新版教材體系下獨(dú)立事件的再認(rèn)識(shí)

吳明德 (江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 225400)

新版蘇教版高中數(shù)學(xué)教材先講獨(dú)立事件后講條件概率，改變了舊教材中演繹推理給出定義的方式，在邏輯上是不順的；改用舉例歸納的方法給出獨(dú)立事件的定義，學(xué)生不易理解和掌握，在教學(xué)上是有挑戰(zhàn)的.這些改變，需要我們認(rèn)真應(yīng)對(duì).

1 多舉實(shí)例增加感性認(rèn)識(shí)

蘇教版新教材必修2中通過具體事例這樣給出隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立的定義：對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么稱事件A，B為相互獨(dú)立事件.人教版由積事件的概率給出定義，側(cè)重于事件的相互獨(dú)立性是特殊的事件關(guān)系，抽象程度高；蘇教版則降低抽象度，增加了一種直觀判斷方法，即分別計(jì)算事件A發(fā)生、不發(fā)生時(shí)事件B的概率，若相等就獨(dú)立，若不相等就不獨(dú)立.

需要指出的是，既然事件的獨(dú)立性是概率下的等式判斷，因而這種獨(dú)立性更準(zhǔn)確的名稱應(yīng)該是“概率獨(dú)立性”，不能把事件間沒有影響或事件的結(jié)果沒有影響等同于概率沒有影響.憑生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以判斷一些簡單事件的獨(dú)立性，在直觀理解無法判斷事件的獨(dú)立性時(shí)，定義中的概率等式就需擔(dān)當(dāng)大任了，相對(duì)于定義的等式判斷，直覺判斷的有效性顯然是很弱的，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的.

總體來說，將獨(dú)立事件提到條件概率之前講授，由于缺少表象的支撐，直觀感知少，學(xué)生的可接受程度相對(duì)較低.我們專門做過調(diào)查，在2 512名四星級(jí)高中高一學(xué)生中，表示自己完全認(rèn)可獨(dú)立性定義、感覺自己深刻理解概念的人不足50%，在2 371名普通高中高一學(xué)生中這一比例更低，只有29%.相較而言，定義的必要性好理解一些，而定義的充分性則不太容易接受.

反思教學(xué)過程，我們不能因循守舊，只抱怨教材的改變，更不應(yīng)期望等學(xué)習(xí)了條件概率后串聯(lián)起新舊知識(shí)，化解學(xué)生的困惑.正確的做法是要重視相互獨(dú)立事件的概念教學(xué)，適當(dāng)增加實(shí)例情境讓學(xué)生加深感受，突出獨(dú)立事件的概率等式，加深概念的理解.

2 對(duì)“事件的獨(dú)立性具有相互性”的解讀

首先，由獨(dú)立性的定義，顯然可得到A與B獨(dú)立，即為B與A獨(dú)立.下面，我們從條件概率的角度再次對(duì)事件獨(dú)立的相互性進(jìn)行解讀.設(shè)A與B是兩個(gè)隨機(jī)事件，直覺上事件A的發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，叫做概率意義下事件B對(duì)事件A獨(dú)立.設(shè)P(A)>0，若P(B|A)≠P(B)，則事件A的發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率是有影響的，即B對(duì)A不獨(dú)立.只有P(B|A)=P(B)時(shí)，B對(duì)A才獨(dú)立.

顯然，P(A)=0或P(B)=0時(shí)上述推導(dǎo)過程不成立，為不失一般性，承認(rèn)A對(duì)B獨(dú)立?B對(duì)A獨(dú)立是有難度的，但此時(shí)事件A與B滿足P(AB)=P(A)P(B)卻是顯而易見的，這也正好說明新教材直接用積事件的概率來定義獨(dú)立性的優(yōu)勢.

3 透過條件概率看獨(dú)立事件

乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)普遍有，而獨(dú)立事件卻難得有.在學(xué)習(xí)了條件概率后，可以對(duì)獨(dú)立事件的定義給出自然、合理的解釋，同時(shí)也提供了讓學(xué)生自主探究的素材，教學(xué)時(shí)應(yīng)加以重視.

在P(A)>0的條件下，不難得到：P(AB)=P(A)P(B)?P(B|A)=P(B).

簡證如下：

P(AB)=P(A)P(B).

4 靈活判斷事件的獨(dú)立性

下面對(duì)2021年高考卷中的一道概率小題略作剖析.

例(2021全國新高考I卷第8題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( ).

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立