單元教學視野下的學習活動設計
——以概率單元的知識構建活動為例

200433 復旦大學附屬中學 肖恩利

在利用滬教版普通高中教科書《數學》(新教材)實施教學的過程中，圍繞單元教學設計，特別是在新知構建的過程中，怎樣開展學生學習活動設計？筆者以籌備復旦附中張建國老師的展示課“事件的關系和運算”為契機，在概率單元的教材內容、教學方法和活動設計等方面進行深入學習和探討，形成以下思考.

一、始于困惑和問題

困惑1新教材在講授概率之前并沒有給出計數的內容，這與之前的處理方式有較大區別，怎樣理解這種變化？教師怎樣教？學生怎樣學？

困惑2新教材中，“古典概率模型” “古典概率” “經典概率”和“幾何概率”等名詞交替出現.怎樣理解“古典概率模型”在本單元中的作用？

困惑3新教材用兩節的篇幅介紹了“等可能性”，并且在第98頁提到“在古典概率模型中，隨著觀察角度的不同，并非所有的樣本空間都是等可能的……雖然取什么樣本空間不影響所考察的隨機事件的概率，但只有選取等可能的樣本，才能使得事件的概率如定義所示，等于事件元素個數與樣本空間元素個數之比，進而使有關計算變得簡單”，那么，“等可能性”的意義是什么？

困惑4怎樣理解教材第103頁提到的“概率最本質的性質就是可加性”？

困惑5從知識體系來看，必修一教材以函數為中心，必修二以幾何與代數為中心，那么必修三的中心是什么？

問題1從正整數集中隨機地取一個數，那么這個數是1的“概率”是多少？

李繼根教授所著《概率與統計》一書中提到了問題2的三種解法.

圖1

圖2

圖3

二、教師的“研學”

為解決這些困惑和問題，筆者查閱了《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》《普通高中數學課程標準(2017年版)解讀》，這些文件解決了“教什么”的問題，但是具體的“怎么教”“為什么這么教”等問題則需要通過教師的實踐才能解決.經過認真學習編寫者的培訓內容，仔細研讀新教材和一些概率論教材，困惑2的答案浮出水面.新教材中的概率內容是建立在集合論基礎上的公理化體系，即概率是事件域上的廣義函數，但囿于高中數學中“函數”的定義，教材沒有以明確的公理形式呈現概率定義，而是借助古典概率中的古典概率模型，形成了概率的四條性質(如圖4所示).因此，“古典概率模型”在本教材中起到了“拐杖”的作用，教與學都要借助于這個“拐杖”逐步展開.

圖4

因此，困惑1和困惑5也迎刃而解.

對困惑1的認識：傳統的計數內容(乘法原理、加法原理、排列組合等)中有較多難點，如果仍然以這部分內容作為教授概率的開端，會沖淡新教材中“公理化”的主題，不利于幫助學生體會公理化思想的價值和意義.因此，教師要在充分理解概率公理化結構的基礎上，通過對學生已有認知基礎的“經典概率”進行深度挖掘，引導學生認識到集合在描述隨機事件、刻畫隨機事件的概率中的功能，認識對“經典概率”進行數學化和科學化的必要性，了解公理化的意義(如圖5所示).這就是張建國老師在設計本節課時的出發點.相應地，教師可以設計豐富多彩的學習活動，既可以圍繞“經典概率”中的著名問題展開討論，如教材中提到的“賭徒分獎金問題”等，也可以圍繞概率的發展史進行學習.張建國老師的教學設計中充分加入了這方面的思考，設計了課后學習活動內容，要求學生查閱概率的定義發展過程中與公理化形成有關的資料，從中體驗和感悟公理化體系的思想.

圖5

對困惑5的認識：課標中，除了選修課程專設的“邏輯推理初步”中有明確的“公理化思想”內容之外，僅在“學業質量水平劃分”和“數學學科核心素養的水平劃分”中提及了“公理化思想”.反觀中學數學中，體現“公理化思想”的內容包括整數、集合、平面幾何與立體幾何、概率，與它們相對應的公理體系分別是皮亞諾算術公理體系、策梅洛—弗蘭克爾集合論公理體系、歐幾里得幾何公理體系(以及希爾伯特幾何公理體系)、柯爾莫哥洛夫概率論公理體系(如圖6所示).這也為認識和理解新教材必修三的教學內容提供了一個角度.當然，限于中學數學的知識范疇，除了平面幾何與立體幾何因其直觀性可以給出明確的、經過適當改造的公理內容之外，其他三方面的內容并不適合直接將公理內容呈現給學生，例如概率的公理化結構必須借助古典概率模型滲透到學生的知識結構中.

