在軌跡的概念教學中培養邏輯思維能力
——以滬教版八年級教材“19.6(1) 軌跡”的教學為例

200030 上海市徐匯中學 仇 霞

《全日制義務教育數學課程標準(2011年版)》對于邏輯推理能力有如下說明：“通過義務教育階段的數學學習，學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點

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”在初中數學教學中，教師需要結合基礎知識教學培養學生邏輯思維能力，“軌跡的概念”這一教學內容恰好是一個很好的載體

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根據滬教版八年級上學期教材的內容安排，在廣度上，學習軌跡之前，以平行線的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識的運用為載體，學生學習了基本的邏輯術語和演繹推理的基本思路

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研究軌跡的概念時，以角的平分線、線段的垂直平分線和圓這三條基本軌跡為載體，感悟軌跡概念中所含有的“純粹性”和“完備性”的要求

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通過這部分的學習，學生體會到利用圓、線段的垂直平分線、角的平分線(或者平行線)證明點點等距、點線等距和線線等距是常用的方法，知道軌跡是具有某種特征性質的點的集合，為今后的學習(如幾何證明和高中的軌跡方程等)打下基礎

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在深度上，軌跡是對角的平分線和線段的垂直平分線等一般的抽象

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例如，教材中對角的平分線概念及其性質進行了三個層次的抽象

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層次一，用定理“在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”和逆定理“在一個角的內部(包括頂點)且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”表述；層次二，角的平分線上的點是符合在角的內部(包括頂點)到角的兩邊的距離相等的點的集合；層次三，在說明了軌跡的含義之后，在角的內部(包括頂點)到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線

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軌跡的概念教學內容是對基本軌跡的抽象、概括，在基本軌跡的基礎上，通過分析、推理等思維活動對大腦中的概念進行更高層次的整合，在感悟概念背后的集合意義的過程中，逐漸掌握概念的本質

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筆者探索在軌跡的概念教學中如何有效培養學生的邏輯思維能力

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1 課前思考

在本節課之前，學生常將直線、圓等幾何圖形看作相對靜止的對象來研究其所具有的性質，本節課則將幾何圖形看作點的運動，用運動的觀點來認識圖形的性質

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軌跡的概念包含集合思想，必須具備純粹性和完備性的雙重性質

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在此之前，學生常借助直觀形象去理解幾何概念，學生第一次接觸這一較為抽象的定義形式后，感到沒有“如此反復”的必要，在應用中仍然會只顧“完備”而忽視“純粹”

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所以，筆者將本節課的第一個教學重點確定為了解軌跡的意義

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接下來的軌跡學習涉及用交軌法進行基本的作圖，學生必須對基本軌跡足夠熟悉才能夠作圖，以三條基本軌跡為載體也能夠幫助學生理解軌跡的意義，所以知道“線段的垂直平分線”“角的平分線”和“圓”三條基本軌跡是本節課的第二個教學重點

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圖形運動時會產生復雜的幾何問題，而在復雜的變化中抓住不變的本質有利于學生之后解決更加高難度的問題，并且之后集合問題的探究和解決對學生的推理論證能力和空間想象能力等要求越來越高，所以將本節課的教學難點確定為會用三條基本軌跡解釋簡單的軌跡問題，并用圖形語言表示

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2 基于波利亞數學教育理論的課堂實踐例說

數學教育家波利亞認為數學有兩個側面

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一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數學是一門系統的演繹科學；另一方面，創造過程的數學看起來更像是一門試驗的歸納科學

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波利亞提出學習過程的三原則，即主動學習、最佳動機和循序階段，并且可以把學習的階段劃分為探索階段、闡明階段、吸收階段

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波利亞的學習原則給人以如下啟示

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第一，主動學習要求學生的思維活動起來，而不是僅僅處在模仿水平和記憶水平上

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第二，學習任何知識最好的途徑就是去發現

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第三，要依據學生的發展水平和動機狀態等按照最佳順序呈現教學內容

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所以，波利亞認為數學的教學目標是必須教會學生猜想，并教會學生去證明自己的猜想，即合情推理與論證推理，發展學生解決問題的能力，這也與初中課標中邏輯推理能力的培養要求不謀而合

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2.1 探索階段：提前滲透軌跡概念，經歷概念的生成過程

在本節課之前，學生就已經學過了圓、角的平分線和線段的垂直平分線，已經有了相關的知識基礎，所以可以在之前的數學教學中，初步講述“點的集合”的含義，有意向學生滲透軌跡的思想

