蜂窩網絡用戶上行覆蓋率的數值計算方法

夏洪星

(南通師范高等專科學校，江蘇 南通 226010)

0 引言

將大規模蜂窩網絡中基站和用戶的空間位置用二維隨機點過程建模，再利用隨機幾何工具分析系統的通信性能已成為一種重要的研究手段[1]。最早的相關工作是由GILBERT E N[2]提出用隨機幾何來評估隨機網絡的連通性，但關鍵數學框架是最近十幾年才逐步形成[3]，主要研究的是下行傳輸的信噪比(Signal to Interference and Noise Ratio， SINR)以及覆蓋率(Coverage Probability， CP)。相較于下行，上行分析的情形要復雜得多，原因是要考慮移動用戶的功率控制策略，難以獲得CP的簡潔形式。Novlan等[4]對上行覆蓋率(Uplink CP)進行了分析，并獲得了積分形式的結果。Guruacharya等[5]對下行覆蓋率的近似計算進行了探討，其結果可以應用于較簡單的二重積分的近似，而對具有三到四重積分形式的上行覆蓋率公式卻不適用。

考慮到移動用戶上行覆蓋率計算式沒有閉合形式，本文采取數值積分進行上行覆蓋率的計算。由于積分上限為無窮大且復雜的被積函數在某些情況下無法確保收斂性[5]，直接使用Matlab(Octave)的數值積分函數會導致超時或失敗。為此，本文提出首先研究被積函數的性質，然后確定一個有效積分區間，從而將無窮積分轉化成有限積分，快速得到較高精度的積分值。本文提出的方法不僅可用于上行覆蓋率的計算，還可以用于其他較復雜概率型公式的計算，對于無線通信領域的工程計算以及科學研究都具有一定參考價值。

1 問題描述

假設用戶位置服從密度為λ的均勻泊松分布，用戶和基站之間采用最近關聯原則，每個資源塊在一個蜂窩內只分配給一個用戶，則基站可認為在用戶所在的泰森多邊形內服從均勻分布。移動用戶的基礎發射功率為μ-1，接收端噪聲功率為σ2，路徑損耗指數為α。考慮到蜂窩邊緣用戶的公平性，采用基于距離的分數功率控制策略，功率控制因子為∈[0,1]。則對于SINR閾值為T的上行鏈路，其上行覆蓋率計算式為[6]：

pc(T，λ，α，)

(1)

其中，LIz(s)為其他用戶干擾功率的拉普拉斯變換，不考慮目標用戶和干擾用戶位置的相關性(可作為實際情況的近似)，其表達式為：

LIz(μTrα(1-))

(2)

因為式(1)和式(2)都是無窮上限的反常積分，直接使用Matlab等工具對其進行數值積分時，會出現積分時間長且報告迭代步長超長的問題。其原因可以從Guruacharya等[5]分析中看到，對不同的路徑損耗指數α，通過級數展開得到的余式不收斂，存在奇點。應當指出，奇點存在是由于多個函數復合時導致，應去掉部分積分區間以獲得收斂的結果。本文提出的辦法是選取合適的積分區間，將反常積分轉化成正常積分。

2 積分區間選取

對于覆蓋率積分，被積函數往往是概率密度函數，其值域在(0，1)上。大部分概率密度函數的變量只在有限區間內有意義，如均值μ=0，方差σ2=1的正態分布，隨機變量概率不為0的區間在(-5σ2,5σ2)內。在已知被積函數中部分概率分布的情況下，可以采用方差的20～40倍來代替無窮大作為積分上限，從而解決積分難以收斂的問題。但這種方式是經驗法，存在擴大或者縮小積分區間的風險。因此，本文提出對每一層積分的被積函數進行分析，通過圖像法找出被積函數有意義的定義區間，進而確定積分上限的取值。這樣既可以節省計算時間，也能獲得較高的精確度。