圖6

從以上分析中可以看到，新教材的概率單元對教師的知識結構、教學方法甚至教育理念都提出了比較高的要求.從知識結構來看，教師不僅要有扎實的數學功底，也要對中學數學中涉及的數學歷史、數學文化有充分了解，這樣在設計相關內容的教學過程中，才能做到“心中有數，脈絡清晰”.從教學方法看，教師要對學生的認知能力、認知習慣有細致的把握，對單元內容進行充分、深度學習，從單元整體、知識整體進行完善的教學設計，設計豐富的學習活動，引導學生思考，提升數學素養和數學意識.從教育理念看，教師也應處于不斷的學習中，把自身對數學的“學習活動”轉化為學生的“學習活動”.

三、對教材和公理化的再認識

從新教材的概率內容看，新教材實際上給出了三種形式的概率定義，即拉普拉斯的古典定義、米澤斯(基于大數定律)的統計定義和柯爾莫哥洛夫的公理化定義.其中古典定義的核心是“等可能性”，“等可能性”源于人們對未知領域的合理假設，教材以“為什么硬幣的兩面出現是等可能的”為例闡述了這種思想的來源.歷史上，拉普拉斯在《概率的分析理論》中，將“平等”這個理念數學化為“等可能性”，他指出“當沒有什么使我們相信一個事件比其他任何事件更應該發生時，這些事件對我們來說就是等可能的”.而公理化定義的核心是“可加性”，也就是說公理化定義不再拘泥于學生熟悉的“等可能性”，正如教材所說，“作為度量某事件發生可能性大小的量，概率最本質的性質就是可加性，它在計算概率時非常重要”.在古典概率模型中，“可加性”的實質是“有限可加性”，而對于含有無窮多個基本事件的概率模型(如幾何概率)，“可加性”的實質是“可列可加性”.

從以上的認識來看問題1和問題2，就會得到一些有趣的現象.

問題2提到的貝特朗悖論更讓人疑惑，根據似乎是顯然的“等可能性”，竟然可以得到同一個問題的多個不同的答案，關鍵是這些答案似乎都是正確的.產生這一現象的原因又是什么呢？

實際上，上述兩個問題中，看似反常的現象產生的原因就在于對 “隨機”“等可能”等術語的使用，即僅僅依靠直覺，沒有明確地指出是在哪個樣本空間上的“隨機”，也沒有驗證“等可能性”是否符合概率論的公理化體系.作為一門成熟的數學學科，概率論不能夠僅僅依靠直覺，更需要一種簡明的數學結構使得一些現實的與概率有關的現象能夠被推導和證明，因此概率公理化體系的建立是一個數學史上里程碑式的進步.

在最開始進行教學設計的過程中，復旦附中數學備課組內有教師認為從教材內容來看，“事件的關系和運算”一節的內容似乎有些單薄，可以考慮將這一節與下一節“可加性”合并為一節課.在備課組充分討論的基礎上，這一方案被否定了，原因在于這兩節課的主題是完全不同的.“事件的關系和運算”的主題是利用集合語言描述隨機事件，通過古典概率模型體會這種描述方式的科學性和嚴謹性；而“可加性”的主題是凸顯概率的度量特征，通過古典概率模型研究概率的運算性質.如果把“可加性”比喻為要到達的“目的地”的話，“事件的關系和運算”就是通往這個“目的地”的必經“橋梁”.到達“目的地”意味著公理化定義的完全形成；而“橋梁”的意義在于它可以到達多個“目的地”.張建國老師在他的教學設計中設置了一項課后的學習活動，要求學生通過查找資料，研究是否可以通過事件的運算來理解集合的其他運算，也正是基于這樣的考慮.

四、思考與總結

在“關注單元學習活動設計，注重基本活動經驗積累”教研活動的準備過程中，筆者形成以下認識.

第一，完備的單元教學設計需要教師深入學習課程標準、深度閱讀教材，基于學生實際情況，以學生的終身發展為目標.

第二，有效的學習活動設計源于教師對課標、教材和數學知識的深入思考.

第三，扎實的知識構建活動基于完備且有針對性的單元教學設計和豐富有效的學習活動設計.