讓符號意識在“四學”中自然生成
——以“‘重復’的奧妙”一課為例

四川成都高新區(qū)教育發(fā)展中心（610041）曾 亮

符號意識作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，主要是指能夠感悟符號的數(shù)學功能。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)：“無論在哪個學段，都應(yīng)該鼓勵學生用自己獨特的方法表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這是發(fā)展學生符號意識的決定因素。”符號意識的培養(yǎng)不是一蹴而就的。根據(jù)小學低年級學生的思維特點，筆者團隊總結(jié)和提煉了五項培養(yǎng)策略。現(xiàn)以北師大版教材二年級下冊“‘重復’的奧妙”為例，闡述符號意識是如何在“四學”中自然生成的。

教學片段一：表示燈籠的排列規(guī)律

1.明確任務(wù)

出示圖1（教材圖）：

圖1

師：大家從照片里找到了那么多有趣的規(guī)律，可老師剛才聽得太入迷，都忘記把這些規(guī)律記下來了，你們愿意幫幫我嗎？

生（齊）：愿意。

2.開展“四學”

師：那我們就從燈籠的規(guī)律開始吧！

出示圖2（教材圖）：

圖2

（1）首學：學生獨立嘗試用不同的方法來表示燈籠的規(guī)律，教師巡視。

（2）互學：學生在小組內(nèi)交流怎么表示燈籠的規(guī)律。

（3）群學：教師拍照上傳學生不同的表示方法（如圖3-1、圖3-2、圖3-3、圖3-4）。

圖3 -1

圖3 -2

圖3 -3

圖3 -4

師：大家同意哪種表示方法？為什么？選擇其中的一幅圖說說你的想法。

生1：我選圖3-2。因為燈籠就是一個大一個小、一個大一個小……這樣排列的，所以他寫“大小大小大小大小”是對的。

師：大家同意生1的說法嗎？

生（齊）：同意。

師：圖3-2緊緊扣住了燈籠大小的排列規(guī)律，它是用什么表示的？

生2：它是用漢字表示的。

師：對，圖3-2是用漢字表示燈籠一大一小的排列規(guī)律的。誰能像這樣再介紹一下其他三幅圖？

生3：圖3-1用圖畫表示燈籠一大一小的排列規(guī)律。

生4：圖3-3用圓表示燈籠一大一小的排列規(guī)律，大圓表示大燈籠，小圓表示小燈籠。

生5：圖3-4用“√×”符號表示燈籠一大一小的排列規(guī)律，“√”表示大燈籠，“×”表示小燈籠。

師：我們問問這四幅圖對應(yīng)的四位小作者——同學們猜中你們的想法了嗎？

（小作者們紛紛表示猜中了）

（4）共學：對比學習。

師：看來你們真是心有靈犀呀！不過好像有一幅圖與其他三幅圖有點不一樣哦，誰發(fā)現(xiàn)了？

生6：圖3-1和其他的不一樣，它有省略號，其他的沒有。

師：我們一起來讀一讀圖，看看是不是這樣的。圖3-1，大燈籠小燈籠、大燈籠小燈籠、省略號；圖3-2，大小、大小、大小、大?。粓D3-3，大圓小圓、大圓小圓、大圓小圓、大圓小圓；圖3-4，√×、√×、√×、√×。

師：可以用省略號嗎？省略號省略了什么呢？請與同桌交流。

生7：我們認為可以用省略號。因為前面已經(jīng)畫了2組“大燈籠小燈籠”，我們知道規(guī)律了，所以對于省略的部分，我們也能明白，省略的就是剩下的2組“大燈籠、小燈籠”。

師（問圖3-1的小作者）：生7說得對嗎？你怎么想到要用省略號的呢？

圖3-1的小作者：說得對。我覺得畫圖有點麻煩，不想接著畫了，所以就用了省略號。

師：真是個既誠實又會動腦筋想辦法的孩子！畫圖太“麻煩”了，所以找來省略號幫忙，確實是個好辦法。我們再來看看這四幅圖，你最喜歡哪幅圖呢？為什么？

生8：我喜歡圖3-3，因為它簡單，圓圈還能表示燈籠的形狀和大小。

生9：我喜歡圖3-2，一看漢字就知道是“大小”規(guī)律。

生10：我喜歡圖3-4，它也很簡單。

生11：我喜歡圖3-1，雖然畫圖麻煩了些，但是遇到很長的一串圖形時，用省略號很方便。

生12：寫漢字、畫圓、畫“√×”后面都可以用省略號，沒必要一定要畫圖。

生13：對，我也是這么想的。

師：每種記錄方法都有它的優(yōu)缺點，不管是畫圖、寫漢字，還是用○、√、×等符號來記錄，只要能正確表示圖形的規(guī)律就是可行的。大家剛才提到了省略號，那表示幾組重復的規(guī)律后用省略號合適呢？1組行嗎？

