讓符號意識在“四學”中自然生成
——以“‘重復’的奧妙”一課為例

四川成都高新區教育發展中心（610041）曾 亮

符號意識作為數學學科核心素養之一，主要是指能夠感悟符號的數學功能。《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調：“無論在哪個學段，都應該鼓勵學生用自己獨特的方法表示具體情境中的數量關系和變化規律，這是發展學生符號意識的決定因素。”符號意識的培養不是一蹴而就的。根據小學低年級學生的思維特點，筆者團隊總結和提煉了五項培養策略。現以北師大版教材二年級下冊“‘重復’的奧妙”為例，闡述符號意識是如何在“四學”中自然生成的。

教學片段一：表示燈籠的排列規律

1.明確任務

出示圖1（教材圖）：

圖1

師：大家從照片里找到了那么多有趣的規律，可老師剛才聽得太入迷，都忘記把這些規律記下來了，你們愿意幫幫我嗎？

生（齊）：愿意。

2.開展“四學”

師：那我們就從燈籠的規律開始吧！

出示圖2（教材圖）：

圖2

（1）首學：學生獨立嘗試用不同的方法來表示燈籠的規律，教師巡視。

（2）互學：學生在小組內交流怎么表示燈籠的規律。

（3）群學：教師拍照上傳學生不同的表示方法（如圖3-1、圖3-2、圖3-3、圖3-4）。

圖3 -1

圖3 -2

圖3 -3

圖3 -4

師：大家同意哪種表示方法？為什么？選擇其中的一幅圖說說你的想法。

生1：我選圖3-2。因為燈籠就是一個大一個小、一個大一個小……這樣排列的，所以他寫“大小大小大小大小”是對的。

師：大家同意生1的說法嗎？

生（齊）：同意。

師：圖3-2緊緊扣住了燈籠大小的排列規律，它是用什么表示的？

生2：它是用漢字表示的。

師：對，圖3-2是用漢字表示燈籠一大一小的排列規律的。誰能像這樣再介紹一下其他三幅圖？

生3：圖3-1用圖畫表示燈籠一大一小的排列規律。

生4：圖3-3用圓表示燈籠一大一小的排列規律，大圓表示大燈籠，小圓表示小燈籠。

生5：圖3-4用“√×”符號表示燈籠一大一小的排列規律，“√”表示大燈籠，“×”表示小燈籠。

師：我們問問這四幅圖對應的四位小作者——同學們猜中你們的想法了嗎？

（小作者們紛紛表示猜中了）

（4）共學：對比學習。

師：看來你們真是心有靈犀呀！不過好像有一幅圖與其他三幅圖有點不一樣哦，誰發現了？

生6：圖3-1和其他的不一樣，它有省略號，其他的沒有。

師：我們一起來讀一讀圖，看看是不是這樣的。圖3-1，大燈籠小燈籠、大燈籠小燈籠、省略號；圖3-2，大小、大小、大小、大小；圖3-3，大圓小圓、大圓小圓、大圓小圓、大圓小圓；圖3-4，√×、√×、√×、√×。

