新版教材體系下獨立事件的再認識

吳明德 (江蘇省泰興市第一高級中學 225400)

新版蘇教版高中數學教材先講獨立事件后講條件概率，改變了舊教材中演繹推理給出定義的方式，在邏輯上是不順的；改用舉例歸納的方法給出獨立事件的定義，學生不易理解和掌握，在教學上是有挑戰的.這些改變，需要我們認真應對.

1 多舉實例增加感性認識

蘇教版新教材必修2中通過具體事例這樣給出隨機事件A與B相互獨立的定義：對于兩個隨機事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么稱事件A，B為相互獨立事件.人教版由積事件的概率給出定義，側重于事件的相互獨立性是特殊的事件關系，抽象程度高；蘇教版則降低抽象度，增加了一種直觀判斷方法，即分別計算事件A發生、不發生時事件B的概率，若相等就獨立，若不相等就不獨立.

需要指出的是，既然事件的獨立性是概率下的等式判斷，因而這種獨立性更準確的名稱應該是“概率獨立性”，不能把事件間沒有影響或事件的結果沒有影響等同于概率沒有影響.憑生活經驗，學生可以判斷一些簡單事件的獨立性，在直觀理解無法判斷事件的獨立性時，定義中的概率等式就需擔當大任了，相對于定義的等式判斷，直覺判斷的有效性顯然是很弱的，有時甚至是錯誤的.

總體來說，將獨立事件提到條件概率之前講授，由于缺少表象的支撐，直觀感知少，學生的可接受程度相對較低.我們專門做過調查，在2 512名四星級高中高一學生中，表示自己完全認可獨立性定義、感覺自己深刻理解概念的人不足50%，在2 371名普通高中高一學生中這一比例更低，只有29%.相較而言，定義的必要性好理解一些，而定義的充分性則不太容易接受.

反思教學過程，我們不能因循守舊，只抱怨教材的改變，更不應期望等學習了條件概率后串聯起新舊知識，化解學生的困惑.正確的做法是要重視相互獨立事件的概念教學，適當增加實例情境讓學生加深感受，突出獨立事件的概率等式，加深概念的理解.

2 對“事件的獨立性具有相互性”的解讀

首先，由獨立性的定義，顯然可得到A與B獨立，即為B與A獨立.下面，我們從條件概率的角度再次對事件獨立的相互性進行解讀.設A與B是兩個隨機事件，直覺上事件A的發生對事件B發生的概率沒有影響，叫做概率意義下事件B對事件A獨立.設P(A)>0，若P(B|A)≠P(B)，則事件A的發生對事件B發生的概率是有影響的，即B對A不獨立.只有P(B|A)=P(B)時，B對A才獨立.

顯然，P(A)=0或P(B)=0時上述推導過程不成立，為不失一般性，承認A對B獨立?B對A獨立是有難度的，但此時事件A與B滿足P(AB)=P(A)P(B)卻是顯而易見的，這也正好說明新教材直接用積事件的概率來定義獨立性的優勢.

3 透過條件概率看獨立事件

乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)普遍有，而獨立事件卻難得有.在學習了條件概率后，可以對獨立事件的定義給出自然、合理的解釋，同時也提供了讓學生自主探究的素材，教學時應加以重視.

在P(A)>0的條件下，不難得到：P(AB)=P(A)P(B)?P(B|A)=P(B).

簡證如下：

P(AB)=P(A)P(B).

4 靈活判斷事件的獨立性

下面對2021年高考卷中的一道概率小題略作剖析.

例(2021全國新高考I卷第8題)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則( ).

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立