基于干擾觀測(cè)器的改進(jìn)滑?？刂扑惴?

周 振 王冬青

（1.青島大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 青島 266071）（2.青島大學(xué)電氣工程學(xué)院 青島 266071）

1 引言

如今，機(jī)械臂越來越多地應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域，以完成復(fù)雜而艱巨的任務(wù)［1～3］。由于機(jī)械臂是強(qiáng)非線性、多變量系統(tǒng)，且存在負(fù)載變化、建模不確定性和外部干擾，使得機(jī)械臂軌跡跟蹤控制一直以來都是機(jī)器人領(lǐng)域的重點(diǎn)難點(diǎn)［4～6］。因此，應(yīng)采用適當(dāng)?shù)目刂品椒?，?shí)現(xiàn)快速的、高精度的軌跡跟蹤控制。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做了大量研究。機(jī)械臂軌跡跟蹤控制常用的算法有自適應(yīng)PID控制、計(jì)算力矩控制、模糊自適應(yīng)控制以及滑模變結(jié)構(gòu)控制［7～9］。自適應(yīng)PID控制不需系統(tǒng)建模，只需根據(jù)期望軌跡與實(shí)際軌跡的偏差進(jìn)行負(fù)反饋控制，但是在外界干擾和系統(tǒng)不確定性較大的情況下難以保證機(jī)械臂的動(dòng)靜態(tài)品質(zhì)［10］。計(jì)算力矩控制是在控制回路中引入一個(gè)非線性補(bǔ)償使機(jī)械臂系統(tǒng)線性化且解耦［11～12］，因此計(jì)算力矩控制法十分依賴精確的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，而這在實(shí)際應(yīng)用中尤為困難。模糊自適應(yīng)控制不需要機(jī)器臂精確的動(dòng)力學(xué)模型，但是依賴于控制專家的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)［13～14］。

相比之下，滑?？刂茖?duì)參數(shù)變化和外部干擾具有理論上的完全魯棒性［15］，在沒有精確模型的情況下易于設(shè)計(jì)，所以其成為處理具有非線性、不確定動(dòng)力學(xué)和有界輸入干擾下的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問題的重要方法之一。但由于滑?？刂凭哂蟹沁B續(xù)開關(guān)特性，會(huì)引起系統(tǒng)的高頻抖振，抖振會(huì)增加控制器負(fù)擔(dān)，甚至?xí)p壞控制器的部件。而且滑模控制必須事先評(píng)估外部干擾和系統(tǒng)參數(shù)誤差的邊界，而這在驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)中通常很難實(shí)現(xiàn)。近年來，干擾觀測(cè)器與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的控制策略成為了研究重點(diǎn)［16～18］。文獻(xiàn)［19］提出了一種干擾觀測(cè)器和非線性滑模控制器相結(jié)合的控制算法，在兩連桿機(jī)械臂上驗(yàn)證了算法的有效性。文獻(xiàn)［20］將干擾觀測(cè)器與非奇異終端滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)，在跟蹤速度和精度方面都有不錯(cuò)的表現(xiàn)。文獻(xiàn)［21］利用模糊干擾觀測(cè)器處理系統(tǒng)的不確定項(xiàng)，同時(shí)使用非線性滑?？刂破鲗?duì)擾動(dòng)做進(jìn)一步補(bǔ)償。

上述文獻(xiàn)所提方法能夠估計(jì)外界干擾并加以補(bǔ)償，不需要未知上界的先驗(yàn)知識(shí)，但是在抑制抖振方面卻并不理想，本文將干擾觀測(cè)器與基于趨近律的滑?？刂葡嘟Y(jié)合，并且在指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上提出了一種新的趨近律，提升系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

2 兩連桿機(jī)械臂建模

兩連桿機(jī)械臂如下圖所示其中，l1和l2為后臂連桿和前臂連桿的長(zhǎng)度。m1和m2分別是后臂連桿和前臂連桿的質(zhì)量。q1和q2分別是兩關(guān)節(jié)的角度。

圖1 雙關(guān)節(jié)機(jī)械臂示意圖

根據(jù)拉格朗日建模方法，將兩連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型表示為

其中，M(q)∈R3×3為正定慣性矩陣，為離心力和哥氏力矩陣；G(q)∈R3為重力項(xiàng)矩陣。τ∈R3為控制力矩，D∈R3為外界干擾項(xiàng)，一般情況下，機(jī)械臂精確的動(dòng)力學(xué)模型難以獲得，所以將模型分為已知部分和未知部分：M(q)=M0(q)+ΔG(q)。那么機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

其中d=D+ΔM+ΔC+ΔG，包括模型不確定性和不確定干擾項(xiàng)，并假設(shè)其有界。

3 控制算法

3.1 改進(jìn)趨近律設(shè)計(jì)

本文在指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，指數(shù)趨近律表示如下：

可以看出指數(shù)趨近律的切換帶為帶狀，系統(tǒng)狀態(tài)在做滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能趨近于原點(diǎn)，而是在原點(diǎn)附近來回震動(dòng)進(jìn)而引起高頻抖振。本文對(duì)指數(shù)趨近律做出如下改進(jìn)，利用非線性函數(shù)fal(s，a，δ)代替符號(hào)函數(shù)sgn(s)，并且引入自適應(yīng)項(xiàng)||s2，表示如下：

