高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)如何開展解題教學(xué)
——以“函數(shù)值域的求法”為例

危志剛 (福建省福州第一中學(xué) 350108)

解題教學(xué)的質(zhì)量直接關(guān)系到高三復(fù)習(xí)的效果.解題教學(xué)看似簡單，實(shí)則對(duì)教師的教學(xué)水平是一個(gè)很大的考驗(yàn).好的解題教學(xué)不只是分析解題思路，呈現(xiàn)解題過程，最重要的是探索解題方法、揭示解題規(guī)律、承載解題思想.本文以“函數(shù)值域的求法”為例，探討高三復(fù)習(xí)課中如何開展解題教學(xué).

1 從簡單的做起

波利亞有一句至理名言：“從最簡單的做起”，這特別適用于解題教學(xué).盡管是復(fù)習(xí)課，教學(xué)也必須做到低起點(diǎn).教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師都清楚：一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題解決不了，多半是因?yàn)楸葟?fù)雜問題更簡單的問題沒有理解好；如果簡單的問題理解好了，復(fù)雜問題的難度就會(huì)大幅度下降，甚至可以做到迎刃而解.大道至簡，老子在《道德經(jīng)》中說：道生一，一生二，二生三，三生萬物.一個(gè)好的簡單問題，就是解題教學(xué)中的“道”，在解題教學(xué)中承擔(dān)著引導(dǎo)教學(xué)、傳遞數(shù)學(xué)思想、揭示規(guī)律方法的角色.只要我們深刻理解好這個(gè)“道”，就可以做到舉一反三、觸類旁通.

分析1本題為分式型函數(shù)值域問題，分子、分母中均含有自變量x，在x變化過程中，分子及分母均隨之而變，分式的值的變化不易把握.為了弄清應(yīng)變量y隨x的變化特點(diǎn)，可以考慮分離常數(shù)，使得分式中只有分母含有自變量x，分子變成常數(shù)，這樣可以非常直觀地發(fā)現(xiàn)y的變化規(guī)律，從而求得y的取值集合.因此，采用分離常數(shù)法的目的是為了揭示函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性分析函數(shù)的值域.

分析3從函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)聯(lián)想幾何意義，函數(shù)y的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以對(duì)應(yīng)幾何中兩點(diǎn)的斜率公式，可以非常直觀地得到函數(shù)y的值域.這種數(shù)形結(jié)合的思維方式在解題教學(xué)中非常重要，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美融合.

圖1

評(píng)析引例作為一個(gè)簡單問題，學(xué)生普遍都能作出正確解答.然而，對(duì)引例中給出的三種解答的真正數(shù)學(xué)內(nèi)涵，多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知并不清晰.從簡單問題出發(fā)，由淺入深，揭示解法背后的思想內(nèi)涵，有利于學(xué)生理解解法的數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)揮簡單問題在解題教學(xué)中的示范性和啟發(fā)性.

2 形成初步技能

解題技能的形成是一個(gè)階梯式的、逐步發(fā)展的過程，需要經(jīng)歷模仿和實(shí)踐兩個(gè)階段.波利亞說過：“解題是一種實(shí)踐性的技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實(shí)踐學(xué)到它.你想學(xué)會(huì)游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題.”前面通過引例的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的值域問題的求解有了一個(gè)基本的認(rèn)知，模仿的解題意識(shí)已經(jīng)初步形成，此時(shí)教學(xué)中可以通過變式訓(xùn)練的方式，強(qiáng)化和鞏固解題技能.變式訓(xùn)練題的設(shè)計(jì)很重要，不能簡單重復(fù)引例的模式，在解題技能形成的初級(jí)階段，“變其形，不變其神”的變式題是最理想的.這種變式題使學(xué)生“跳一跳夠得著”，對(duì)于幫助其探索發(fā)現(xiàn)解題的一般規(guī)律是十分有利的.

