2021年以色列秋令營一道不等式試題的探究

鄧學忠

(山東省東營市第二中學 257000)

2021年以色列秋令營數學競賽中有如下一道不等式試題：設

a

,

b

,

c

≥0，

a

+

bc

=2，求證：

①．

不等式①的左邊含有三個變量，右邊只含有一個變量，兩邊極不對稱.對此可考慮將左邊第一項移到右邊，使相同的變量在同一邊，由此可以打開解題思路．

證明

不等式①等價于②．

由于=

由已知條件易知0≤

bc

≤2，則有(2-

bc

)(

b

+

c

-2

bc

)≥0，整理得所以所以欲證不等式②，只需證兩邊去分母后整理得

a

-6

a

+17

a

-28

a

+24

a

-8≤0，分解因式得(

a

-2)(

a

-1)[(

a

-1)+3]≤0 ③．

點評

對不等式②的處理，按照減元策略，容易想到從左邊入手，通過“先通分，再變形，后放縮”的方法，使左邊含有兩個變量的式子放縮為只含有一個與右邊相同變量的式子，從而將三元不等式轉化為一元不等式，實現了問題的根本性轉變．

將上述賽題推廣，可得到

推廣

設求證：

④．

證明

由于由已知條件易知0≤

bc

≤

m

，則有(

m

-

bc

)(

b

+

c

-2

bc

)≥0，整理得所以所以欲證不等式④，只需證兩邊去分母后整理得

a

+(2-4

m

)

a

+(5

m

-3

m

+3)

a

-(2

m

+2

m

+2

m

)

a

+(5

m

-5

m

+2

m

)

a

-2

m

+4

m

-2

m

≤0，分解因式得(

a

-

m

)[

a

+(2-3

m

)

a

+(2

m

-

m

+3)

a

+(

m

-3

m

)

a

+2

m

-4

m

+2

m

]≤0 ⑤．

(3)差價補貼提高14.67%，政府支出增加16.6%。由于目標價格提高而市場價格下降，價差擴大導致單位產品補貼增加14.67%，同時由于試點區大豆產量增加，政府補貼資金支出將增加16.6%，約10億元，從目前的60億增加到70億。

由已知易知0≤

a

≤

m

，則不等式⑤可轉化為

a

+(2-3

m

)

a

+(2

m

-

m

+3)

a

+(

m

-3

m

)

a

+2

m

-4

m

+2

m

≥0，等價于(

a

-

m

+1)(

a

-

ma

-

m

+3

m

+2)+(-

m

+3

m

-4)

a

+

m

-3

m

+

m

+3

m

-2≥0，等價于⑥．由可知由

a

及

m

的取值范圍得(2-

m

)

a

+(

m

-1)≥(2-

m

)

m

+(

m

-1)=1>0．于是不等式⑥成立，從而不等式④成立．

當我們將目光再次聚焦到不等式①，考慮將左邊各個分母去平方項后進行放縮，并與右邊加以比較，就會產生如下新的問題．

問題1

設

a

,

b

,

c

>0，

a

+

bc

=2，求證：

⑦．

證明

由于由三元均值不等式，得≥3，等價于3

bc

≤

bc

(

b

+

c

)+1，等價于4

bc

-1≤

bc

(

b

+

c

+1)，整理得所以所以欲證不等式⑦，只需證去分母，整理得2

a

-11

a

+24

a

-23

a

+8≥0，分解因式得(

a

-1)[2(

a

-1)+3(2-

a

)]≥0 ⑧．由已知條件易知0≤

a

≤2，由此可知不等式⑧成立，從而不等式⑦成立．

點評

將變形為之后，由于判斷與

bc

的大小比較困難，因此繼續變形為判斷與

bc

的大小就容易多了.所以，適當地變形有利于解題思路的順暢．

考慮到不等式①的下界問題，經過探究得到：

問題2

設

a

≥1，

b

,

c

≥0，

a

+

b

+

c

=3，求證：

⑨．

證明

由已知條件及柯西不等式得則欲證不等式⑨，只需證⑩.78)≥0?(

a

-1)(

a

-3)(3

a

-13

a

-26)≥0?3(

a

-1)(

a

-3)-(

a

+35)(

a

-1)(

a

-3)≥0．由已知條件易知1≤

a

≤3，由此可知不等式成立，從而不等式⑨成立．

點評

不等式⑨看似復雜，但是根據已知條件，容易想到利用柯西不等式對左邊后兩項的和進行放縮，由此轉化為一元不等式問題，再通過合理的去分母與分解因式，轉化為不等式就水落石出了．

由賽題可知，在已知條件下，不等式①的左邊小于等于1是不可能的，如果改變已知條件，這種結果會成立嗎？由此得到：

問題3

正實數

a

,

b

,

c

滿足

abc

(

a

+

b

+

c

)≥3，求證：

證明

去分母后，不等式等價于

a

b

c

+

a

b

+

c

a

+

b

c

≥4，等價于(

ab

+

bc

+

ca

)+

a

b

c

≥4+2

abc

(

a

+

b

+

c

)．由=2

abc

(

a

+

b

+

c

)可知，不等式可轉化為+

bc

+

ca

)+

a

b

c

≥4，等價于(

ab

+

bc

+

ca

)+3

a

b

c

(

ab

+

bc

+

ca

)≥12(

ab

+

bc

+

ca

).由舒爾不等式可知，(

ab

+

bc

+

ca

)+9

a

b

c

≥4

abc

(

a

+

b

+

c

)(

ab

+

bc

+

ca

)，所以不等式可轉化為4

abc

(

a

+

b

+

c

)(

ab

+

bc

+

ca

)+3

a

b

c

(

ab

+

bc

+

ca

)≥12(

ab

+

bc

+

ca

)+9

a

b

c

．

由可知不等式成立，從而不等式成立．

點評

與賽題比較，問題3的條件變復雜了，而要證明的不等式卻變簡單了，但是由于條件發生了改變，因此不能將不等式左邊第二、三項的和進行放縮了，只能采用“笨辦法”去分母轉化為整式不等式，因為式是一個非齊次的不等式，轉化為不等式后利用舒爾不等式則是一種較為有效的解決途徑，否則思路會就此擱淺．

數學問題的探究，是一個知識和方法不斷深化的過程.因為思考才有了新問題，因為動手做才有了解決問題的途徑，所以我們在數學解題的過程中，要不忘思考的初心，方得做題的始終，才能切實提升數學素養和解題能力．