非線性函數(shù)fal(s，a，δ)表示為

其中，常數(shù)a能夠決定fal(s，a，δ)的非線性程度，a的取值越大，函數(shù)的非線性程度越高。δ為非線性函數(shù)在原點(diǎn)附近線性區(qū)間段的長(zhǎng)度。自適應(yīng)項(xiàng)|s|2能根據(jù)s絕對(duì)值的大小自適應(yīng)的調(diào)節(jié)趨近速度。取a=0.2，δ=0.1，非線性函數(shù)fal(s，a，δ)和符號(hào)函數(shù)sgn(s)的比較曲線如下圖所示。

由圖2可以看出當(dāng)系統(tǒng)誤差比較大時(shí)，即|s|＞δ時(shí)，趨近律為s˙=-ε|s|asgn(s)-k|s|2s，相較于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律有更大的絕對(duì)值，因此趨近律有更快的趨近速度。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模面時(shí)，即|s|≤δ時(shí)，fal(s，a，δ)為光滑的正比例函數(shù)，而此時(shí)趨近律為s˙=-εδa-1s-k|s|2s，δa-1s為主導(dǎo)項(xiàng)，趨近律等同于光滑的線性函數(shù)，使得系統(tǒng)的切換過程平滑而連續(xù)。

由上述分析可知，改進(jìn)趨近律既克服了指數(shù)趨近律中滑模切換到為帶狀的缺點(diǎn)又提高了系統(tǒng)狀態(tài)趨近于滑模面的速度。并且ss˙≤0，滿足滑模存在及可達(dá)性條件。

3.2 干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

干擾觀測(cè)器可以根據(jù)實(shí)際被控對(duì)象和名義被控對(duì)象的差異得出等價(jià)干擾，并在控制中引入等效的補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的精確控制。系統(tǒng)的控制流程圖如圖3所示。

圖3 基于DOB的機(jī)械臂滑?？刂葡到y(tǒng)

將干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)為

式（7）中，表示觀測(cè)器干擾觀測(cè)值，L(q，˙)表示待設(shè)計(jì)增益矩陣，定義輔助參數(shù)向量：

其中，p(q，˙)為待設(shè)計(jì)的非線性函數(shù)且應(yīng)滿足式（8）條件：

聯(lián)立式（6）、（7）、（8）得到：

綜上所述，DOB設(shè)計(jì)為

使用干擾觀測(cè)器后，控制端會(huì)得到一個(gè)等價(jià)干擾，將干擾觀測(cè)器的估計(jì)誤差定義為ed=d-，機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型可變?yōu)?/p>

假設(shè)干擾的變化相對(duì)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)特性是緩慢的，即˙=0，由此可得：

3.3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

定義系統(tǒng)的跟蹤誤差為e=q-qd，并采用線性滑模面：

求導(dǎo)得到：

將式（11）帶入上式得：

聯(lián)立式（4）得到系統(tǒng)的總控制率：

4 仿真與分析

兩連桿機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型為

其中：

機(jī)械臂的參數(shù)取m1=1kg，m2=2kg，l1=1m，l2=0.9m，g取9.8。設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器參數(shù)為滑 模 控 制 器 參 數(shù) 設(shè) 定 為a=0.2，δ=0.1，ε=0.2，k=0.2，Λ=diag(5，5)。

圖4 基于指數(shù)趨近律的軌跡跟蹤效果

結(jié)合圖4、圖5和圖6可以看出，在建模誤差和不確定干擾完全未知的情況下，本文改進(jìn)算法的軌跡跟蹤效果不僅提升了跟蹤精度，而且由于趨近律中自適應(yīng)項(xiàng)的引入，加快了誤差收斂速度。

圖5 本文改進(jìn)方法的軌跡跟蹤效果

圖6 兩種方法軌跡跟蹤誤差對(duì)比

由圖7和圖8可以看出，基于指數(shù)趨近律的滑?？刂频妮敵隽囟墩褫^為嚴(yán)重，尤其是在1s～2s處，而本文改進(jìn)算法輸出力矩基本平穩(wěn)，僅有輕微抖振，這在實(shí)際應(yīng)用中可以有效地避免機(jī)器人控制器件的消耗。

圖7 基于指數(shù)趨近律的關(guān)節(jié)力矩輸出

圖8 本文改進(jìn)方法的關(guān)節(jié)力矩輸出

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出的基于干擾觀測(cè)器的改進(jìn)滑?？刂扑惴?，無需上界先驗(yàn)知識(shí)，利用干擾觀測(cè)器觀測(cè)外部干擾和建模不確定性，并在控制輸入端補(bǔ)償。在指數(shù)趨近律中引入非線性fal函數(shù)有效地削弱了滑模控制中固有的抖振現(xiàn)象，引入自適應(yīng)項(xiàng)目減小誤差的收斂時(shí)間。對(duì)兩連桿機(jī)械臂進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比傳統(tǒng)的基于指數(shù)趨近律的滑?？刂?，仿真結(jié)果表明本文所提算法在關(guān)節(jié)角度的跟蹤速度和精度上都優(yōu)于傳統(tǒng)算法，并且極大地削弱輸出力矩的抖振。