一道中考數學壓軸題的解法探究及教學啟示

劉艷萍 (江蘇省蘇州市工業園區景城學校 215027)

通過 解題，學生可以加深概念的理解，深化認識概念的聯系性，優化數學認知結構，訓練數學思維，提高分析和解決問題的能力．筆者對2021年四川省自貢市中考數學試卷中的一道二次函數壓軸題進行多角度的詳細解析，并借此提出對教學的一點想法．

1 原題呈現

如圖1，拋物線y=(x+1)(x-a)(其中a>1)與x軸交于A，B兩點，交y軸于點C．

圖1

(1)直接寫出∠OCA的度數和線段AB的長(用a表示).

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+1)(x-a)上是否存在一點P，使得∠CAP=∠DBA?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

2 試題解讀

好題應具有以下“品質”：與重要的數學概念和性質相關，體現基礎知識的聯系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等．[1]本題是以二次函數為背景并嵌入三角形外心和等腰直角三角形等基本圖形的壓軸題．該題涉及的數學核心概念主要有：解方程、因式分解、二次函數、勾股定理、銳角三角函數、軸對稱、全等三角形、相似三角形和圓等．本題涉及的數學思想方法主要有：化歸思想、數形結合思想、方程思想和分類思想等．三小題難度由淺入深，第(1)小題考查解方程、坐標與圖形的轉換等;第(2)小題考查三角形外心的性質、處理相似三角形周長比的方法等;第(3)小題考查相等角問題的處理方法等,本小題的處理方法多樣，可從構造相似三角形方向求解，也可從構造輔助圓方向求解，還可以從角的轉換方向求解等．綜上分析，該題在考試中具有很好的評價功能，同時也為后續教學提供了優良的素材．

3 解法探究

3.1 第(2)小題解法

由已知條件易得A(a，0)，B(-1，0)，C(0， -a)，AB=a+1，OA=OC=a．△OAC是等腰直角三角形，其中∠OAC=∠OCA=45°．

評析 解法1與解法2的相同之處都是從三角形外心的幾何性質分析證明得到△BDC是等腰直角三角形，結合由第(1)小題得到的△OAC也是等腰三角形，可推得相似三角形△BDC和△AOC的周長比就是對應邊的比，進而建立關于a的方程求解．兩種解法的不同之處在于解法1直接利用邊BC和CA的比，計算量相對少一些，而解法2先從“三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點”的角度求出三角形外心點D的坐標，再用邊BD和AO的比求解．

3.2 第(3)小題解法

圖2

評析 從構造相似三角形和對稱性兩個方向思考問題．首先通過分析并構造出兩個相似的等腰直角三角形，將三角函數值轉化為相似比，求出點E的坐標，進而聯立直線AE和拋物線解析式求得一解．再由點的對稱得到角的對稱，進而得到相等的角，利用對稱性可求出直線AM的解析式，并聯立拋物線解析式求得第二解．

圖3

評析 從圓中角的轉換和構造全等三角形方向思考問題．首先在由外心畫出外接圓，將圓心角、圓周角等轉換求得第一個點P的坐標．再利用對稱性構造全等三角形求得直線AN的解析式，聯立拋物線解析式求得第二個點P的坐標．

圖4

圖5

評析 從“角的轉化”方向思考，體現了化歸的數學思想．第①種情況利用“角的轉化”證得直線AE⊥BC，進而求出直線AE的解析式，與拋物線解析式聯立求出點P坐標．第②種情況利用“角的轉化”證得∠CBO與∠PAE相等，根據其三角函數值也相等建立方程求出點P的坐標．

圖6

圖7

4 教學啟示

4.1 教學中要重視數學概念的理解

綜上所述，教學中要讓學生從多角度厘清數學概念的要素，明確數學概念的本質和概念之間的關系，以此強化對數學概念的深度理解．

4.2 教學中要重視主題教學

數學主題教學是在整體思維指導下，從提升學生數學學科核心素養的角度出發，以突出數學內容的主線以及知識間的關聯性為方向對教材內容重組和優化而形成的一個相對獨立的數學教學設計．數學主題根據具體的教學需求決定，可以分為以下三類：以重要的數學概念或核心數學知識為主題、以數學思想方法為主題和以數學學科核心素養為主題等．[2]例如根據第(3)小題可以設計以“相等角的處理策略”為主題的復習課．第一節課帶學生梳理初中階段不同章節中出現的相等角并完成基礎練習．如在基本圖形中有對頂角相等、角平分線分得的兩個角相等；在兩條平行線中同位角或內錯角相等；在三角形中有等邊對等角、等邊三角形三個角都相等；在四邊形中有平行四邊形對角相等、菱形的對角線平分一組對角、矩形和正方形四個角都相等；在圓中有等弧或同弧所對的圓周角相等；在全等三角形或相似三角形中對應角相等；在銳角三角形函數中銳角三角函數值相同的兩個角也相等；在一次函數中若直線的斜率k相同則直線與x軸的夾角相等……第二節課講解相關的中考題目，在解題中加深鞏固“相等的角”的處理方法．第三節課根據本主題內容安排相關測試并進行評價．通過主題教學與評價，學生對相等角的處理策略有了更深的理解，在解題中就能游刃有余，解題能力和思維能力都得到了發展．

數學主題教學正是從整體思維出發，在更高的觀點下對數學教學中的各要素進行系統的綜合考量，使其產生整體效益．教學中要重視主題教學，教師要把教學內容放到整體、主題中去全盤思考，才能有利于提升學生的數學核心素養．