聯(lián)想開路，化生為熟，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

324000 浙江省衢州第二中學(xué) 汪耀生

324200 浙江省衢州數(shù)字工業(yè)學(xué)校 徐春紅

311121 浙江省杭州二中未來科技城學(xué)校 李 盛

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，具體是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).如何提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力？這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個核心問題.筆者在長期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，采用“聯(lián)想開路，化生為熟”的解題策略，對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡單表征，容易抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，把握研究對象的數(shù)學(xué)特征，形成解決問題的思路，使運(yùn)算過程簡潔明快，解題思維程序化，感悟通性通法中的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，有利于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

一、聯(lián)想與轉(zhuǎn)化

聯(lián)想思維是指在人腦內(nèi)記憶表象系統(tǒng)中，由于某種誘因使不同表象發(fā)生聯(lián)系的一種思維活動.聯(lián)想思維是很重要的一種創(chuàng)新思維方法，在人的思維活動中起著基礎(chǔ)性的作用.

轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過變換將問題轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)思想方法.化陌生為熟悉是一種重要的解題策略.

當(dāng)面臨一道沒有接觸過的陌生題目時，要聯(lián)想曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，或聯(lián)想類似題的求解方法，“化生為熟”，充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，這樣才能順利地解題.

二、應(yīng)用舉例

(一)聯(lián)想熟悉的數(shù)學(xué)知識

分析：聯(lián)想到絕對值的一個基本性質(zhì)|a+b|+|a-b|=2max{|a|,|b|}，可簡捷求解.

例2已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+1=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an-1|(n≥2)，且a1=1，a2=a(a>1)，則a1+a2+a3+…+a24=________.(結(jié)果用含a的式子表示)

分析：題設(shè)中的關(guān)系式是若干項求和的形式，相似聯(lián)想，容易想到數(shù)列中前n項和與通項的關(guān)系，打開了解題思路.

解：當(dāng)n=2時，a3=|a2-a1|=a-1.

當(dāng)n≥3時，由題設(shè)得

評析：相似聯(lián)想是由某一事物或現(xiàn)象聯(lián)想到與它相似的其他事物或現(xiàn)象，進(jìn)而產(chǎn)生某種新設(shè)想的聯(lián)想方法.解答本題時，在理解題目蘊(yùn)含的信息后，通過對題目結(jié)構(gòu)等信息的加工，聯(lián)想相似的數(shù)學(xué)對象和關(guān)系結(jié)構(gòu)，遷移方法后發(fā)現(xiàn)解題思路，順利解決問題.

解決相似問題的過程中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的通性通法.對運(yùn)算問題，合理選擇運(yùn)算方法，設(shè)計運(yùn)算程序，在演繹推理運(yùn)算解決問題的過程中，學(xué)生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).

(二)聯(lián)想熟悉的解題方法

例4(2021全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽-7) 設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x(x+2y)=9,求x5y的最大值.

分析：聯(lián)想到這類問題的一般解題方法，利用平均值不等式，適當(dāng)配湊即可解決問題.

評析：這里運(yùn)用的是連續(xù)性聯(lián)想思維.其主要特征是由此及彼，連綿不斷地進(jìn)行，可以是直接的，也可以迂回曲折地形成閃電般的聯(lián)想鏈，連續(xù)性聯(lián)想思維是打開沉睡在頭腦深處記憶的最簡便和最適宜的鑰匙.

(三)聯(lián)想熟悉的數(shù)學(xué)問題

圖1

評注：根據(jù)題目條件結(jié)構(gòu)，構(gòu)造圖形探索解決問題的思路，“化生為熟”，尋找原型，這是破解難題的重要策略，有利于學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想.在解決某個新問題之前，如果能先知道其原型，借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法，那么對新問題的理解就會更自然、深刻和全面.遇新思陳、推陳出新對順利解決數(shù)學(xué)問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

例6若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的圖像是中心對稱圖形，則a=________.

分析：聯(lián)想已學(xué)過的中心對稱圖形，奇函數(shù)的圖像是符合要求的.已知f(x)的圖像是中心對稱圖形，若能經(jīng)過適當(dāng)平移，使函數(shù)f(x+t)剛巧為奇函數(shù)，則問題就能得到順利解決.

解法1：f(x-a)=x(|x-2a|+|x-4-a|)，使函數(shù)f(x-a)是奇函數(shù)，只須g(x)=|x-2a|+|x-4-a|是偶函數(shù).

評析：聯(lián)想思維是形象思維的具體化，其基本的思維操作單元是表象，所以，聯(lián)想思維十分生動，具有鮮明的形象.

(四)變換條件，聯(lián)想熟悉的特殊技巧

變換條件，聯(lián)想熟悉的局部(或整體)處理技巧解答問題.

如果用構(gòu)造函數(shù)的方法分類求導(dǎo)進(jìn)行求解，過程比較復(fù)雜.聯(lián)想到不等式的基本性質(zhì)，巧妙地對問題進(jìn)行整體處理，可避免繁復(fù)的分類討論.

評析：聯(lián)想思維的主要特征是由此及彼，連綿不斷，或直接或迂回曲折地形成閃電般的聯(lián)想鏈，進(jìn)而解決問題.

(五)類比結(jié)構(gòu)，利用接近聯(lián)想轉(zhuǎn)化問題

接近聯(lián)想是根據(jù)事物之間在空間或時間上的接近進(jìn)行聯(lián)想，進(jìn)而產(chǎn)生某種新設(shè)想的思維方式.有些問題給出的結(jié)構(gòu)與某些三角公式的結(jié)構(gòu)完全相同，利用接近聯(lián)想，可以通過三角代換實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，化為三角問題.

分析：從結(jié)論x2+y2知本題求解的關(guān)鍵，是怎樣將欲求結(jié)論變換為易于應(yīng)用的求解條件.

一般來說，對于題目的熟悉程度取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識和理解.從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道題都包含條件和結(jié)論(或問題)兩個方面.要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，就要根據(jù)題型全方位、多角度分析題意，充分聯(lián)想回憶基本知識和基本方法，或恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，在變換題目的條件、結(jié)論(或問題)以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫.