一道力學(xué)題中的數(shù)學(xué)方法

馮沁峰

高考物理試題通常以“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”為考查內(nèi)容，以“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”為考查要求。在物理高考中，應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力要求考生能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析。根據(jù)這一要求，高中物理教學(xué)尤其應(yīng)該注重對學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題能力的培養(yǎng)。下面我們就一道力學(xué)題的多種解法來了解多種數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用。

題目：如圖一所示，從傾角為θ的斜面頂端以初速度V0把一小球水平拋出，不計(jì)空氣阻力，若斜坡足夠長，則小球拋出后在運(yùn)動(dòng)過程中距離斜坡的最大距離H為多少？

解法一：小球的運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng)。取地面為參考平面，則小球的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生水平方向和豎直方向兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果，可以根據(jù)研究平拋運(yùn)動(dòng)的一般方法，在水平方向和豎直方向兩個(gè)方向研究小球的運(yùn)動(dòng)。

如圖二所示，取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系。根據(jù)小球在水平方向的分運(yùn)動(dòng)為初速V0的勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，可以寫出小球在任意一個(gè)時(shí)刻t的位置坐標(biāo)（取拋出時(shí)刻為零時(shí)刻）

x1=V0t? ? ? ?y1=－gt2

斜面在xoy坐標(biāo)系中可等效為傾角為1800—θ的過原點(diǎn)直線，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，可寫出該直線的方程為：

y=kx=x· tg（1800－θ）= －x·tgθ

整理得：x ·tgθ+y=0

小球在運(yùn)動(dòng)過程中任意一個(gè)時(shí)刻距斜面的距離可理解為小球在任意一個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo)點(diǎn)距直線x ·tgθ+y=0的距離，該距離可根據(jù)數(shù)學(xué)中講過的點(diǎn)到直線的距離公式：d=求出。其中a=tgθ，b=1，c=0：d==

可以看出當(dāng)t=時(shí)d具有最大值。所以H=dmax=

解法二：研究曲線運(yùn)動(dòng)的一般方法是“先分解后合成”，在把曲線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解時(shí)，應(yīng)該從運(yùn)動(dòng)的效果出發(fā)進(jìn)行分解。本題中若取斜面為參考平面，可以認(rèn)為小球產(chǎn)生了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果：沿斜面向下的運(yùn)動(dòng)和垂直斜面方向的運(yùn)動(dòng)。因此，可以在沿斜面方向和垂直斜面方向研究小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況。

如圖三，取拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取沿斜面向下為x軸正方向，垂直斜面向上為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系。小球只受一個(gè)重力，分解到x軸和y軸方向，則：

x軸方向：初速度V0x=V0cosθ，F(xiàn)x=Gx=mgsinθ，∴ax=gsinθ，所以x軸方向小球做初速度為V0cosθ，加速度為gsinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

Y軸方向：初速Voy=Vosinθ，F(xiàn)y=Gy=－mgcosθ，∴ay=－gcosθ，所以y軸方向小球做初速度為

Vosinθ，加速度為－gcosθ的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

本題所研究的問題只y軸分運(yùn)動(dòng)有關(guān)。小球在任意一段時(shí)間t內(nèi)在y軸方向發(fā)生的位移可根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式求得：y=Voyt＋ayt2= Vosinθ·t－gcosθt2=－gcosθ（t－）2＋可以看出：當(dāng)g=時(shí)，y具有最大值∴H=Ymax=

解法三：除上述兩個(gè)方法外，本題還可以通過對物理過程的分析，結(jié)合幾何關(guān)系求解。

根據(jù)對小球運(yùn)動(dòng)過程的分析可知：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到其速度方向與斜面平行時(shí)，距斜面距離最大。設(shè)該點(diǎn)為D，過D做斜面的垂線（如圖四所示，）垂足為C。過D點(diǎn)作水平線分別交斜面和豎直邊于B、A。拋出點(diǎn)為O。D點(diǎn)速度平行于斜面，則：Vcosθ=VO ， ∴V=? 豎值分速度V1=V0tgθ，∵V1=gt? ? ? ?∴t=，OA=gt2= ，AD=Vot=

AB=OActgθ=，BD=AD－AB=，H=DC=BDsinθ==

從本題的三種解法可以看出，數(shù)學(xué)和物理是緊密聯(lián)系的，數(shù)學(xué)為物理學(xué)的發(fā)展提供了強(qiáng)有力的工具。應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題，不僅要求學(xué)生要把數(shù)學(xué)學(xué)好，還要求學(xué)生掌握在具體處理物理問題時(shí)知道怎樣用數(shù)學(xué)。因此，高中物理教學(xué)應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。