數學概念的形式化與教學思考
——以初中數與代數的概念為例*

韓詩貴 (江蘇省錫山高級中學實驗學校 214177)

形式化是數學的基本特征，在數學中無處不在，它貫穿于數學的產生、發展、應用等過程中．所謂數學形式化是一種用符號或符號的方法或技術來改進數學表達，對數學語言、理論進行整理、修正、轉化和組織的過程．[1]簡言之，數學形式化就是以符號為基礎的一種數學表達．我們知道，一切方法性學科都是形式化的，只有暫時舍棄各種具體內容而專門研究其形式，才能使方法性學科獲得獨立發展，并走在應用前面[2]．數學是工具性學科，也是方法性的學科，這決定了它必然也是形式化的學科．

在初中階段的數與代數中，常見的數學形式化有概念形式化、公式(或法則)形式化、計算(或推理)形式化等．其中，概念形式化是其他形式化的基礎．所謂概念形式化就是在自然語言符號化的基礎上，舍棄概念包含的具體內容，抽象出的一種形式化的邏輯關系或結構．簡而言之，概念形式化就是用符號語言表征概念的一種形式．本文結合初中數與代數中的具體實例，談談概念形式化的形成過程，以及如何幫助學生理解概念形式化等問題．

1 概念形式化的形成

在初中數與代數中，概念形式化通常是概念內容的一般化的結果．例如，2n,2n+1分別是偶數和奇數的形式化，也是具體偶數和奇數的一般化結果．又如，數軸上表示一個數的點與原點的距離叫做這個數的絕對值，用符號“| |”表示絕對值，“|a|”表示絕對值概念的形式化．像這樣的形式化常常是先以自然語言定義概念，引進字母后才有一般化的結果．

2 與概念形式化相關的內容及教學思考

概念形式化簡約了概念，使數學表達更清晰、更流暢．概念形式化與符號密切相關，與概念的內容密切相關．而概念定義、概念性質、概念應用等相關知識的學習過程，是理解概念形式化的過程，也是概念形式化從理性抽象走向理性具體的過程．

2.1 概念形式化中的符號

2.2 概念的形式與內容

我們知道，任何事物都有內容，也有形式．概念的形式化可認為是概念的形式．例如，ax2+bx+c=0是一元二次方程的形式，其內容包括x2=2,x(19-2x)=24,5(1+x)2=9.8,x2+(x-1)2=25等具體方程．從哲學的角度看，形式和內容是對立統一的[3]．

首先，內容是易變的，而形式通常是穩定的．例如，上述例子中，具體的一元二次方程是不同的、可以變化的，但它的形式卻是穩定的、不變的．

第三，內容決定形式，形式反作用于內容．譬如，ax2+bx+c=0是概念形式化抽象的結果，也是由具體方程x2=2,x(19-2x)=24,5(1+x)2=9.8,x2+(x-1)2=25等高度概括的結果，所以說，一元二次方程的形式化依賴其具體內容．反過來，對一元二次方程形式化的理解和應用有助于進一步理解概念，有助于準確識別具體的一元二次方程．

可見，概念內容與其形式化相互影響，重視概念的內容有助于理解概念形式化．

2.3 概念形式化與概念定義

我們認為，概念形式化與概念定義都是概念的表征形式．在概念的教與學中，概念定義常常是概念學習的起點，而縱觀概念形式化的形成過程，概念定義通常也是其形式化的起點．所以，重視定義的教學是概念學習的需要，也是理解概念形式化的需要．

首先，重視相關素材的選擇.例如，在二次函數定義的教學中，選擇具有典型性、代表性的函數有助于學生提煉、概括定義，同時，也有助于學生形成概念的形式化．

其次，素材反映的內容應該貼近學生的實際，貼近學生的最近發展區.例如，二次函數定義的教學中，選擇的實例最好取材于學生的生活或學生感興趣的問題，另外，問題的類型最好也是學生熟悉的、容易理解的，這樣才有更充裕的時間突出重點、突破難點，提高定義教學的效率，加深概念形式化的理解．

第三，重視概念定義的形成過程.教學中，結合具體的實例概括定義的過程是發展學生抽象能力的過程，通常也伴隨著概念形式化的抽象過程．因此，避免直接講授定義，避免機械背誦定義，重視學生對概念定義的個性化理解，是定義教學的需要，也是學生理解概念形式化的基礎．

2.4 概念形式化與概念性質

概念性質的學習常常離不開概念的形式化．

首先，形式化簡化概念性質的表征．例如，絕對值的性質：(1)正數的絕對值是它本身；(2)負數的絕對值是它的相反數；(3)0的絕對值是0．我們常常用概念的形式化簡化性質，即：(1)當a>0時，|a|=a；(2)當a<0時，|a|=-a；③當a=0時，|a|=0．

其次，形式化優化概念性質的證明與探索．例如，一次函數的性質：在一次函數y=kx+b中，如果k>0，那么函數值y隨自變量x增大而增大；如果k<0，那么函數值y隨自變量x增大而減小．又如，一元二次方程求根公式、根與系數的關系等知識的證明與探索均是以一元二次方程的形式化為起點．

2.5 概念形式化與概念應用

學習者理解概念的形式化，感悟形式化的力量，以及對形式化的認識從理性抽象到理性具體等過程，主要是在應用中完成的，或者說是在不同情景、不同層次中應用多次才能完成的．從心理學的角度看[4]，概念形式化的應用有低層次和高層次的區別．概念形式化的低層次應用主要體現在知覺和記憶等方面，表現為概念形式化的簡單辨析、識別等．

例如，下列函數中，有哪些符合y是x的反比例函數？

這樣的判斷是對概念形式化結構和內涵的辨析，較少會涉及其他概念或命題．而概念形式化的高層次應用體現在思維和創新能力等方面，表現為概念形式化在問題解決中的應用．由于問題解決涉及的概念、命題較多，所以這樣的應用通常是一個比較復雜的過程，需要學習者根據實際問題提供的信息去激活、提取和篩選與之相關的知識和方法，并將其與當前問題聯系起來．

圖1

3 結語

在初中數與代數的教學中，隨著學生符號意識和符號應用能力的增強，形式化逐漸成為數學學習與研究的主要內容．形式化優化了思維過程，提高了思維效率．其中，概念形式化是基礎，常常也是概念教與學中無法回避的過程．因此，概念形式化是概念學習的需要，也是數學學習的需要，更是發展學生數學素養、為未來發展奠基的需要．