微視頻先導(dǎo)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的深度學(xué)習(xí)*
———“冪函數(shù)(第1課時(shí))”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

200040 上海市市西中學(xué) 張 娜

教育部基礎(chǔ)課程教材發(fā)展中心推出的《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)》一書對(duì)深度學(xué)習(xí)給出如下定義：“所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功，獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.”圖1呈現(xiàn)出深度學(xué)習(xí)的幾項(xiàng)基本特征：聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動(dòng)與體驗(yàn)、本質(zhì)與變式、遷移與應(yīng)用、價(jià)值與評(píng)價(jià).

圖1

那么，如何更好地讓學(xué)生在課堂中完成深度思考，達(dá)成深度學(xué)習(xí)？筆者采取微視頻先導(dǎo)下的課堂教學(xué)方式.在學(xué)生通過微視頻預(yù)習(xí)達(dá)成統(tǒng)一的、更高的認(rèn)知起點(diǎn)基礎(chǔ)上，在課堂教學(xué)中完成對(duì)具有挑戰(zhàn)性問題的探究.筆者以“冪函數(shù)(第1課時(shí))”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，呈現(xiàn)如何在數(shù)學(xué)課堂中達(dá)成深度學(xué)習(xí).

一、教學(xué)設(shè)計(jì)的理念與背景

2020年9月以來，上海市高中數(shù)學(xué)學(xué)科開始實(shí)行“新課標(biāo)”“新教材”的“雙新”課程，本次課程改革特別強(qiáng)化基于課標(biāo)的教學(xué)，在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中強(qiáng)調(diào)目標(biāo)導(dǎo)向，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，注重知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，將資源、評(píng)價(jià)、指導(dǎo)融入活動(dòng)之中.

在上述教學(xué)設(shè)計(jì)理念的引領(lǐng)下，筆者采取微視頻先導(dǎo)下的課堂教學(xué)方式.經(jīng)過長期的課堂教學(xué)實(shí)踐與探索，將微視頻先導(dǎo)下的教學(xué)過程凝煉為五個(gè)環(huán)節(jié)，即“目標(biāo)引領(lǐng)—自主預(yù)習(xí)—評(píng)價(jià)反饋—釋疑深化—合作探究”.基于以上教學(xué)設(shè)計(jì)理念與背景，筆者展開如下教學(xué)設(shè)計(jì).

二、教學(xué)目標(biāo)

(1)理解冪函數(shù)的概念，經(jīng)歷通過列表、描點(diǎn)、連線的方法作出具體冪函數(shù)圖像的過程，感受冪函數(shù)在第一象限的圖像特征.

(2)用代數(shù)的方法研究冪函數(shù)y=xa(a>0)在區(qū)間(0,+∞)上為嚴(yán)格增函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)邏輯推理的重要性.

(3)在冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究過程中，體會(huì)從特殊到一般的研究方法，感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言對(duì)嚴(yán)格增函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫳磉_(dá).

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解冪函數(shù)的概念，作出具體冪函數(shù)的圖像，知道冪函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：在研究冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的過程中，經(jīng)歷從幾何直觀到代數(shù)說理的邏輯推理過程.

設(shè)計(jì)意圖：在初中期間學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些基本的初等函數(shù)，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等.在此基礎(chǔ)上，冪函數(shù)的學(xué)習(xí)是進(jìn)一步研究在等式ab=c中，字母b的取值固定時(shí)，另兩個(gè)量的相互關(guān)系和變化規(guī)律，同時(shí)學(xué)會(huì)用冪函數(shù)圖像與代數(shù)推理的方法研究冪函數(shù)的性質(zhì)，也為下一章“函數(shù)的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用”的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).基于冪函數(shù)這一節(jié)內(nèi)容的重要作用，筆者從學(xué)生的視角出發(fā)，制定以上教學(xué)目標(biāo)并設(shè)定教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn).

四、自主預(yù)習(xí)

在課前，學(xué)生通過觀看微視頻進(jìn)行自主預(yù)習(xí)并完成配套基礎(chǔ)題.

微視頻主要包含以下幾個(gè)方面的內(nèi)容.

(1)冪函數(shù)的概念.

(3)根據(jù)給定冪函數(shù)的圖像判斷冪指數(shù)的大小關(guān)系.

微視頻的配套基礎(chǔ)題如下.

題1在同一直角坐標(biāo)系中作出y=x，y=x2，y=x-1，y=x0的圖像.

題2填寫表1.