師：可以用省略號嗎？省略號省略了什么呢？請與同桌交流。

生7：我們認為可以用省略號。因為前面已經畫了2組“大燈籠小燈籠”，我們知道規律了，所以對于省略的部分，我們也能明白，省略的就是剩下的2組“大燈籠、小燈籠”。

師（問圖3-1的小作者）：生7說得對嗎？你怎么想到要用省略號的呢？

圖3-1的小作者：說得對。我覺得畫圖有點麻煩，不想接著畫了，所以就用了省略號。

師：真是個既誠實又會動腦筋想辦法的孩子！畫圖太“麻煩”了，所以找來省略號幫忙，確實是個好辦法。我們再來看看這四幅圖，你最喜歡哪幅圖呢？為什么？

生8：我喜歡圖3-3，因為它簡單，圓圈還能表示燈籠的形狀和大小。

生9：我喜歡圖3-2，一看漢字就知道是“大小”規律。

生10：我喜歡圖3-4，它也很簡單。

生11：我喜歡圖3-1，雖然畫圖麻煩了些，但是遇到很長的一串圖形時，用省略號很方便。

生12：寫漢字、畫圓、畫“√×”后面都可以用省略號，沒必要一定要畫圖。

生13：對，我也是這么想的。

師：每種記錄方法都有它的優缺點，不管是畫圖、寫漢字，還是用○、√、×等符號來記錄，只要能正確表示圖形的規律就是可行的。大家剛才提到了省略號，那表示幾組重復的規律后用省略號合適呢？1組行嗎？

生14：不行。

師：2組呢？

生15：我認為3組合適，因為太少了看不出規律，太多了又太麻煩。

師：大家認為呢？

生（齊）：同意。

師：那我們就約定，在表示3組重復的規律后可以使用省略號，好嗎？

生（齊）：好。

【策略一】在“四學”中經歷符號意識的產生

東北師范大學朱立明等人認為數學符號意識的構成要素為客觀事物、符號表征、數學理解、思維結構、思想方法，并提出其要素結構網絡圖（如圖4）。“首學”環節，學生緊密圍繞最核心的思維結構，先通過觀察發現燈籠的排列規律，并用最簡潔的語言口述規律，再用符號來表征燈籠“一大一小”重復出現的本質屬性，完成了第一次抽象。隨后的“互學”“群學”環節，教師著重引導學生感悟數學符號與客觀事物的對應性，如“一個大圓就表示一個大燈籠，一個小圓就表示一個小燈籠”等，從學生的表達中可以明顯看到，符號表征能幫助學生更好地理解數學的本質。最后的“共學”環節，教師適時拋出問題，學生在對比中自我優化，獲得具體的數學思想方法，進而解決問題。

圖4

【策略二】在“自然”中完成符號意識的蘊伏

意識是個體的心理傾向，具有鮮明的主體性，這種主體性表現為學生為達到一定的學習目的而表現出來的自由、自主、主動、能動的特性。我們在此教學片段中看到“和而不同”：盡管學生都在表征燈籠“一大一小”重復出現的排列規律，但不同的學生選擇的符號是不同的，是具有個人情感與認知的。數學教育家豪森指出：“沒有必要引入任何符號或縮寫，除非學生自己已經深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議。或者至少，當教師提供給他們時，他們能夠充分體會到它的優越性。”學生自主探索，經歷規律發現、規律表征、對比反思等過程，從中加深了對符號表征規律和簡潔性的認識。最典型的就是大部分學生都自主地選擇了用符號來表征規律，即使是用圖畫“大燈籠小燈籠”來表示規律的學生，也在感覺到麻煩后主動用了省略號，其他的學生受其啟發，均表示：因為是重復出現的規律，所以其他符號后面也可以使用省略號。隨著學生主體性的充分發揮，符號意識的蘊伏也自然而然地完成了。

教學片段二：鞏固與實踐用符號表征規律

1.鞏固練習，表征照片中的其他規律

（1）首學：請選擇照片中的另一種規律，用你喜歡的方法表示出來。

（2）互學：與同桌說一說你所表示的規律。

（3）群學：展示并說明自己所表示的規律。

出示圖5（教材圖）：

圖5

生1：花盆是按“兩個綠盆、兩個紅盆”的規律重復出現的，我用“綠”字表示綠盆，“紅”字表示紅盆，所以規律是“綠綠紅紅綠綠紅紅綠綠紅紅……”