生14：不行。

師：2組呢？

生15：我認為3組合適，因為太少了看不出規(guī)律，太多了又太麻煩。

師：大家認為呢？

生（齊）：同意。

師：那我們就約定，在表示3組重復的規(guī)律后可以使用省略號，好嗎？

生（齊）：好。

【策略一】在“四學”中經(jīng)歷符號意識的產(chǎn)生

東北師范大學朱立明等人認為數(shù)學符號意識的構(gòu)成要素為客觀事物、符號表征、數(shù)學理解、思維結(jié)構(gòu)、思想方法，并提出其要素結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖（如圖4）?！笆讓W”環(huán)節(jié)，學生緊密圍繞最核心的思維結(jié)構(gòu)，先通過觀察發(fā)現(xiàn)燈籠的排列規(guī)律，并用最簡潔的語言口述規(guī)律，再用符號來表征燈籠“一大一小”重復出現(xiàn)的本質(zhì)屬性，完成了第一次抽象。隨后的“互學”“群學”環(huán)節(jié)，教師著重引導學生感悟數(shù)學符號與客觀事物的對應(yīng)性，如“一個大圓就表示一個大燈籠，一個小圓就表示一個小燈籠”等，從學生的表達中可以明顯看到，符號表征能幫助學生更好地理解數(shù)學的本質(zhì)。最后的“共學”環(huán)節(jié)，教師適時拋出問題，學生在對比中自我優(yōu)化，獲得具體的數(shù)學思想方法，進而解決問題。

圖4

【策略二】在“自然”中完成符號意識的蘊伏

意識是個體的心理傾向，具有鮮明的主體性，這種主體性表現(xiàn)為學生為達到一定的學習目的而表現(xiàn)出來的自由、自主、主動、能動的特性。我們在此教學片段中看到“和而不同”：盡管學生都在表征燈籠“一大一小”重復出現(xiàn)的排列規(guī)律，但不同的學生選擇的符號是不同的，是具有個人情感與認知的。數(shù)學教育家豪森指出：“沒有必要引入任何符號或縮寫，除非學生自己已經(jīng)深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議。或者至少，當教師提供給他們時，他們能夠充分體會到它的優(yōu)越性?！睂W生自主探索，經(jīng)歷規(guī)律發(fā)現(xiàn)、規(guī)律表征、對比反思等過程，從中加深了對符號表征規(guī)律和簡潔性的認識。最典型的就是大部分學生都自主地選擇了用符號來表征規(guī)律，即使是用圖畫“大燈籠小燈籠”來表示規(guī)律的學生，也在感覺到麻煩后主動用了省略號，其他的學生受其啟發(fā)，均表示：因為是重復出現(xiàn)的規(guī)律，所以其他符號后面也可以使用省略號。隨著學生主體性的充分發(fā)揮，符號意識的蘊伏也自然而然地完成了。

教學片段二：鞏固與實踐用符號表征規(guī)律

1.鞏固練習，表征照片中的其他規(guī)律

（1）首學：請選擇照片中的另一種規(guī)律，用你喜歡的方法表示出來。

（2）互學：與同桌說一說你所表示的規(guī)律。

（3）群學：展示并說明自己所表示的規(guī)律。

出示圖5（教材圖）：

圖5

生1：花盆是按“兩個綠盆、兩個紅盆”的規(guī)律重復出現(xiàn)的，我用“綠”字表示綠盆，“紅”字表示紅盆，所以規(guī)律是“綠綠紅紅綠綠紅紅綠綠紅紅……”

生2：我用“+”表示綠盆，“-”表示紅盆，所以規(guī)律是“++--++--++--……”。

生3：我用“A”表示綠盆，“B”表示紅盆，所以規(guī)律是“AABBAABBAABB……”。

生4：我用“○”表示綠盆，“●”表示紅盆，所以規(guī)律是“○○●●○○●●○○●●……”。

生5：我用“1”表示綠盆，“2”表示紅盆，所以規(guī)律是“112211221122……”。

……

（4）共學：討論交流，了解規(guī)律表征。

師：我發(fā)現(xiàn)有一位同學是用數(shù)字符號來表示規(guī)律的——“112112112……”。猜猜這位同學表示的是誰的排列規(guī)律？“1”和“2”分別表示什么？

