一道IMO42不等式試題的探討

馮光文 (云南省昭通市第一中學 657000)

本文從一道IMO42不等式試題說起，談談如何運用多種方法進行證明，并通過遷移和變通解決新問題，看清問題的源與流．

問題1

(2001年IMO42試題)對所有的正實數

a

,

b

,

c

，證明：分析 觀察待證不等式的結構：該不等式一是分式型并且帶有根號，二是輪換對稱，三是分子的次數高于分母的次數．由于不等式右邊是具體的常數，這說明需要對左邊含有

a

,

b

,

c

的式子的分子與分母進行約分．約去何種數式？這需要對左邊的式子進行合理的處理．文[1]采用待定系數法證明類似地證明另外兩個式子，三個不等式相加即可證明．本文利用柯西不等式和權方和不等式給出另兩種證法

.

證法1

首先由柯西不等式易得再由柯西不等式得于是從而只要證(

a

+

b

+

c

)≥

a

+

b

+

c

+24

abc

．(*)

因為所以(*)式成立，從而原不等式成立．

評注

證法1兩次運用柯西不等式，通過不等式的放縮進行轉化，利用差值比較法以及

n

元均值不等式實現證明．

證法2

將待證不等式左邊變形為即利用權方和不等式可得下同證法1．

還有其他的變形方法，留給讀者思考．

評注

證法2中的思想是通過將原不等式的分子分母分別同乘從而構造權方和不等式的模型，利用權方和不等式及

n

元均值不等式證明．

問題2

(《數學通報》2003年第5期1435號問題)已知

a

,

b

>0，求證：≥1． ①

與問題1相比，待證式中字母變少了，但所證結構卻一樣，屬于問題1的同源題．注意到所以可采用問題1中的方法2來證明：

評注

本題也可用待定系數法或柯西不等式來證，讀者不妨一試．由于問題2結構簡單，因此還可通過去分母來處理：兩邊平方整理得故原不等式成立．《數學通訊》2011年第11、12期78題：已知

a

,

b

為正實數，求證：②

與問題2如出一轍，可用問題2的方法對其進行證明．文[3]中對②式用了五種方法證明，其本質上還是待定系數、去分母轉化等．有些資料中有如下的問題：

已知

a

,

b

為正實數，求證：③；④．通過對比觀察發現：不等式①與不等式③④根號中系數不同，因而結果是不同的，一個是不等式的下界，一個是不等式的上界，不同的系數導致其結論不同．抓住這個特性，文[4]將之推廣為“已知

a

,

b

為正實數，

λ

≥3，求證：并用較為繁瑣的方法對其進行了證明，實則用權方和不等式證明更容易．對于不等式的上界與下界，文[5]中有如下的問題：設

a

,

b

>0，求證：此不等式可以構造函數利用導數證明，還可以去分母，通過等價變形進行證明．

問題3

(2007年臺灣地區競賽題)設

a

,

b

,

c

為正實數，證明：

分析 與問題1對比發現，其結構一樣，只不過分母根號內的系數由8變為9，這導致了兩個不等式的下界不同．問題1有多種思考策略，本題亦如此，當然可以利用權方和不等式來證．

證明

即證由均值不等式可得

a

+

b

+

c

+30(

a

b

+

ab

+

a

c

+

ac

+

b

c

+

bc

)-183

abc

≥3

abc

+30·6

abc

-183

abc

=0(上述所有不等式均在

a

=

b

=

c

時取等號)，所以原不等式成立．2013年《數學通訊》第1、2期問題征解125題：設

a

,

b

,

c

為正實數，且

a

+

b

+

c

=1，求證：不難發現與問題1不同的是增設了一個條件

a

+

b

+

c

=1，其他是一樣的，可沿用問題1的方法解決，留給讀者思考．我們還可以將上面的問題推廣到下面的問題4．

問題4

設

a

,

b

,

c

為正實數，

λ

≥8，求證：

證明

即證+

b

+

c

+3

λabc

)?(

λ

-8)(

a

+

b

+

c

)+3(1+

λ

)(

a

b

+

ab

+

a

c

+

ac

+

b

c

+

bc

)+(6-21

λ

)

abc

≥0(** )．由均值不等式知

a

+

b

+

c

≥3

abc

，

a

b

+

ab

+

a

c

+

ac

+

b

c

+

bc

≥6

abc

，從而(** )式左端≥3(

λ

-8)

abc

+18(1+

λ

)

abc

+(6-21

λ

)

abc

=0，且上述不等式均在

a

=

b

=

c

時取等號，從而原不等式成立．

問題5

(2004年波蘭數學奧林匹克試題)設

a

,

b

,

c

,

d

是正實數，證明：

分析 顯然該不等式是對上面所討論不等式的拓展，其結構與問題1～4類似，在文[1]中還是利用待定系數法對其進行證明．我們仍用權方和不等式進行證明．

證明

原不等式左邊即證因為(

a

+

b

+

c

+

d

)=[(

a

+

b

+

c

+

d

)]=(

a

+

b

+

c

+

d

)+2(

a

+

b

+

c

+

d

)(2

ab

+2

ac

+2

ad

+2

bc

+2

bd

+2

cd

)+(2

ab

+2

ac

+2

ad

+ 2

bc

+2

bd

+2

cd

)，且+2

ac

+2

ad

+2

bc

+2

bd

+2

cd

)，于是有(

a

+

b

+

c

+

d

)≥且上述不等式均在

a

=

b

=

c

=

d

時取等號，故原不等式成立．

問題1～5探討了同源問題的來龍去脈，利用權方和不等式統一證明了這一系列的問題，同時還對其進行推廣，獲得了相應的結論．數學解題的核心素養就在于學會“觀、思、變、論、推、創”，這樣才學得靈活，學得透徹，學得富有新意．