與調和級數(shù)有關的幾個數(shù)理問題賞析*

韋燕平

(江蘇省無錫市第一中學 214000)

謝廣喜

(江南大學理學院 214122)

一般地，我們將表達式a1+a2+a3+…+an+…稱為無窮級數(shù)(簡稱級數(shù))，當無窮級數(shù)的極限存在時，稱級數(shù)收斂(無窮等比數(shù)列各項和就是一個特殊的收斂級數(shù))，否則稱級數(shù)發(fā)散．有關級數(shù)問題的深入研究主要在數(shù)學分析或復變函數(shù)論相關內容中有探討，前者主要探討實數(shù)背景下的數(shù)列斂散性問題，而后者主要探討復數(shù)背景下的數(shù)列斂散性問題．

我們將證明，對于任意大于SN0的正整數(shù)m，必存在n>N0，使得Sn-m∈(a,b)，也即m+aN0，使得m+a

為了與待證目標建立聯(lián)系，我們令mi=[SN0]+i(i=1,2,3,…)，利用(** )式，則mi>SN0，再利用(*)式，知存在ni，當ni>N0時，有mi+a

盡管調和級數(shù)本身是無法求和化簡的，但我們還是可以找到適當?shù)暮瘮?shù)，動態(tài)描述其“下界”特性：

(1)用a表示b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

簡解 (1)易得到b=a-1，c=-2a+1．

解析 為理解方便，我們下面具體針對不含數(shù)字9的情形予以證明(讀者可以發(fā)現(xiàn)，我們的證明實際上與該數(shù)字具體是幾是無關的).記r1=調和級數(shù)中不含數(shù)字9的1位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8項)，r2=調和級數(shù)中不含數(shù)字9的2位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×9項)，r3=調和級數(shù)中不含數(shù)字9的3位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×92項)，…，rn=調和級數(shù)中不含數(shù)字9的n位(十進制)數(shù)的倒數(shù)之和(其中共有8×9n-1項；一般地，我們利用乘法原理可得到這個結果，首位由于不能為0，又不能為9，故有8種選法，其他各位有9種選法，故滿足要求的n位(十進制)數(shù)共有8×9n-1個)．

評注為了記憶簡單方便，我們不妨稱此為特殊前提下調和級數(shù)的反常收斂，當然，如果我們將個位數(shù)的部分放縮得精致一些(現(xiàn)在的放縮顯然是比較粗糙的)，則可得到更小一點的上界．

簡解 與上題完全類似地，在k(k∈N*)位十進制正整數(shù)中，各位上的數(shù)碼不含2,0,1,6者共有(10-4)k=6k個，其中首位分別為3,4,5,7,8,9的各有6k-1個，于是

圖1

例5如圖1所示，將若干塊完全相同的均勻長方體磚塊疊放起來，第一塊磚相對于第二塊磚最右端能伸出去的最大長度為x1；此時將1,2塊磚看成一個整體，第二塊磚相對于第三塊磚最右端能伸出去的最大長度為x2；此時再將1,2,3塊磚看成一個整體，記第三塊磚相對于第四塊磚最右端能伸出去的最大長度為x3……第n塊磚相對于第(n+1)塊磚最右端能伸出去的最大長度為xn，試求Sn=x1+x2+…+xn(設每塊磚的長度為l)．

圖2