2021年普通高等學校招生全國統一考試(甲卷)理科數學21題解析

100013 北京市第一七一中學 王楨宇 管 悅

100013 北京宏志中學 王芝平

一、題目再現

(1)當a=2時，求f(x)的單調區間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

二、試題解析

小問(2)

解法2更加符合學生自然的解題思路，直接求導，判斷函數f(x)的單調性，進而討論其與y=1的交點情況，但計算稍顯復雜，下面討論該解法.

預備知識人民教育出版社普通高中教科書《數學》(選擇性必修第三冊B版)第87頁有如下習題.

求滿足下列條件的直線l的方程.

(1)過原點且與曲線y=lnx相切；

(2)斜率為e且與曲線y=ex相切[1].

①當a∈(0，1)時，lna<0，所以a-xlna>0，所以當x∈(0，+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，f(x)與y=1至多有一個交點，不滿足題意.

綜上所述，a的取值范圍為(1，e)∪(e，+∞).

三、難點突破

導數“找點”計算涉及方程、不等式、參數討論、求導運算、四則運算以及估算等能力，追求本質、自然、簡單的解題方法不僅是課堂教學的重要環節，更是培養學生數學運算核心素養的必由之路.