求解隨機向量變分不等式的樣本平均逼近方法

黃章乙*，趙玉昌

（重慶交通大學數學與統計學院，重慶 400074）

引言

隨機向量變分不等式（SVVI）問題：即求解x*∈S，使得

由于(1)中包含了隨機向量，受到Gürkan[1]提出的期望值(EV)模型的啟發，用期望值(EV)方法來處理式(1)，得到下述隨機向量變分不等式問題的期望值模型

為了求解問題(3)的解，受Fukushima[4]研究變分不等式提出的間隙函數啟發，定義如下正則化間隙函數g:Rn×Λ→[0，∞]

1 解的存在性

在本節中，我們給出了正則化間隙函數g（x，λ）在集合S×Λ 上強制性成立的充分條件。因此，對于足夠小的α＞0 問題(6)總有一個最優解。

證明. 參考文獻[3]中定理1 的證明方法，可以得到定理2.1 的結論，定理得證。

2 近似問題的收斂性分析

引理3.1[5]假設①-③成立，則以下結論成立：

(1) 函數f（x，λ）在集合S×Λ 上連續；

(2) 函數列{fN（x，λ）}在集合S×Λ 上依概率1一致收斂于f（x，λ），則有

下面，我們討論目標函數逼近問題(7)的一致收斂性。

定理3.1 假設①-③成立，函數列{gN（x，λ）}在集合S×Λ 上依概率1 一致收斂到函數g（x，λ）。

證明. 由gN（x，λ）和g（x，λ）的定義有

因此，可得

因為g（x，λ）≥0，故

其中μmin表示矩陣G 的最小特征值，由上式進一步可得到

由于集合S×Λ 為非空緊的，故存在一個常數M＞0，使得，

依概率1 成立。不難得到依概率1 成立。另外，根據函數H（x，λ）和HN（x，λ）的定義及投影的非擴張性質，可知

依概率1 成立。同理采用和上式同樣放縮法有

這表明函數列fN依概率1 上圖收斂于函數f。此外，由于H（x，λ）和HN（x，λ）都是連續函數及投影的非擴張性，故

采用與定理3.3 類似方法，可知

依概率1 成立。由上述兩個不等式可得

依概率1 成立。因為（x*，λ*）∈S×Λ，這表明著（x*，λ*）∈S*依概率1 成立，定理得證。

3 結論

本文首先借助標量化方法以及正則化間隙函數將隨機向量變分不等式問題轉化為隨機優化問題求解。然后在適當條件下討論了所得隨機優化問題解的存在性。最后，利用樣本平均逼近方法處理得到的隨機優化問題中的數學期望，討論了近似問題最優值及最優解集的收斂性。所得結果為隨機向量變分不等式問題的求解提供了一種新方法。