生6：他表示的是彩旗的規(guī)律，“1”表示紅色彩旗，“2”表示藍色彩旗，規(guī)律是“2面紅色彩旗、1面藍色彩旗重復出現(xiàn)”。

出示圖6（教材圖）：

圖6

生7：我也認為他表示的是彩旗的規(guī)律，不過“1”表示長方形彩旗，“2”表示三角形彩旗，規(guī)律是“2面長方形彩旗、1面三角形彩旗重復出現(xiàn)”。（有學生點頭贊同，有學生露出恍然大悟的表情）

生8：還有可能表示的是氣球柱，“1”表示黃色氣球，“2”表示紅色氣球，規(guī)律是“2圈黃色氣球、1圈紅色氣球重復出現(xiàn)”。

出示圖7（教材圖）：

圖7

師：有人觀察橫著的彩旗，有人觀察豎著的氣球柱，有人觀察彩旗的顏色，有人觀察彩旗的形狀。也就是說，不同的事物，或是同一事物，從不同的觀察角度出發(fā)，只要符合這樣的規(guī)律，我們就都可以用“112112112……”來表示，是嗎？

生（齊）：是的。

2.實踐應(yīng)用，用數(shù)學符號表征生活中的規(guī)律

播放微課：生活中的“重復”現(xiàn)象（一周七天、一年四季、生肖輪轉(zhuǎn)、圓舞曲節(jié)拍……）。

（1）你能用數(shù)學符號來表示生活中的這些“重復”現(xiàn)象嗎？

（2）生活中還有哪些“重復”現(xiàn)象？請你再舉一些例子并用數(shù)學符號表示出來。

【策略三】在“生成”中促進符號意識的形成

馬云鵬等人認為數(shù)學符號意識表現(xiàn)為“生”與“成”兩個階段。在教學片段一中，學生已基本完成“生”的階段的學習，學生主觀能動地參與燈籠規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與表征、感悟與反思，初步形成對符號意識的科學認識，體現(xiàn)了符號意識的內(nèi)隱性。教學片段二主要為“成”的階段的學習，學生將前一階段感悟到的符號意識進一步鞏固及應(yīng)用，用符號化思維來思考，選取恰當?shù)姆柋碚饕?guī)律，學生在“生成”中形成數(shù)學符號意識。

【策略四】在“轉(zhuǎn)換”中提升符號意識的層次

在教學中可以清晰地看到，剛開始的時候，有的學生不能自主完成符號表征，有的學生只能用一種符號進行表征，有的學生能使用多種符號進行表征，這說明不同學生的符號意識的水平是不同的。符號意識的形成需要個體經(jīng)歷如下過程：“客觀事物抽象形成符號表征，學習者借助符號表征對數(shù)學本質(zhì)進行深刻理解，從而上升至數(shù)學思維。而數(shù)學思維形成后，學習者從數(shù)學符號化角度思考問題，尋求數(shù)學思想方法。”因此，要促進學生符號意識層次的提升，就需要為學生創(chuàng)設(shè)經(jīng)歷符號意識形成過程的活動。學生選擇自己喜歡的方式表征照片中的其他規(guī)律這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，不是簡單的鞏固練習，其實質(zhì)是讓學生不斷經(jīng)歷符號意識各要素“轉(zhuǎn)換”的過程，進而逐步提升學生符號意識的層次。

【策略五】在“理論”認識后強化符號意識的實踐

符號意識的生成與實踐密不可分，既需要教師在實踐中檢驗學生符號意識的生成程度，看學生的思維成果是否正確，也需要學生在實踐中反復體會符號意識的重要作用與價值，只有這樣，符號意識才能真正內(nèi)化為學生的素養(yǎng)。最后環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了讓學生用符號表征生活中“重復”現(xiàn)象的活動，從規(guī)定動作到完全開放，其目的就是要讓學生在認識“理論”后，強化符號意識的運用，進一步提升數(shù)學素養(yǎng)。

通過長期的實踐研究，我們認為在“四學”中經(jīng)歷符號意識的產(chǎn)生、在“自然”中完成符號意識的蘊伏、在“生成”中促進符號意識的形成、在“轉(zhuǎn)換”中提升符號意識的層次、在“理論”認識后強化符號意識的實踐等五項培養(yǎng)策略對于小學低年級學生符號意識的培養(yǎng)是有效的。我們也深知，學生符號意識的培養(yǎng)是一個漫長而艱辛的過程，只有長期的堅持與努力，才能收到成效。