評(píng)析變式1和變式2的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)著手.如果分別把2x，x2+2x看成一個(gè)整體變量，則變式1、變式2的結(jié)構(gòu)與引例的結(jié)構(gòu)完全類似.如果學(xué)生能夠通過觀察發(fā)現(xiàn)變式與引例之間的這種共性特征，得到和引例相對(duì)應(yīng)的三種解法也就十分自然了.

3 做到靈活變通

《易經(jīng)》中有這樣一句話：“易窮則變，變則通，通則久”，意思是說生活中一件事情發(fā)展到了極致就需要變化，而這種變化讓接下來事物的發(fā)展不會(huì)受到阻礙.這句話折射到數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中同樣是這個(gè)道理，解題教學(xué)一定要做到靈活變通、活學(xué)活用.我們可以通過不斷變化試題的結(jié)構(gòu)、改變?cè)囶}的條件、轉(zhuǎn)換試題的問法等策略，讓試題變得煥然一新，卻又讓人感覺似曾相識(shí).當(dāng)然，改變?cè)囶}的面貌，拋給學(xué)生長著新面孔的試題，主要是為學(xué)生搭建更多思考的空間平臺(tái)，不斷變化的試題可以提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.如果只是用相同模式的試題進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，容易造成學(xué)生簡單模仿、死記硬背、機(jī)械刷題、不求甚解的現(xiàn)象.只有學(xué)生掌握了思考問題的思維和方法，面對(duì)新的研究對(duì)象，懂得如何去分析，如何去思考，他們才能在解題中真正做到靈活變通、游刃有余.

分析1導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)基本性質(zhì)的重要數(shù)學(xué)工具，本題函數(shù)的表達(dá)式結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)的方法求該函數(shù)的值域.

x(-∞,1)1(1,3)(3,5)5(5,+∞)y'+0--0+y遞增極大值遞減遞減極小值遞增

所以y的極大值為4，y的極小值為20.又因?yàn)閤從3的左側(cè)趨近于3時(shí)，y趨近于-∞；x從3的右側(cè)趨近于3時(shí)，y趨近于+∞.所以y∈(-∞,4]∪

[20,+∞).

分析2本題的函數(shù)結(jié)構(gòu)仍為分式型，與前面提到的分式型函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)相似，主要不同點(diǎn)在于分子分母的函數(shù)的次數(shù)不同，分子為二次函數(shù)，分母為一次函數(shù).可嘗試分離常數(shù)法.

評(píng)析導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)值域的重要方法，本例解法上的變通是一次十分有意義的嘗試.試題解法的多樣性，恰好體現(xiàn)了知識(shí)的積累和方法的沉淀，厚積方能薄發(fā).解法2通過分離常數(shù)的思想，把一個(gè)陌生的分式型函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)常數(shù)加上一個(gè)熟悉的“對(duì)勾”函數(shù).我們僅需研究該“對(duì)勾”函數(shù)的值域即可得到原函數(shù)的值域.解答中對(duì)其中的一次結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體化，體現(xiàn)了換元簡化函數(shù)的思維策略.

4 重視遷移能力

遷移能力，簡單說就是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響，其實(shí)質(zhì)就是將所學(xué)到的知識(shí)和方法應(yīng)用到新情境中所表現(xiàn)出來的一種素養(yǎng)和能力.多數(shù)學(xué)生在面對(duì)具有新情境的問題時(shí)，往往無法與所學(xué)的知識(shí)和方法建立聯(lián)系，這就是典型的遷移能力薄弱的表現(xiàn).遷移，就是洞悉本質(zhì)的過程.提升學(xué)生的遷移能力，是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)和核心任務(wù).解題教學(xué)最重要的是思維的教學(xué)，不能禁錮學(xué)生的思維，只有開放、包容、發(fā)散的思維環(huán)境才能塑造出強(qiáng)大的遷移能力.因此，解題教學(xué)中，要注重新情境的探究、解法的多樣性、問題設(shè)置的開放性、課堂的動(dòng)態(tài)生成、讓學(xué)生多發(fā)表見解等教學(xué)策略的運(yùn)用.

