利用數學運算解決一類函數的對稱性問題*
2022-11-14 13:29:59林心如福建師范大學附屬福清德旺中學高一350319指導教師
中學數學雜志 2022年4期
林心如 (福建師范大學附屬福清德旺中學高一(1)班 350319) 指導教師 周 寧
函數的對稱性問題在教材中沒有直接作為授課內容呈現，而是以課后習題形式出現，并且是通過轉化為函數的奇偶性加以解決．那么，是否還有其他的方式進行求解？本文進行了以下的探究．
1 試題與分析
問題
我們知道，函數y
=f
(x
)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y
=f
(x
)為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y
=f
(x
)的圖象關于點P
(a
,b
)成中心對稱圖形的充要條件是函數y
=f
(x
+a
)-b
為奇函數．(1)求函數f
(x
)=x
-3x
圖象的對稱中心；(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y
=f
(x
)的圖象關于y
軸成軸對稱圖形的充要條件是函數y
=f
(x
)為偶函數”的一個推廣結論．分析 這道題是人教A版必修第一冊第87頁“拓廣探索”欄目的最后一題，有一定的難度，主要體現在對背景知識的理解和代數運算．根據題意，要將題目的對稱性轉化為函數的奇偶性．不妨設y
=f
(x
)圖象的對稱中心為(a
,b
)，則問題等價于y
=f
(x
+a
)-b
為奇函數，利用奇函數的函數關系式可得，f
(-x
+a
)-b
+f
(x
+a
)-b
=0，再將f
(x
)=x
-3x
代入求解．為了減少計算量，可以考慮先取特殊值(比如x
=0，x
= -1)求解出對稱中心的坐標，再驗證一般性成立．通過上述的分析可知，本題主要考查對函數奇偶性的理解以及知識的轉化遷移能力，對邏輯推理、數學運算等數學核心素養要求較高．解法1
設函數f
(x
)=x
-3x
圖象的對稱中心為(a
,b
)，則g
(x
)=f
(x
+a
)-b
為奇函數，故g
(-x
)=-g
(x
)，即g
(-x
)+g
(x
)=0，f
(-x
+a
)-b
+f
(x
+a
)-b
=0，即(-x
+a
)-3(-x
+a
)-b
+(x
+a
)-3(x
+a
)-b
=0，整理得(3a
-3)x
+a
-3a
-b
=0，故解得故函數f
(x
)=x
-3x
圖象的對稱中心為(1,-2)．解法2
同上可得g
(-x
)+g
(x
)=0，則即整理得解得則g
(x
)=f
(x
+1)+2=(x
+1)-3(x
+1)+2=x
-3x
．因為對任意的x
∈R
，都有-x
∈R
，且g
(-x
)=(-x
)-3(-x
)= -(x
-3x
)=-g
(x
)，所以g
(x
)=f
(x
+1)+2為奇函數，函數f
(x
)=x
-3x
圖象的對稱中心為(1,-2)．2 反思提升
無論是解法1和解法2，在求解時都需要用到立方和差公式，運算較為麻煩．有沒有更為簡便的方法呢？在函數奇偶性的學習過程中，我們知道，在定義域滿足關于原點對稱的前提下，可以通過數學運算判斷函數的奇偶性，如f
(x
)+g
(x
)的定義域關于原點對稱，其中f
(x
),g
(x
)均為奇函數，則f
(x
)+g
(x
)為奇函數．那么函數的對稱中心是否也可以通過運算來判斷和計算呢？·探究1 通過運算探究函數的對稱中心
問題1
提出猜想：若f
(x
),g
(x
)圖象的對稱中心都是(a
,b
)，則M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象的對稱中心也是(a
,b
)．解析 因為f
(x
),g
(x
)圖象的對稱中心都是(a
,b
)，則f
(x
)+f
(2a
-x
)=2b
，g
(x
)+g
(2a
-x
)=2b
．兩式相加得f
(x
)+g
(x
)+f
(2a
-x
)+g
(2a
-x
)=4b
，即M
(x
)+M
(2a
-x
)=4b
，故猜想不正確．事實上，M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象的對稱中心為(a
