從直觀性角度對(duì)一道數(shù)列綜合題的探究

200234 上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 鄧 聰

直觀想象是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的六大核心素養(yǎng)之一，它是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).數(shù)列問題是近年來高考數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn)，內(nèi)容較為抽象、復(fù)雜.

筆者針對(duì)2021年上海春考數(shù)學(xué)卷中的一道數(shù)列綜合題進(jìn)行探究，從直觀性角度來解決該問題.數(shù)列可以視作是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù)，因此具備函數(shù)的一些固有特征，而原題中的數(shù)列是一個(gè)具有隨機(jī)性的數(shù)列.所以筆者將其視作特殊的分段函數(shù)，利用直觀性觀察函數(shù)的圖像，從而研究數(shù)列的性質(zhì).巧妙地借助幾何直觀描述問題間的復(fù)雜關(guān)系，能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，解題思路更加明朗.

1 解題探究

1.1 原題呈現(xiàn)

(2021上海春考數(shù)學(xué)卷-21) 已知數(shù)列{an}滿足an≥0，對(duì)任意n≥2，an和an+1中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與an-1的等差中項(xiàng).

(1)已知a1=5，a2=3，a4=2，求a3的所有可能的取值.

(2)已知a1=a4=a7=0，a2，a5，a8為正數(shù)，求證：a2，a5，a8成等比數(shù)列，并求出公比q.

(3)已知數(shù)列中恰好有三項(xiàng)為0，即ar=as=at=0，2

1.2 題干分析

圖1 圖2

1.3 解答

圖3圖4

綜上，a3的所有可能取值為1.

解：因?yàn)閍1=a4=a7=0，且a2，a5，a8為正數(shù)，所以數(shù)列圖像從a1處上升后必然要下降才能使得a4=0，又因?yàn)橄噙B三項(xiàng)間的圖像趨勢(shì)滿足圖1或圖2，所以圖像在到達(dá)a2后就必須向下降落至零點(diǎn)，若上升到a3時(shí)才下降則此時(shí)圖像不滿足題意，同理可作出a4到a8的圖像(如圖5所示).

圖5

當(dāng)m=0時(shí)，即An的所有取值均為1，an+1=an+1，此時(shí)數(shù)列圖像如圖6所示.

圖6

顯然此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列且公差大于0，圖像呈直線上升趨勢(shì)，無法滿足題干所述的恰有三項(xiàng)為0，所以m=0舍去.

圖7

圖8

1.4 注記

小問(3)的難點(diǎn)在于求an+1，筆者在此過程中計(jì)算an+1-an，這是因?yàn)轭}干中的數(shù)列是一個(gè)隨機(jī)數(shù)列，故可將其視作是一個(gè)分段函數(shù)，通過作差發(fā)現(xiàn)數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系，同時(shí)作出此時(shí)的圖像，更加直觀地幫助理解.小問(3)實(shí)則是小問(2)的拓展與延伸，在小問(3)中也得到了ar+1，as+1，at+1成等比數(shù)列，兩小問都可以巧妙地利用好“拐點(diǎn)”個(gè)數(shù)，作出圖像快速解題.

2 拓展

第一，本題研究的數(shù)列是一個(gè)隨機(jī)數(shù)列，且該數(shù)列圖像存在兩種情況，單純用代數(shù)方法解題十分復(fù)雜，因此筆者通過作圖，建立起形與數(shù)的聯(lián)系，通過幾何圖形描述問題，從直觀性角度幫助理解問題.

圖9

a3=a2+A2，

a4=a3+A2A3，

…

(感謝馮朝君老師提供的部分思路)