表1

(2)冪函數(shù)y=x-m2+2m+3(m∈Z)的定義域?yàn)镽，求字母m的值.

(3)比較2.5-3與3.1-3的大小，并說理.

設(shè)計(jì)意圖：在課前，學(xué)生通過觀看微視頻知道了冪函數(shù)的概念，能夠求具體冪函數(shù)的定義域，通過列表、描點(diǎn)、連線并結(jié)合圖像的對(duì)稱性作出具體冪函數(shù)的大致圖像，并能夠通過觀察冪函數(shù)的圖像敘述其所具備的一些性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)入課堂教學(xué).

五、課堂教學(xué)過程

(一)評(píng)價(jià)反饋

1.評(píng)價(jià)

教師活動(dòng)在學(xué)生提交的基礎(chǔ)題答案中分別選取不規(guī)范表達(dá)與正確表達(dá)進(jìn)行投影比對(duì)，讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行自主評(píng)價(jià)，從而完成對(duì)不規(guī)范表達(dá)的訂正.

學(xué)生活動(dòng)對(duì)教師呈現(xiàn)的不同答案進(jìn)行對(duì)比思考，結(jié)合單調(diào)性定義糾正可能存在的不規(guī)范表達(dá)，對(duì)指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)冪函數(shù)的增減性有更準(zhǔn)確的把握.

2.反饋

問題1這幾個(gè)冪函數(shù)的圖像是否恒過定點(diǎn)？

預(yù)設(shè)回答：恒過定點(diǎn)(1,1).

問題2對(duì)于一般的冪函數(shù)y=xa(a∈R)是否也過此定點(diǎn)，為什么？

預(yù)設(shè)回答：是的，因?yàn)?的任何次冪都等于1.

預(yù)設(shè)回答：具備，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

問題4這類冪函數(shù)圖像是否經(jīng)過定點(diǎn)(1,1)，除了(1,1)之外是否還有其他定點(diǎn)？

預(yù)設(shè)回答：是的，還有定點(diǎn)(-1,-1).

問題5請(qǐng)描述這一類冪函數(shù)的單調(diào)性.

預(yù)設(shè)回答：在(-∞,0)和(0,+∞)上分別為嚴(yán)格減函數(shù).

(二)釋疑深化

預(yù)設(shè)回答：因?yàn)閮缰笖?shù)是無理數(shù)，故無法通過不等式的基本性質(zhì)或作差的方法進(jìn)行證明，只能選用冪的基本不等式.

設(shè)計(jì)意圖：釋疑深化環(huán)節(jié)是本節(jié)課中的難點(diǎn)突破，在滬教版新教材中，冪指數(shù)從老教材中規(guī)定的有理數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍，并要求學(xué)生通過冪的基本不等式完成對(duì)冪函數(shù)的增減性的說理，這對(duì)學(xué)生提出了很高的要求.因此，筆者在課前預(yù)習(xí)時(shí)就對(duì)此難點(diǎn)的突破進(jìn)行了鋪墊，在預(yù)習(xí)基礎(chǔ)題中讓學(xué)生先從幾何的直觀感悟出發(fā)，再到課堂中通過教師的引導(dǎo)經(jīng)歷從幾何直觀到代數(shù)說理的邏輯過程，在證明的過程中筆者也將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)聚焦在相對(duì)簡單的第一象限，也就是讓學(xué)生探索當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)冪函數(shù)增減性的說理，這也從一定程度上降低了說理的難度.

(三)合作探究

圖2

問題1將此函數(shù)圖像的特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)并進(jìn)行嚴(yán)格說理.

問題2請(qǐng)通過小組合作探究的方式思考對(duì)于一般的冪函數(shù)y=xa(a≠1)，當(dāng)字母的取值范圍為多少時(shí)符合上述函數(shù)圖像特征，并進(jìn)行嚴(yán)格說理.

