改進實驗素材，促進起點整合

林超

［摘 要］文章以“圓錐體積公式推導”一課的線上、線下教學為例，論述如何改進數學實驗素材，才能幫助學生將“聽”數學轉變為“做”數學，將“演繹” 數學轉變為“感知”數學，將“接收”數學轉變為“探究”數學。

［關鍵詞］邏輯起點；現實起點；預設問題

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）23-0017-03

在“停課不停學”期間，教學“圓錐體積公式推導”之前，筆者通過平臺對學生提交的研學單進行了深入研究，發現學生出現的問題與往屆高度一致：第一，具有一定實驗精神的學生對于教材中為什么選擇等底等高的圓柱和圓錐進行實驗是存疑的，他們用文字將此疑惑清楚地表述了出來；第二，在具體的應用中，出現了15例漏乘[13]的錯誤，這實質上也是對“為什么從等底等高的圓柱和圓錐開始研究”理解上的缺失。由于學生居家學習，對于這兩個生成性的問題，筆者無法做到及時溝通，但在較充分了解學生學情的基礎上，筆者對“圓錐體積公式推導”的教學有了新的靈感。

【教學片段1】（線上）來自于學生的質疑：“圓柱、圓錐等底等高？這么巧啊！”

關于圓錐體積的證明方法，不同版本的教材都較一致地給出了相同的實驗材料“一組等底等高的圓柱和圓錐”，以及相同的實驗方法“在圓錐形容器里裝滿水或沙子，再倒入與它等底等高的圓柱形容器中，從而發現圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/3”。

在做好“接受誤差”的心理鋪墊下，學生在家里操作這樣的實驗，確實簡單易行。因此，筆者通過平臺推送了研學單：

仔細研究學生的研學單后發現，學生的實驗發現集中在以下兩方面：

第一，按照實驗要求，在圓錐形容器里裝滿水，然后往圓柱形容器里倒3次，差不多能倒滿，說明圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的1/3。因此，圓錐的體積=底面積×高×1/3。

第二，在圓柱形容器里盛滿水，然后倒入與它等底等高的圓錐形容器，倒了3 次后，圓柱形杯子里還剩一點，這點水可忽略不計，說明圓柱的體積是和它等底等高的圓錐體積的3 倍。因此，圓錐的體積=底面積×高×1/3。

雖然學生的發現和教材中的知識一模一樣，但并沒有讓筆者感受到他們發現規律時的驚喜和實驗探索時的熱情，筆者甚至能想象到，屏幕后的他們在實驗時漠然的表情。

在當晚的輔導課上，大部分學生表示，他們通過預習早已知道了圓錐體積的計算公式，對實驗過程也很清楚，并能體會到誤差對實驗結果造成的影響。原來學生已經有了這樣的見識，那這樣的實驗還有必要操作嗎？

這時，一個聲音在班級群中響起：“老師，為什么課本上提供的材料是等底等高的圓柱、圓錐各一個？怎么這么巧？”“我覺得這樣安排是為了容易實驗、好作比較。” “不用做都知道圓錐體積是圓柱體積的1/3時，它們一定等底等高。”“還有，只有等底等高的圓錐體積是圓柱體積的1/3。”“這好像不對吧？”……不一會兒，學生就在群里議論開了。

【教學片段2】（線下）來自學生的問題：“這是學過的？感覺有點熟悉又有點陌生！”

學生的學習過程，是以“連點成線”的方式在序列中逐步建構的，需要學生將零散的知識點按邏輯聯結成線，新知自會從具有關聯的知識上“生長”出來，教師要做的就是引導學生將其納入已有的知識體系之中。而新知生成的起點，也就是學生的現實起點。如奧蘇泊爾所說：“影響學習最重要的因素是學生已經知道了什么，教師應根據學生的原有知識進行教學。”顯然，這需要教師了解學生的現實起點，在邏輯起點與現實起點的勾連中尋求突破，在整合中重構。

基于以上的思考，筆者改進了線上的教學設計，在復學后的第二天進行了教學嘗試。

首先，筆者在課堂上出示了如圖2所示的研學單，學生經過思考、討論、展示、補充后，得到了如圖3所示的四種情況。

接著，筆者提問：“結合這四組圖形，你認為哪組圓錐和圓柱之間的體積關系是不變的？”