,2b
)，即結論1
若f
(x
),g
(x
)圖象的對稱中心都是(a
,b
)，則M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象的對稱中心為(a
,2b
)．問題2
若f
(x
),g
(x
)圖象都有對稱中心，但是對稱中心橫坐標相同，縱坐標不同，那么M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象有對稱中心嗎？解析 若f
(x
),g
(x
)圖象的對稱中心分別為(a
,b
),(a
,c
)，則f
(x
)+f
(2a
-x
)=2b
，g
(x
)+g
(2a
-x
)=2c
．兩式相加得f
(x
)+g
(x
)+f
(2a
-x
)+g
(2a
-x
)=2b
+2c
，即M
(x
)+M
(2a
-x
)=2b
+2c
．故M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象也有對稱中心，坐標為(a
,b
+c
)．于是有
結論2
若f
(x
),g
(x
)圖象的對稱中心分別為(a
,b
),(a
,c
)，則M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象的對稱中心坐標為(a
,b
+c
)．同理，我們可以得到以下結論：
結論3
若f
(x
),g
(x
)圖象的對稱中心橫坐標不同，那么M
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象不是中心對稱圖形．結論4
若f
(x
),g
(x
)圖象關于點成中心對稱，那么N
(x
)=f
(x
)g
(x
)圖象不是中心對稱圖形．因此，我們可以給出試題的第3種解法：
解法3
f
(x
)=x
-3x
=(x
-1)-3x
+1可以看作函數u
(x
)=(x
-1)與v
(x
)= -3x
+1的和，其中u
(x
)圖象的對稱中心為(1,0)，v
(x
)圖象為直線，而直線上任意一點都是它的對稱中心，那么取橫坐標為1的點，即取對稱中心為(1,-2)，故由結論2可知，f
(x
)的對稱中心為(1,0+(-2)),即(1,-2)．下同解法2．仿照解法3，我們可以推廣到一般的三次函數f
(x
)=ax
+bx
+cx
+d
(a
≠0)圖象具有對稱中心．分析可以看作函數與的和，其中p
(x
)圖象的對稱中心為圖象的對稱中心為故f
(x
)的對稱中心為即亦即·探究2 通過運算探究函數的對稱軸
結論5
若f
(x
),g
(x
)圖象的對稱軸為x
=a
，則m
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象的對稱軸也是x
=a
．解析f
(x
)=f
(2a
-x
)，g
(x
)=g
(2a
-x
)，兩式相加得，f
(x
)+g
(x
)=f
(2a
-x
)+g
(2a
-x
)，即m
(x
)=m
(2a
-x
)，故m
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象的對稱軸也是x
=a
．結論6
若f
(x
),g
(x
)圖象的對稱軸分別為x
=a
,x
=b
，則m
(x
)=f
(x
)+g
(x
)圖象不是軸對稱圖形．結論7
若f
(x
),g
(x
)圖象關于直線成軸對稱圖形，則n
(x
)=f
(x
)g
(x
)圖象不是軸對稱圖形．3 學以致用
練習1 函數的對稱中心是．(答案：練習2 函數
f
(x
)=x
-4x
+2-2+22-的對稱軸是．(答案：
x
=2)練習3 函數的圖象關于點(1,2)成中心對稱圖形，則實數a
的值為．(答案：1)
4 結語
對于數學的學習，一定要理解知識的基本結構，從知識的整體性去認知，這樣才能用聯系的觀點建立知識間內在的邏輯關系，架構起知識的學習方法，促進自主學習．函數的對稱性其實不是新的內容，奇偶性就是特殊的對稱性，因此可以通過遷移奇偶性的學習內容和方法解決對稱性的相關問題，達成知識方法的內化，從而實現數學能力的提升和核心素養的提高．
