圓錐曲線中與斜率有關的一類定值問題探究

王 鋒 (江西省九江市柴桑區第一中學 332100)

圓錐曲線問題是高中數學的重點與難點，求解此類問題要求學生具備一定的幾何功底、優秀的數形結合意識、熟練的運算能力，以及嚴密的邏輯思維．在高考中，圓錐曲線問題的分值所占的比重非常大，尤其是解答題.在時間有限的情況下，這對學生運算能力的要求非常高，畢竟人腦不是電腦，無法準確、快速地完成繁瑣、復雜的計算.因此，對于一些具有共同特征的問題，我們需要積累一些常見的、有效的方法來應對．下面我們將針對圓錐曲線中與斜率有關的一類定值問題作一些探究，尋找解決此類問題的最佳途徑．

1 提出問題

2 問題探究

分析1 按照題意，學生首先最容易想到的方法是設出l1，l2的直線方程，聯立直線與橢圓的方程，解出M，N的坐標，再寫出直線MN的方程，最后探索MN是否過定點．

分析2 先設MN的直線方程，通過聯立直線MN和橢圓方程，得到M，N的坐標關系式．再利用l1⊥l2，即kAM·kAN=-1進行求解，從而找到直線MN方程中的變量關系，進而探究出直線MN所過定點．

解法2設直線MN的方程為x=my+n.(此處沒有把方程設為y=kx+b的形式，是因為直線的斜率有可能不存在，討論起來比較麻煩，注意到直線MN的斜率不可能為0，故設成x=my+n的形式更為簡潔．)

雖然本方法計算量也不小，但是相對于解法1，還是可以接受的．

分析3 將解法2的思路進一步優化，在設直線MN的方程時，設為m(x-2)+ny=1(此直線不經過點A(2,0))的形式，便于后面采用齊次式進行計算．

相對于解法1和解法2，顯然解法3的計算量要小很多，但是這種方程的設法是比較難理解的，而且在運算過程中，為什么將x2表示成(x-2+2)2，對學生來說也難以接受．這需要學生花時間去思考這種齊次化運算的特點和優勢，從而熟練地掌握和運用．

3 歸納總結

設直線MN的方程為mx+ny=1，則⑤式可變為b2x2+a2y2+(2b2x0x+2a2y0y)(mx+ny)=0，即(b2+2b2mx0)x2+(a2+2a2ny0)y2+(2b2nx0+2a2my0)xy=0.

采用上述方法，我們還可以推導發現焦點在y軸上的橢圓以及雙曲線和拋物線都具有類似的性質．

結論4過拋物線C:y2=2px(p>0)上一點A(x0,y0)，作互相垂直的兩條直線分別交拋物線C于另外兩點M,N，則直線MN過定點(2p+x0,-y0).

上述結論推廣到雙曲線和拋物線中，也有類似的結論，有興趣的讀者可以自行探究．文中總結了許多結論，并非是讓大家記住公式直接套用，而是掌握解決此類問題的有效方法．今后，當遇到兩直線斜率和、積、倒數和為定值等系列問題時，我們將不再盲目，不再懼怕，做到心中有數，能夠更加自信地解決這類問題．