學生1答：“等底等高的那組不變。因為圓錐的底和高就是原來圓柱的底和高，無論怎樣削，底和高已經確定了，形狀不會發生改變，那么圓錐的體積也就不會改變，因此它們之間的體積關系不會變。”

學生2答：“第四組的底和高同時發生變化，形狀變了，體積也變了。它是四組中最難確定的。”

學生3答：“中間兩組有共同點，都是一個量不變，另一個量發生變化，體積也隨之發生變化，因此它們體積之間的關系無法確定。”

筆者追問道：“那我們在研究圓錐體積時，應選擇什么樣的圓柱和圓錐？”此時，學生的選擇都聚焦于“等底等高”。有學生提出：“這個問題和課本上的實驗好像，感覺既熟悉又陌生。課本上是要我們估計圓錐的體積是圓柱的幾分之幾，是從圓錐到圓柱，而老師的問題是從圓柱到圓錐。”

【教學片段3】（線下）來自于學生的問題：“這和課本上不一樣？水居然不夠用！”

數學實驗是一種基于問題解決的物化材料操作，而筆者設計的第一個研學單（如圖1）的目的是希望學生通過實驗驗證“圓錐的體積是和它等底等高的圓柱的體積的1/3”，因此實驗本身具有較強的探究性。在線上教學時，學生在慣性思維下“波瀾不驚”地學習著，更有甚者完全沒有實驗，全程脫離現實進行了“數學思考”。對此，筆者在線下的實驗環節中，提供給每個小組的材料除了都有一組等底等高的圓柱、圓錐形容器，只給了少許水。學生在倒水實驗時，很快就發現了問題：

組1：“老師，水不夠用！我們組的水只夠裝滿圓錐形容器，課本上可是能倒滿圓柱形容器的！”

組2：“我們組的水只夠倒滿2次圓錐形容器。”

筆者：“看來水不太夠，那該怎么辦？”

幾分鐘后，就有學生興奮地喊道：“這點水也夠做實驗！”

組3：“我們組只有能倒滿一個圓錐形容器的水。我們就把圓錐形容器里的水倒進圓柱形容器，然后用尺子量圓柱形容器中水的高度，忽略誤差，發現此時水的高度正好是圓柱高度的1/3。這說明圓錐體積是圓柱體積的1/3。”

組4：“我們組向其他組借了一個圓錐形容器。我們組的水能倒滿兩個圓錐形容器，于是我們把兩個圓錐形容器里的水都倒入了圓柱形容器，此時圓柱形容器并沒有滿。我們把圓錐形容器頂點向下，小心地把它壓進了圓柱形容器里，發現圓柱形容器里的水在慢慢地升高，當圓錐形容器的頂點觸碰到圓柱形容器的底面時，水面正好與圓錐形容器底面相平。這也可以證明圓錐體積是圓柱體積的1/3。”

筆者：“你們的想法都非常有創意，現在你們有什么想說的？”

……

【教學反思】

在這次實踐中，基于邏輯起點的線上課和基于現實起點的線下課，對于筆者而言無異于“同課異構”。要從已成習慣的邏輯起點調整到選擇現實起點，不僅對學生來說困難重重，對教師整合學習資源的能力更是巨大挑戰。這是對促進學習起點融合的有益嘗試。

1.來自于教學片段1的思考：整體把握邏輯起點和現實起點，使實驗更具有思維含量

“等底等高的圓柱、圓錐各一個？怎么這么巧？”原來學生并不是沒有思考，就這一句簡簡單單的提問，便指出了教材中實驗素材的特征，而這一提問源自學生的邏輯起點。

俞正強老師指出：“學習起點可以理解為學生學習新內容所必須借助的知識準備，為了便于表述，可分為學習的邏輯起點和學習的現實起點。”這里提及的邏輯起點是指學生按照教材學習的進度應該具有的知識準備。現實起點是指學生已具有的多于教材所提供的知識準備，即學生實際的學習水平和潛在經驗。