對第2節提出的問題，把式(1)和式(2)合并起來并做適當簡化，得到式(3)：

pc(T，λ，α，)

(3)

其中：

(4)

給定一組參數T=10dB，λ=0.25,α=4,=1,這時積分值與r無關，可以畫出積分I1(x)隨x變化的曲線，以得到第二重積分的上限，如圖1所示。發現當x≥20時積分值基本不再變化，因此可以取20為第二重積分的上限。

圖1 積分I1隨x變化的曲線

接下來考察最外層積分的上限。由于I1>0，式(3)中被積函數的后半部分是小于1 的有限值，對積分上限的影響不大。因此，主要考慮前面部分函數的性質，即表達式(5)。

h(r)=re-πλr2-μTrα(1-)σ2

(5)

不失一般性，假設噪聲功率可以忽略(σ2=0)，其余參數和前面一致，畫出h(r)圖像，如圖2所示。可以發現，當r≥10時，函數的值可以忽略不計，因此可以取最外層積分的上限為10。

圖2 被積函數h(r)隨r變化的曲線

經以上分析，最終得到的積分表達式為式(6)，將反常積分近似表達為有限定積分形式，將在第4節驗證這一近似計算的準確度。值得指出的是，本節得出的積分限和公式中所設定的參數有關。如果要計算不同參數組合下的積分，需要重新設定，其中較重要的參數包括路徑損耗指數α和用戶密度λ。

pc(T，λ，α，)

(6)

3 數值結果

首先驗證本數值積分方法的準確度。雖然式(1)對一般的系統參數沒有閉合形式，但對于參數組合α=4,μ=1,=1卻有如下閉合表達式[6]：

(7)

此外，為了進一步確認計算結果的準確度，采用蒙特卡洛仿真得到了覆蓋率。仿真窗口是一個2 000 m×2 000 m的矩形，通過3 000次的網絡實現統計覆蓋次數來計算覆蓋率。如圖3 所示，比較了本文所提出的數值積分方法和解析法、仿真法所得到的覆蓋率隨著SINR門限變化的曲線。結果顯示，數值積分和解析法得到的結果差異可以忽略，而仿真的結果也和前兩種結果基本吻合，這充分驗證了所提出計算方法的準確度。

圖3 數值積分、解析和仿真計算覆蓋率比較

其次，如圖4和圖5所示，比較了本文提出的有限積分方法和無窮上限積分方法的計算時間，仿真使用的計算機配置為Intel(R)Core i5-10210U CPU，8G內存。采用Matlab?(Octave)數值積分函數integral均可進行無窮限的數值積分，但缺點是耗時較長。如圖4所示，比較了用戶密度λ=0.25/m2時，兩種積分方法對不同SIR門限值的計算時間，發現采用有限積分方法的計算時間均控制在10 s左右，但是采用無窮限積分則在20 s左右，耗時約增加一倍。當用戶密度減小時，如λ=1×10-6/m2，如圖5所示，無窮上限積分耗時最多是有限積分的7倍。這充分說明本方法計算效率較高，同時保證了一定的準確度。

圖4 有限數值積分和無窮數值積分計算時間比較，用戶密度為0.25/m2

圖5 有限數值積分和無窮數值積分計算時間比較，用戶密度為1×10-6/m2

另外需要強調的是，一些更加復雜的多重積分，比如上行覆蓋率計算公式[7]，均無法在有限時間內獲得滿意的積分結果。這時不得不采用本文提出的有限積分來進行近似計算，達到計算效率和準確度的均衡。本文所有代碼均可在筆者的Github倉庫中獲取[8]。

4 結語

針對蜂窩網絡用戶上行覆蓋率沒有閉合表達式的問題，本文提出一種數值積分方法將原表達式中的無窮上限積分轉化成有限積分，在保證一定準確度的前提下極大地提高了計算速度，為快速評估蜂窩網絡的上行通信性能提供了一種新選擇。本文提出的方法也適合于工程應用中其他概率類函數的積分。