分析分析函數(shù)結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，本題本質(zhì)上與變式2一致，同為分式型函數(shù)，分母可看成關(guān)于 sinx的一次型；由于cos 2x=1-2sin2x，分子為關(guān)于sinx的二次型.可以通過換元的策略轉(zhuǎn)化為上面已經(jīng)探討過的問題，用類似的辦法進(jìn)行解答.

分析1關(guān)注到本題可通過三角恒等變換化為關(guān)于sinx或cosx的分式二次齊次結(jié)構(gòu)，然后再次利用三角恒等變換中的“弦化切”思想，把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanx的分式型函數(shù)，然后通過整體換元的辦法轉(zhuǎn)化為前面已經(jīng)研究過的問題，利用分離常數(shù)法解答本題.

分析2本題也可通過三角恒等變換化為關(guān)于sin 2x或cos 2x的分式一次結(jié)構(gòu)，然后對(duì)分式結(jié)構(gòu)進(jìn)行整式化處理，利用三角函數(shù)有界性來解答.

分析3本題的函數(shù)為周期函數(shù)，把求定義域上的值域轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的值域即可，可以利用導(dǎo)數(shù)法解答本題.

x0(0,α)α(α,β)β(β,π)πy'-0+0-y遞減極小值遞增極大值遞減

分析4本題的函數(shù)結(jié)構(gòu)經(jīng)三角恒等變換后，同樣可以利用幾何意義的方法進(jìn)行解答.

圖2

評(píng)析這兩道題的函數(shù)“體貌特征”發(fā)生明顯變化，然而數(shù)學(xué)本質(zhì)并未改變.通過簡單的恒等變形、換元等手段，可以發(fā)現(xiàn)這兩題與前面問題的共性.因此，完全可以把解答前面問題的思想方法遷移過來，說明兩種方法異曲同工，同根同源.

5 強(qiáng)化選擇意識(shí)

一道好的數(shù)學(xué)試題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，承載著大量的數(shù)學(xué)信息，這種題目的解法通常都比較多.那么，在解題教學(xué)中，是不是講授的解法越多越好呢？其實(shí)不然，有些解法是低效的，有些解法技巧性高，有些解法特別繁瑣，諸如此類的解法講多了反而無益，有時(shí)甚至?xí)蓴_學(xué)生對(duì)問題的正常理解，容易造成“走火入魔”、誤入歧途的境地.那么什么樣的解法才是好的解法，我們又該如何選擇？首先，能夠揭示一般規(guī)律、具有普及性的解法一定是好的解法，比如本文研究分式型函數(shù)值域中提到的分離常數(shù)法，其數(shù)學(xué)本質(zhì)實(shí)質(zhì)上是揭示函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性研究函數(shù)的值域顯然具有一般性和普遍性.其次，能夠化繁為簡、凸顯思維的解法一定是好的解法，比如本文中利用幾何意義分析函數(shù)值域的方法，把繁雜的代數(shù)推演簡化為簡單的幾何直觀，凸顯了數(shù)形結(jié)合的重要思維方法.總之，好的解法耐人尋味，發(fā)人深思.因此在解題教學(xué)中，教師一定要有選擇地講解方法，有意識(shí)地加強(qiáng)各種解法之間的對(duì)比，并給出科學(xué)的評(píng)價(jià)和選擇意見.

6 結(jié)束語

“格物致知”是中國古代儒家思想中的一個(gè)重要概念，意思是探究事物的原理，從中獲得智慧或從中感悟到某種心得.高三的解題教學(xué)也應(yīng)該是這樣，一節(jié)課解多少道題并不重要，通過對(duì)試題的分析和解讀，探究其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，揭示其內(nèi)在的一般性規(guī)律，傳播智慧，形成能力才是解題教學(xué)的真正要義所在.