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例如，提出“在角的平分線上任意一點到這個角的兩邊的距離相等，那是否只有角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等呢？”的問題，為軌跡概念中的完備性和純粹性埋下伏筆，為軌跡概念的探索做準備，并且這樣的滲透可以隨著年級的提高逐漸加強

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概念形成的一個重要條件是學生必須能從許多事物、事件或情境中認識或抽象出它們的共同特征，以便進行概括

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而對于高度抽象化的數學概念的引入，一定要從真實事物出發，所以需要從知識發生的過程設計問題，突出概念的形成過程和來龍去脈，盡可能努力創設情境讓學生去探索，通過自身的努力去建構新知識，讓他們的思維水平不僅僅停留在模仿和記憶水平上

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在軌跡的概念教學中，從知識發生的過程設計問題，融入歸納、類比、概括等合情推理的方法，不是簡單的“一次歸納”，而是教師與學生反復經歷“提問—探索—討論—質疑—再提問”的過程

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軌跡是一個抽象性較強的概念，初中生習慣于借助直觀形象和常見數學模型理解數學概念，他們對軌跡的定義常感到抽象、別扭和空洞，不能正確地形成軌跡的概念，同時教材中又將軌跡、點的軌跡和符合條件的點的軌跡三個概念作為一個概念

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所以，在本節課中，教師將首先提供直觀材料，幫助學生形成表象認識，從具體的生活情境到抽象的數學情境，從動態的曲線到靜態的點的集合進行問題設計，鋪設問題臺階，了解軌跡的意義

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(如表1所示)

片段：概念引入部分

以表1情境1中的鐘擺問題為例，引導學生歸納總結鐘擺的運動路線是一段弧之后，提出問題：如何刻畫不存在的這段曲線？將鐘擺(抽象成點)運動過程中經過的每一個位置看作一個點，那么所有點的集合就形成了曲線

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表1 概念引入部分問題設計

具體抽象情境1:鐘擺問題情境2:投籃問題①物體在做什么樣的運動?它的運動路線是什么?(沿著曲線運動)②這樣的曲線是真實存在的嗎?如何刻畫這樣的曲線?①總結:我們把這些曲線看作符合條件的點的集合②軌跡的定義:符合條件的所有的點的集合③你能再舉出一些軌跡的例子嗎?生活 → 數學

2.2 闡釋階段：分步感受軌跡意義

軌跡是符合某些條件的所有點的集合，其中涉及“集合”的認識和對“某些條件”的具體化，而集合必須具備“純粹性”和“完備性”，這對學生而言很難理解

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根據循序階段原則，學生形成良好的數學認知結構比獲得零散的數學知識更加重要，為突破這個難點，筆者設計了三個具體例子(即三個基本軌跡)讓學生逐漸感悟軌跡上的點必須滿足條件(純粹性)，而不在軌跡上的點一定不滿足條件(完備性)，體會軌跡概念中所蘊含的“雙重性”意義

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片段：概念剖析部分

例題1

在同一平面內，求到定點

A

的距離等于1cm的點的軌跡

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例題2

在同一平面內，求到定點

A

、

B

距離相等的點的軌跡

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例題3

在同一平面內，求在∠

AOB

的內部(包括頂點)，到角兩邊距離相等的點的軌跡

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(如表2所示)

表2 例題的設置與講解

例題1例題2例題3教學層次教師講解為主學生講解為輔學生講解為主教師講解為輔學生講解符合條件的點軌跡上的點都應該滿足什么條件?符合條件的點的集合你可以畫多少個這樣符合條件的點?無數個符合條件的點組成了什么樣的圖形?軌跡我們可以發現圖形上的點都滿足條件,反過來,是不是所有符合條件的點都在該圖形上呢?圖形語言以點A為圓心,1cm為半徑的圓A即為所求點的軌跡直線PQ即為所求點的軌跡射線OP即為所求點的軌跡基本軌跡到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個點為圓心、定長為半徑的圓到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線在一個角的內部(包括頂點)且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線

在處理例題1時，學生會產生困惑：要我找圓的什么？是不是要我畫一個圓？這是學生初學軌跡問題的常見心理定勢現象，所以筆者按照學生的認知水平設計不同層次的問題，幫助學生理解軌跡

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以例題1中“圓”的基本軌跡為例，筆者設計了如下問題

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問題1

軌跡上的點都應該滿足什么條件？(到點

A

的距離為1cm)——符合條件的點

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問題2

你可以畫多少個這樣符合條件的點？(無數個)

問題3

無數個符合條件的點組成了什么樣的圖形？(圓)——符合條件的集合(初步顯現動點概念)

