由下落的物體的速度v＝gt,故重力的功率PG＝mgv隨時間增大而增大,可知選項B正確.

點評物體重力勢能的變化量的絕對值等于重力做的功,重力勢能隨時間的變化率反映了重力勢能變化的快慢,即重力的瞬時功率大小.

5 E-x 圖像

E-x圖像描述的是物體的機械能E隨位移x變化的關系.設物體受到除重力之外其他力的合力大小為F其他,在一段很短的位移Δx內物體機械能變化為ΔE.由功能關系有F其他Δx＝ΔE,可得.故E-x圖像中直線或曲線某點切線的斜率的絕對值表示物體受到重力之外其他力的合力大小.

例7(2019年全國Ⅱ卷)從地面豎直向上拋出一物體,其機械能E等于動能Ek與重力勢能Ep之和.取地面為重力勢能零點,該物體的E和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖4所示.重力加速度g取10m·s－2.由圖中數據可得( ).

圖4

A.物體的質量為2kg

B.h＝0時,物體的速率為20m·s－1

C.h＝2m 時,物體的動能Ek＝40J

D.從地面至h＝4m,物體的動能減少100J

解析Ep-h圖像的斜率表示物體重力大小,即mg＝20N,可得m＝2kg,則選項A 正確;h＝0 時,Ep1＝0,則,可得v1＝10m·s－1,選項B錯誤;h＝2m 時,Ep2＝40J,則Ek2＝E2－Ep2＝90J－40J＝50J,選項C錯誤;設物體受到的阻力大小為Ff,E-h圖像的斜率表示物體受除重力之外的其他力即阻力大小,有Ff＝;從地面至h＝4 m,物體的動能變化ΔEk＝W合＝－(mg＋Ff)h＝－100J,即物體的動能減少100J,選項D 正確.

點評機械能隨位移變化圖線斜率的絕對值為物體受到除重力之外其他力的合力大小,即為本題中物體受到的阻力大小.

6 E-t圖像

由F其他Δx＝ΔE,得,即E-t圖像中直線或曲線某點切線的斜率的絕對值表示物體受到的除重力之外其他力的合力做功的瞬時功率.

例8(原創)一小球從地面豎直上拋,經t0時間到最高點,后又落回地面,小球運動過程中所受空氣阻力大小與速率成正比.下列關于小球運動的機械能E隨時間t變化的圖像可能正確的是( ).

解析小球的速率為v時受到的空氣阻力大小為Ff＝kv.在小球上升過程中,其速率v越來越小,由知小球機械能的變化率的絕對值逐漸減小;在小球下落過程中,其速率v越來越大,故小球機械能的變化率的絕對值逐漸增大.選項C正確.

點評小球速率v與空氣阻力Ff大小隨時間t變化,小球的機械能隨時間變化,但機械能隨時間變化率的絕對值等于阻力的瞬時功率.

總之,分析與機械能有關的圖像問題時,要善于從圖像變化率著手,結合動能定理與功能關系、功率表達式,分析圖像變化率的物理意義,進而求解問題.

(完)