未知周期性DoS攻擊下基于事件觸發的離散系統H∞濾波器設計*

丁 翔 胡松林 丁 飛

（1.南京郵電大學自動化學院、人工智能學院 南京 210023）（2.南京郵電大學先進技術研究院 南京 210023）（3.南京工程學院自動化學院 南京 211167）

1 引言

近年來網絡化系統的研究對象日益復雜，同時對控制精度、穩定性，抗擾動性和自適應等控制性能的要求也越來越高。在網絡化系統控制中，傳感器、執行器和控制器等部件在系統層面上分布，并通過通信網絡進行數據交換，增加控制系統靈活性、減少工程布線和降低成本維護［1］。在系統正常運行時，短期內傳輸的數據量會大幅激增，網絡系統內數據包在傳輸中，將面臨傳統網絡系統中延遲、丟包、采樣頻率過快的問題［2］。在網絡控制系統中引入事件觸發的通信方案（ETCS）就可以有效規避這類問題［7］，為網絡數據傳輸減輕負荷，因此在各類網絡系統中基于事件觸發的濾波或控制問題逐漸成為許多學者研究的重點［4］。

離散化系統不僅可以有效降低時間復雜度，更能夠進一步減小數據傳輸過程中負擔。提高離散化物理系統的聚類和抗噪聲能力，但是在提高系統抗噪能力的同時并不能保證其數據傳輸的穩定性，在這種情況下，使用H∞濾波方法研究狀態估計問題，其可以保證噪聲衰減水平［3～4］。因此H∞濾波問題已經被廣泛應用在離散化物理系統中。

網絡化控制的弊端在于它大大增加了控制系統受到網絡攻擊的可能性，進而產生網絡攻擊問題，由于拒絕服務（DoS）攻擊方式簡單、易達目的、難以防范和追查等特性［5～6］。DoS攻擊已經成為一種常見的攻擊方式［8］，因此許多工作者研究了離散系統在DoS攻擊下的安全性問題。盡管許多文章中也都考慮到對離散系統的事件觸發H∞濾波問題，亦或考慮在DoS攻擊下的離散系統H∞濾波問題［10］。但是并沒有將事件觸發與DoS攻擊同時考慮在內，設計一種更加有效的彈性H∞濾波器［13～14］。鑒于以上研究現狀，本文將未知周期DoS攻擊與事件觸發機制進行融合設計協同H∞濾波器［15］。在對攻擊建模過程中使用了離散系統的Lyapunov-Krasovskii函數方法和切換系統方法，最終實現未知周期DoS攻擊下基于事件觸發的離散系統的H∞濾波器協同設計［16］。

2 模型描述

2.1 系統物理模型

圖1描述了在未知性周期的DoS攻擊下基于事件觸發的線性離散系統的彈性H∞濾波問題，其中物理系統模型用離散系統表示為

圖1 DoS攻擊下的濾波系統結構圖

其中x(k)∈?n是系統的狀態向量，ω(k)∈?ν是系統外部噪聲擾動向量且能量有界，y(k)∈?m為系統測量輸出，Z(k)∈?p為系統狀態估計信號。而矩陣A、B、C、D、L為系統常數矩陣。

設計如下形式的全階濾波器模型：

其中xf(k)是濾波器的狀態向量，Zf(k)是Z(k)的狀態估計，是濾波器的輸入，Af、Bf、Cf、Df為待求濾波器的參數矩陣。

2.2 未知周期DoS干擾攻擊模型

拒絕服務攻擊是一種惡意信號攻擊，其出現將導致傳感器到濾波器中的數據傳輸被迫中斷。假設其干擾信號能量有限，干擾攻擊模型設計如下形式：

其中hn表示上一次攻擊結束，開始正常通信時刻。bn表示本次正常通信時刻結束且下一次攻擊開始時刻，hn+1表示下一次正常通信開始時刻。Ln={hn+bn}∪[hn+bn，hn+1)表示第n個拒絕服務攻擊干擾信號間隔。那么hn+bn∈?≥0表示第n個拒絕服務攻擊干擾信號間隔的開始時刻，(hn+1-hn+bn)∈?≥0表示第n個拒絕服務干擾攻擊信號的區間長度。

假設在沒有DoS攻擊下，將離散系統測量輸出y(ki，n)傳輸到濾波器輸入y^(k)，反之濾波器輸入為0，所以設計如下濾波器輸入信號模型：

其中{ki，n}表示后續所設計事件觸發機制所生成成功傳送時刻，的集合，其中n∈N并且l(n)=sup{i∈N|ti，n≤hn+bn-1}。

2.3 彈性事件觸發通信方案

為了節約離散網絡系統的通信資源，我們引入一種彈性事件觸發機制，用該機制來判斷系統此刻采樣狀態，從而保證離散濾波誤差系統的穩定性。

其中σ∈(0，1)是觸發參數，k∈Z+，ki∈Z+事件發生器當前系統輸出用y(k)來表示，W為觸發參數矩陣。在未知周期的DoS干擾攻擊信號的情況下，事件觸發瞬間用如下表示：

