張樂天 (江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校初三(7)班 215151)

李沅駿 (江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校初三(8)班 215151)

指導(dǎo)教師 孫 凱 (江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校 215151)

1 問題背景

在我們的現(xiàn)實(shí)生活中處處存在著數(shù)學(xué)，可以說數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分．現(xiàn)實(shí)生活中的很多問題可以用數(shù)學(xué)知識來解決，這就要求我們在生活中要用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)生活現(xiàn)象，嘗試用數(shù)學(xué)知識、思想和方法探究生活現(xiàn)象中存在的某種數(shù)學(xué)關(guān)系，建立合適的數(shù)學(xué)模型來分析和求解實(shí)際問題．最近，我們注意到出租車這個重要的交通工具，對出租車收費(fèi)問題產(chǎn)生了濃厚的興趣．經(jīng)過初步觀察和思考，發(fā)現(xiàn)出租車收費(fèi)是隨著行駛路程的變化而變化的，若將出租車收費(fèi)與行駛里程看成兩個變量的話，當(dāng)行駛里程確定時，出租車收費(fèi)是唯一且確定的，從而我們可以判斷出出租車收費(fèi)與行駛里程之間是一種函數(shù)關(guān)系．那么出租車收費(fèi)和其行駛里程之間存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？作為乘客，我們怎樣乘坐出租車才能減少乘車費(fèi)用支出呢？接下來我們圍繞這些問題進(jìn)行探究．

2 問題呈現(xiàn)

在蘇州市范圍內(nèi)選取有代表性的出租車公司，拍攝了出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(圖1)．已知出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：行駛里程3 km內(nèi)，起步費(fèi)為10元；超過3 km，每1 km收費(fèi)1.80元；超過5 km，單程加收50%空駛費(fèi)．在調(diào)查研究的基礎(chǔ)上，我們提出兩個比較感興趣的問題．

圖1

問題1出租車收費(fèi)與行駛里程間存在什么關(guān)系？

問題2乘客采用分乘兩次的方法能降低乘坐出租車的費(fèi)用嗎？

3 分析問題

這是一個源于實(shí)際生活的問題.我們知道在現(xiàn)實(shí)生活中，出租車收費(fèi)會受到各種因素影響，為了更好地開展問題探究，我們假設(shè)：(1)任意一輛出租車都按以上收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)；(2)出租車勻速行駛； (3)行駛期間不堵車；(4)不考慮乘客主觀乘車感受；(5)出租車駕駛員與乘客都認(rèn)同收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)； (6)不考慮行駛時間；(7)乘客單程乘坐出租車．

在作出以上假設(shè)之后，我們嘗試用數(shù)學(xué)知識解決上面提出的兩個問題．

4 建立模型

出租車收費(fèi)是隨著行駛里程的變化而變化的，不妨將行駛里程記為xkm，出租車收費(fèi)記為y元，關(guān)于行駛里程，需根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分類．

(1)出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中的“起步費(fèi)10元(3 km內(nèi))”指的是行駛里程小于或等于3 km，實(shí)際上就是0

行駛里程0

(2)出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中的“1.80/km”是指 3 km內(nèi)起步費(fèi)10元，超過3 km的里程部分按每1 km收1.80元的標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)．此時行駛里程大于 3 km，考慮到標(biāo)準(zhǔn)中“超過5 km單程加收50%空駛費(fèi)”，所以行駛里程應(yīng)小于或等于5 km，即3

需要說明的是，當(dāng)行駛里程不是整千米時，不足1 km的按1 km計(jì)算．根據(jù)以上分析，出租車收費(fèi)應(yīng)包括起步費(fèi)和超過3 km部分的費(fèi)用，用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)為y=10+1.8(x-3)，即y=1.8x+4.6．此時出租車收費(fèi)y元與行駛里程xkm之間是一次函數(shù)的關(guān)系．

行駛里程3

(3)出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)中的“超出5 km加收50%空駛費(fèi)”指行駛里程大于5 km時，超出 5 km的里程加收50%的空駛費(fèi)，就是在每1 km收1.80元的基礎(chǔ)上再加收50%，即每1 km收2.70元．這樣，出租車收費(fèi)包括三個部分：起步費(fèi)+1.80/km收費(fèi)+2.70/km收費(fèi)．用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)為y=10+1.8×2+2.7(x-5)，即y=2.7x+0.1．此時出租車收費(fèi)y元與行駛里程xkm之間也是一次函數(shù)的關(guān)系．

行駛里程x>5，收費(fèi)y=2.7x+0.1．

綜合以上三種可能的收費(fèi)情況，得到出租車收費(fèi)與行駛里程間的函數(shù)模型

5 解決問題

我們建立了出租車收費(fèi)與行駛里程間的函數(shù)模型，只要確定乘客的租乘里程就可以求得需支付的費(fèi)用，提出的問題1也得以解決．我們知道行駛里程超過5 km要加收50%的空駛費(fèi)，對于乘客而言，當(dāng)行駛里程不超過5 km時是比較劃算的，但很多時候乘客要到達(dá)目的地的里程超過 5 km甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過5 km，這個時候我們會想到一個問題：乘客采用分乘兩次的方法能降低乘坐出租車的費(fèi)用嗎？

6 研究結(jié)論

經(jīng)過對實(shí)際問題的分析，建立數(shù)學(xué)模型并求解，我們獲得結(jié)論：乘客采用分乘兩次或多次的方法并不能降低租車的費(fèi)用支出，在行駛里程較遠(yuǎn)的情況下，單次乘坐出租車仍然是相對最節(jié)省租車費(fèi)用的方法．

教師點(diǎn)評將現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題的過程就是數(shù)學(xué)建模．張樂天、李沅駿兩位同學(xué)能用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，以出租車收費(fèi)為研究對象，提出兩個非常有價值的問題，用數(shù)學(xué)的語言呈現(xiàn)出清晰的數(shù)學(xué)問題，最后用數(shù)學(xué)的思維分析問題，建立函數(shù)模型并求解，完整體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的活動過程，獲得有價值的研究結(jié)論，非常值得大家學(xué)習(xí)借鑒．現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問題往往是錯綜復(fù)雜的、雜亂無序的、充滿挑戰(zhàn)性的，作為初中學(xué)生，敢于提出問題并用建立數(shù)學(xué)模型來求解，實(shí)屬難得．希望更多的同學(xué)善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，發(fā)現(xiàn)和提出有價值的問題，嘗試建立數(shù)學(xué)模型求解，在問題的解決中體悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．