學(xué)生活動(dòng)仔細(xì)觀察教師提供的兩個(gè)特殊冪函數(shù)的圖像特征并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)，借助不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格說理.通過小組合作探究的形式完成對(duì)一般冪函數(shù)y=xa(a>1)圖像特征代數(shù)表達(dá)的深度思考，并通過冪的基本不等式完成嚴(yán)格說理.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過合作探究的方式旨在落實(shí)滬教版新教材中通過冪的基本不等式進(jìn)行冪函數(shù)性質(zhì)說理的要求，這對(duì)學(xué)生來說是有挑戰(zhàn)性的問題.本環(huán)節(jié)從冪函數(shù)圖像的特征出發(fā)逐步轉(zhuǎn)化為代數(shù)說理，其中特別需要關(guān)注的是指數(shù)a是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，這也是滬教版新教材與老教材的關(guān)鍵區(qū)別所在.在老教材中，指數(shù)a限定在有理數(shù)的范圍內(nèi)，函數(shù)單調(diào)性與圖像特征的說理都可以通過不等式的基本性質(zhì)完成，而新教材將指數(shù)a擴(kuò)大到了實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，那么函數(shù)單調(diào)性與圖像特征的說理都只能通過冪的基本不等式完成.在釋疑深化環(huán)節(jié)中完成對(duì)具體冪函數(shù)單調(diào)性證明之后，通過合作探究的形式進(jìn)一步探索一般冪函數(shù)圖像特征，并借助冪的基本不等式進(jìn)行嚴(yán)格說理，關(guān)注和提升學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(四)課堂小結(jié)

1.總結(jié)冪函數(shù)在第一象限中的圖像特征.

2.通過冪的基本不等式證明當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，冪函數(shù)y=xa(a>0)是嚴(yán)格增函數(shù)的性質(zhì).

3.通過小組合作的方式，依據(jù)冪的基本不等式對(duì)冪函數(shù)的圖像特征進(jìn)行代數(shù)說理.

六、課后總結(jié)與反思

(一)微視頻先導(dǎo)下，課堂教學(xué)容量更大，學(xué)生的課堂參與性更高

從本節(jié)課的整體教學(xué)設(shè)計(jì)可以看出，雖然是冪函數(shù)的第1課時(shí)，但是冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的重點(diǎn)內(nèi)容都在課堂教學(xué)中得以體現(xiàn)，課堂容量大、學(xué)生參與度高，這些都得益于學(xué)生在課前通過觀看微視頻進(jìn)行自主預(yù)習(xí).在課前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)冪函數(shù)的概念以及通過列表、描點(diǎn)、連線作出冪函數(shù)的圖像進(jìn)行了充分的準(zhǔn)備與熟悉，形成了統(tǒng)一的、更高的認(rèn)知起點(diǎn).微視頻特別為一些新知接受能力較弱的學(xué)生提供了充足的緩沖、消化時(shí)間，為課堂教學(xué)的高效、順利展開做足了鋪墊.

(二)課堂聚焦學(xué)生深度學(xué)習(xí)，注重學(xué)生在自主思考與小組合作下邏輯推理核心素養(yǎng)的提升

在形成統(tǒng)一的、更高的認(rèn)知起點(diǎn)之后，教師依據(jù)學(xué)生課前基礎(chǔ)題的完成情況，在課堂教學(xué)中重點(diǎn)聚焦學(xué)生新知學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的誤區(qū)與盲點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)突破.本節(jié)課的課前基礎(chǔ)題反饋出學(xué)生對(duì)冪函數(shù)圖像對(duì)稱性與增減性的文字表達(dá)以及代數(shù)邏輯表達(dá)都存在較大問題.因此，在練習(xí)反饋環(huán)節(jié)教師重點(diǎn)對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、比較、討論，糾正學(xué)生的表達(dá)問題以及理解誤區(qū)，又在后續(xù)的釋疑深化環(huán)節(jié)以及合作探究環(huán)節(jié)針對(duì)冪函數(shù)圖像特征的代數(shù)說理進(jìn)行集中突破，促成學(xué)生在自主思考與小組合作下邏輯推理核心素養(yǎng)的顯著提升.

(三)為“挑戰(zhàn)性”問題的深入思考預(yù)留足夠空間，讓課堂真正成為學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的“學(xué)堂”，助推教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，從根本上改善課堂教學(xué)環(huán)境

在微視頻的先導(dǎo)下，課堂為具有挑戰(zhàn)性問題的解決預(yù)留了足夠的空間，如本教學(xué)設(shè)計(jì)中借助冪的基本不等式完成對(duì)冪函數(shù)圖像特征代數(shù)說理的突破，同時(shí)也為深入的師生對(duì)話與生生對(duì)話提供了可能.這從根本上改善了傳統(tǒng)課堂教學(xué)中(特別是在概念性教學(xué)中)教師知識(shí)傳授為主的沉悶課堂環(huán)境，讓學(xué)生真正成為課堂的主導(dǎo)者，讓課堂真正成為學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的“學(xué)堂”.