其中n∈N，kij∈N，j∈N，i表示第n個干擾信號活躍周期內發生的觸發次數。

當k∈D1，n∩I1，n，系統為穩定狀態；當k∈I2，n時，子系統開環運行。離散濾波誤差系統的穩定性取決于事件觸發時刻，濾波器參數增益矩陣以及攻擊頻率和攻擊時間。

2.4 濾波誤差系統模型

在建立事件觸發機制的切換系統后，為方便起見，設計如下時間間隔：ki，n+m)，其 中i∈Ω(n)，n∈N并 且ηi，n=sup{m∈N|ki，n+m≤ki+1，n}。令Wm i，n=[ki，n+m-1，ki，n+m)m，且I1，n=I1，n}。令

現定義兩個如下分段函數：

其中0≤τi，n(k)≤τM，因此基于事件觸發的采樣狀態表述為

基于以上定義全階濾波誤差方程為

當系統誤差矢量滿足：

時，系統切換方程表示為

基于以上濾波器誤差模型設計，我們要求所設計的誤差系統程全局指數穩定且H∞擾動抑制量為γ，需要滿足以下定義。

1）當系統在拒絕服務干擾攻擊下，濾波器誤差系統的外部擾動量ω(k)=0時，對所有變量u＞0，α＞0，γ＞0時 都 存 在不等式成立。其中為初始條件，ω(k)∈[ 0 ，∞)為連續函數。

2）當系統在拒絕服務干擾攻擊下濾波器誤差系統擾動量ω(k)∈[ 0 ，∞)時，在零初始條件下系統指數穩定，則給定擾動抑制量γ^，且離散濾波誤差滿足

3 主要結果

3.1 H∞性能分析

引理1：考慮對未知周期性DoS攻擊且存在擾動ω(k)時離散濾波器誤差系統問題，考慮系統（9）給定正標量λi，ui，τD，τb。如果存在適當維數的正定矩陣和 矩 陣W∈?1×1，E1i，，使得如下線性矩陣不等式成立，則濾波誤差系統指數穩定：

可以得到當k∈D1，n∩I1，n，n∈N，誤差系統軌跡V1(k+1)≤λ1V1(k)。

當k∈I2，n，n∈N，誤 差 系 統 軌 跡V2(k+1)≤λ2V2(k)。

證明：首先對濾波誤差系統（9）選擇分段的離散Lyapunov-Krasovskii函數i∈{1，2。}

那么我們可以得到如下不等式：

情 況II：當k∈I2，n，n∈N時i=2，我 們 有ΔV2(k)=V2(k+1)-λ2V2(k)按照式（16）通過一樣的處理，可以得到V2(k+1)≤λ2V2(k)證明完成。

情況III：對上述兩種分段構造的離散Lyapunov-Krasovskii函數進行整理可得

根據式（14）～（15）進行代入化簡，得到

根據拒絕服務干擾攻擊信號頻率和持續攻擊時間，當k∈I1，2時：

當k∈I2，2時：

結合離散系統平均駐留時間模型可以得到

當k∈I1，n時：

當k∈I2，n時：

化簡得

根據λ∈(0，1)且進行指對數運算得到

擾動下系統穩定分析證明完成。

3.2 H∞濾波器設計

定理1：在未知周期性拒絕服務攻擊下，考慮存在系統擾動量ω(k)的離散濾波器誤差系統問題，給定正標量λi，ui，τD，τb，若存在適當維數的正定矩陣和 矩 陣W∈?1×1，Ei1，，使得如下線性矩陣不等式成立，則含擾動誤差系統穩定：

如果上述不等式存在可行解。那么所設計離散彈性濾波器參數為

證明：定義變量分別對有擾動下大矩陣（11—15）左乘右乘U31和，并定義新變量

4 數值仿真

接下來將用一個實例去驗證本文設計離散濾波器的有效性，根據參考文獻［8］數值，可以得到線性離散系統的具體參數為在考慮未知周期拒絕服務攻擊下，使用攻擊信號ZDoS(k)并且結合事件觸發機制，求出所設計的離散濾波器參數增益矩陣Afi，Bfi，Cfi使得原系統全局指數穩定。令λ1=7，λ2=0.9，τD=0.5，u1=u2=1.05，τb=1.1，考慮離散系統采樣周期為h=1，τM=0.009且σ=4，得到最佳擾動抑制值γ=4與觸發參數矩陣W。

濾波器狀態估計誤差和系統與濾波器估計信號分別如圖2、圖3所示。從圖中可以看到：1）在未知周期的攻擊下離散濾波逐漸收斂并保持穩定；2）本文所設計的事件觸發可以緩解數據通信負荷，并過濾外界干擾與攻擊的影響。

圖2 狀態反饋誤差e^(k)

圖3 待估計信號Z(k)和Zf(k)

5 結語

本文主要解決離散系統通信傳輸過程中受到未知周期攻擊下的H∞濾波器設計問題。將未知周期的DoS攻擊與事件觸發機制緊密聯系在一起，綜合設計出在拒絕服務攻擊下新的事件觸發通信機制。利用李雅普諾夫泛函推導出有效條件，并且使得濾波誤差系統全局指數穩定與H∞擾動抑制最小。