邏輯起點是基礎的、顯性的、靜態的。學生需要在指導下對學習內容進行具體的梳理、串聯、整合，若是缺乏與教師的有效交流，學生就無法將松散的知識點聯結成有序的知識塊，故而會對單一的實驗操作心存輕視。在對研學單的分析中發現，學生對概念和對知識結構的理解存在偏差，這是因為學生在運用教材直接呈現的等底等高的圓柱、圓錐進行實驗后直接得出“圓錐體積是與它等底等高的圓柱體積的1/3”，未曾經歷知識建構的過程，從而生成“假命題”。

因此，教師在教學中需要充分考慮到圓錐、圓柱的底和高的幾種特殊關系，從素材的選擇上便開始重視學生探究過程的完整性，在尊重學生邏輯起點的同時，也要考慮現實起點，從而求同求通，突出本質，使實驗具有更高的思維含量。

2.來自于教學片段2的思考：依托教材尋找學習的現實起點，讓學生體會實驗素材選擇的重要性

圓柱、圓錐的等底等高本是一種特殊現象，正因為底和高這兩個量分別相等，所以圓柱和圓錐的體積才存在不變的倍比關系。學生從圓柱中發現了與圓柱等底等高的圓錐的存在，而不是通過直接呈現的方式，將等底等高的圓柱、圓錐盡收眼底。這個細節的調整，促使學生能在眾多的素材中通過分析，合理選出有利于探究的實驗素材。

因為學生在居家學習期間已經學過這節課的內容，也就是他們對教材的設計非常清楚，線下教學時如果再次重復，“曾經的熟悉”難免會成為“今天的無奈”，而隨著教學的再次進行，也很難會形成基于不同學生認知水平和學習經驗的新起點。更為重要的是，數學實驗的目的是讓學生進入知識的生成情境，經歷知識由不確定到確定的漸進過程，如果教學思路不調整，實施的實驗必然是無效的。那么，對于熟悉的、具體的實驗內容，如何增添“陌生感”？合理選擇或是“再創造”實驗素材，就可形成一個高于邏輯起點的學習平臺，即現實起點。

當學生能體會從圓錐到圓柱和從圓柱到圓錐的不同后，也就能整體把握一個知識塊的“前世”與“今生”了。雖是實驗素材的小小調整，但也體現了知識與知識的相連、知識與實驗活動的相連，更為后續的實驗探究做好了鋪墊。

3.來自于教學片段3的思考：預設問題，驅動學生選擇現實起點，從而主動實驗

教材中提供的實驗素材都是從學生的邏輯起點出發的，設計的實驗步驟具有條理性、科學性和可操作性，因此，學生的操作可以在教師的提問引領下，或是在自發生成的問題驅動下按預設展開。但在筆者將實驗素材稍作調整后，學生能很快地轉換視角思考問題，可見他們的實驗活動并不完全指向研究問題的結果，當現有素材在目標與問題之間建立起對應關系后，他們就能創造出不同的實驗方法。學生最終選擇了基于自身認知水平和學習經驗的現實起點，而這正蘊含了創造性的發散思維。

綜上，學生學習的現實起點是動態的、開放的、本真的，所以當他們發現水不夠用時才會產生疑問。因此，選擇從學生的現實起點出發，則必須在學生已具備的邏輯起點上改造教材提供的實驗素材，這樣的實驗過程更具生成性。此時，學生原有的經驗可能會讓他們產生不確定感，但卻能真正將學生推到前端，因為提供給他們的實驗素材具有挑戰性（能帶來認知沖突）、探究問題的實驗操作具有啟發性（能引發數學思考）和由此得出的實驗結論具有可接受性（處于“最近發展區”），這三者合力作用，就能使學生在問題的驅動下自覺從現實起點出發實施操作。

每一個生成的新起點不僅是前一個起點的“果”，還是下一個起點的“苗”。教師在整合學生的“邏輯”與“現實”的同時，也需要調整自己的教學觀，努力將課堂打造成為促進學生學習力形成的平臺。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 潘小福，陳美華.小學數學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2018.12.

[2] 俞正強.種子課，一個數學特級教師的思與行[M].北京：教育科學出版社，2013.5.