生2：我用“+”表示綠盆，“-”表示紅盆，所以規律是“++--++--++--……”。

生3：我用“A”表示綠盆，“B”表示紅盆，所以規律是“AABBAABBAABB……”。

生4：我用“○”表示綠盆，“●”表示紅盆，所以規律是“○○●●○○●●○○●●……”。

生5：我用“1”表示綠盆，“2”表示紅盆，所以規律是“112211221122……”。

……

（4）共學：討論交流，了解規律表征。

師：我發現有一位同學是用數字符號來表示規律的——“112112112……”。猜猜這位同學表示的是誰的排列規律？“1”和“2”分別表示什么？

生6：他表示的是彩旗的規律，“1”表示紅色彩旗，“2”表示藍色彩旗，規律是“2面紅色彩旗、1面藍色彩旗重復出現”。

出示圖6（教材圖）：

圖6

生7：我也認為他表示的是彩旗的規律，不過“1”表示長方形彩旗，“2”表示三角形彩旗，規律是“2面長方形彩旗、1面三角形彩旗重復出現”。（有學生點頭贊同，有學生露出恍然大悟的表情）

生8：還有可能表示的是氣球柱，“1”表示黃色氣球，“2”表示紅色氣球，規律是“2圈黃色氣球、1圈紅色氣球重復出現”。

出示圖7（教材圖）：

圖7

師：有人觀察橫著的彩旗，有人觀察豎著的氣球柱，有人觀察彩旗的顏色，有人觀察彩旗的形狀。也就是說，不同的事物，或是同一事物，從不同的觀察角度出發，只要符合這樣的規律，我們就都可以用“112112112……”來表示，是嗎？

生（齊）：是的。

2.實踐應用，用數學符號表征生活中的規律

播放微課：生活中的“重復”現象（一周七天、一年四季、生肖輪轉、圓舞曲節拍……）。

（1）你能用數學符號來表示生活中的這些“重復”現象嗎？

（2）生活中還有哪些“重復”現象？請你再舉一些例子并用數學符號表示出來。

【策略三】在“生成”中促進符號意識的形成

馬云鵬等人認為數學符號意識表現為“生”與“成”兩個階段。在教學片段一中，學生已基本完成“生”的階段的學習，學生主觀能動地參與燈籠規律的發現與表征、感悟與反思，初步形成對符號意識的科學認識，體現了符號意識的內隱性。教學片段二主要為“成”的階段的學習，學生將前一階段感悟到的符號意識進一步鞏固及應用，用符號化思維來思考，選取恰當的符號表征規律，學生在“生成”中形成數學符號意識。

【策略四】在“轉換”中提升符號意識的層次

在教學中可以清晰地看到，剛開始的時候，有的學生不能自主完成符號表征，有的學生只能用一種符號進行表征，有的學生能使用多種符號進行表征，這說明不同學生的符號意識的水平是不同的。符號意識的形成需要個體經歷如下過程：“客觀事物抽象形成符號表征，學習者借助符號表征對數學本質進行深刻理解，從而上升至數學思維。而數學思維形成后，學習者從數學符號化角度思考問題，尋求數學思想方法。”因此，要促進學生符號意識層次的提升，就需要為學生創設經歷符號意識形成過程的活動。學生選擇自己喜歡的方式表征照片中的其他規律這一環節的設置，不是簡單的鞏固練習，其實質是讓學生不斷經歷符號意識各要素“轉換”的過程，進而逐步提升學生符號意識的層次。

【策略五】在“理論”認識后強化符號意識的實踐

符號意識的生成與實踐密不可分，既需要教師在實踐中檢驗學生符號意識的生成程度，看學生的思維成果是否正確，也需要學生在實踐中反復體會符號意識的重要作用與價值，只有這樣，符號意識才能真正內化為學生的素養。最后環節，教師設計了讓學生用符號表征生活中“重復”現象的活動，從規定動作到完全開放，其目的就是要讓學生在認識“理論”后，強化符號意識的運用，進一步提升數學素養。

通過長期的實踐研究，我們認為在“四學”中經歷符號意識的產生、在“自然”中完成符號意識的蘊伏、在“生成”中促進符號意識的形成、在“轉換”中提升符號意識的層次、在“理論”認識后強化符號意識的實踐等五項培養策略對于小學低年級學生符號意識的培養是有效的。我們也深知，學生符號意識的培養是一個漫長而艱辛的過程，只有長期的堅持與努力，才能收到成效。