巧解往復式活塞壓縮機疑難問題

栗麒婷

近期，筆者看到了一個往復式活塞壓縮機相關問題，小猿搜題、作業幫等相關平臺的解析都不能完全說通，引起了筆者的強烈好奇心，解出來后與大家共享。

題目如下：

往復式活塞壓縮機原理如圖所示，圓盤上的B點與活塞上的A點通過鉸鏈連接在直桿兩端，圓盤繞固定轉動軸O點以角速度逆時針勻速轉動，從而使活塞水平左右移動。以O為圓心，AO為x正方向建立如圖的坐標系，己知OB=R，下列說法正確的是（C）

A.當B到達（R，0）位置時，活塞的速度最大

B.當B到達（0，R）位置時，活塞的速度向左且最大

C.在B從（0，R）到（-R，0）的過程中，活塞的速度先增大后減小

D.在B從（0，R）到（0，-R）的過程中，活塞的速度先增大后減小

小猿搜題解析如下：

A.?當B到達（R，0）位置時，B點的速度豎直向上，桿的水平速度等于零，活塞的速度等于零，A錯誤；

BC.當桿和圓盤邊緣相切時，活塞的速度最大，所以在B從（0，R）到（-R，0）的過程中，活塞的速度先增大后減小，B錯誤，C正確；

D.?當桿和圓盤邊緣相切時，活塞的速度最大，在B從（0，R）到（0，-R）的過程中，桿和圓盤有兩次相切，活塞的速度有兩次最大，活塞的速度兩次先增大后減小，D錯誤。

A選項毋庸置疑，大家都易理解，只是BCD選項解析中提到：“當桿和圓盤邊緣相切時，活塞的速度最大”有些令人費解，圓盤線速度大小不變，桿和圓盤邊緣相切時，只能說明桿的速度最大，桿的速度與活塞速度不同，因此，解析是不太清楚的。針對這個問題，我進行了研究，如下圖及推導過程：

設圓盤與桿連接處B點的速度與桿的夾角為，活塞與桿連接處的速度與桿在水平方向的夾角為。根據關聯速度可得以下關系：

則

當圓盤與桿連接處在最高點時：，。隨著圓盤的轉動，一直減小，分母一直增大；也在一直減小，分子一直增大，但減小地更快，故增大地更快，在增大。

直到圓盤與桿相切時，分子部分，則，為最大值（且大于分母）。圓盤與桿相切之后增大，分子減小；減小，分母繼續增大，在減小。由此推斷，圓盤與桿相切時活塞速度最大。

所以，在B從（0，R）到（-R，0）的過程中，活塞的速度先增大后減小。問題得到了很好的解釋，希望能對大家有幫助。