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問題4

我們可以發現圓上的點都滿足條件(純粹性)，反過來，是不是所有符合條件的點都在圓上呢(完備性)？(圓內的點到定點

A

的距離<1cm，圓外的點到定點

A

的距離>1cm)——軌跡.通過以上問題，學生感受軌跡的生成過程，在三道包含基本軌跡的例題中體會軌跡上的點必須都滿足條件，而滿足條件的點都在軌跡上，最后總結出對應的基本軌跡

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2.3 吸收階段：化歸解決軌跡問題

改變點的條件，基本不改變點的軌跡結果，對應三條基本軌跡對例題進行變式(如表3所示)，突出三條基本軌跡的本質屬性，在變化中認清本質，重視剖析軌跡滿足的條件，轉化為基本軌跡，并用文字語言和圖形語言表示，從而達到強化重點的目的

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在繪制軌跡的過程中，將軌跡上的點應符合的幾何條件轉化為圖形語言來表達，感悟“描點法”這一從特殊到一般的常用軌跡繪制方法

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同時，對于繪制的每一個圖形，檢查它的“完備性”和“純粹性”，體現軌跡概念的嚴密性

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表3 應用三條基本軌跡解決簡單軌跡問題設計

例題變式圖形語言例題1圓在同一平面內,過點A且半徑為1cm的圓的圓心O的軌跡以點A為圓心,1cm為半徑的圓A即為所求點的軌跡例題2線段的垂直平分線(1)在同一平面內,以線段AB為底邊的等腰三角形的頂點的軌跡直線PQ(點Q除外)即為所求點的軌跡(2)在同一平面內,經過定點A,B的圓的圓心的軌跡直線PQ即為所求點的軌跡例題3角平分線(1)在同一平面內,與兩條相交的定直線m和n距離相等的點的軌跡直線OP和直線OQ即為所求點的軌跡(其中OP平分∠BOC及其對頂角,OQ平分∠COD及其對頂角)(2)在同一平面內,與直線AB的距離為1cm的點的軌跡直線m和直線n即為所求點的軌跡(3)在同一平面內,與平行直線m,n的距離相等的點的軌跡直線l即為所求點的軌跡(其中l為兩條定直線的公垂線的垂直平分線)

實際教學中，學生雖然有意識地將新的軌跡問題轉化為三條基本軌跡，但是對具體轉化為哪一條感到茫然，回顧本節課的應用概念部分，筆者雖然對每道例題進行了相關的變式，獲得幾乎和例題相同的軌跡，但是并沒有引導學生感悟變式和例題之中不變的關系

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筆者認為，數學教學強調的不僅是提高學生的解題能力，還意在培養學生對知識有完整的、成體系的理解和掌握

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基于此，對教材中應用概念部分進行調整，在分析過程中滲透化歸法

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將三條基本軌跡總結為以下三個方面，即點點定距可以化歸為圓；點點等距可以化歸為線段的垂直平分線；線線等距可以化歸為角的平分線(或者平行線)

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片段：應用概念部分

在例題2的變式(1)中，學生很容易認為直線

PQ

就是所求點的軌跡，仿照例題的思考方式提出問題：直線

PQ

上的點都滿足條件嗎？可以發現

Q

點雖然滿足

QA

=

QB

，但此時等腰三角形卻不成立，所以直線

PQ

不是所求點的軌跡

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而在例題3的變式(1)中，學生易將直線

OP

當作所求點的軌跡，仿照例題的思考方式提出問題：雖然直線

OP

上的點都滿足條件，反過來，是不是所有符合條件的點都在直線

OP

上呢？所以直線

OP

也不是所求點的軌跡

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當學生回答問題出現錯誤時，教師不僅要指出他們的錯誤，還要對學生的答題思路進行梳理，幫助他們找到不合邏輯的地方，進一步培養他們的邏輯思維能力

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3 結語

數學邏輯推理是由數學核心素養引發的，對于學生發展具有十分重要的意義，其培養是一個長期的過程

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所以，在教學過程中，要將數學邏輯推理和教學實踐相融合

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在軌跡概念的教學中，結合波利亞提出的三大學習原則和學習階段理論，在概念探索階段，重視情境創設，從生活到數學，從具體到抽象，從特殊到一般，借助合情推理逐步歸納出軌跡的概念；在概念闡釋階段，從三條基本軌跡中分步感受軌跡概念中的“完備性”和“純粹性”，注重突破學生邏輯推理時的難點；在概念吸收階段，巧用幾何概念的非標準變式，化歸成點點、點線等，借助演繹推理解決問題

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本節課的學習幫助學生更深刻地理解軌跡的意義，提升學生的空間想象能力、推理論證能力和數學表達能力，培養學生的邏輯推理能力和良好的思維習慣

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