典型約束的載人登月自由返回軌道窗口存在性判據

賀波勇， 彭祺擘， 李恒年， 曹鵬飛

(1.西安衛星測控中心宇航動力學國家重點實驗室， 西安 710043； 2.中國航天員科研訓練中心， 北京 100094；3.北京航天飛行控制中心， 北京 100094)

1 引言

伴隨著已完成的載人交會對接[1]和正在向全世界開放的中國空間站建設進程[2-3]，中國嫦娥探月工程也取得了舉世矚目的成績[4-5]。 下一步，載人登月成為中國載人航天發展的現實選擇[6-7]。

為提高航天員在地月轉移段安全返回地球的能力，載人登月任務往往采用繞月自由返回軌道。吸取Apollo-13 任務的經驗和教訓[8]，NASA 在星座計劃中特別強調采用繞月自由返回軌道和月心橢圓三脈沖變軌飛行方案[9]。 國內研究人員鄭愛武等[6]，彭祺擘等[10]，賀波勇等[11-12]，曹鵬飛等[13]從載人登月自由返回軌道設計方法及工程約束分析、軌道參數特性分析、軌道參數與窗口優化、自適應近地出發相位的自由返回軌道設計等角度分別進行了研究。 然而，隨著載人登月飛行模式深化研究[14]，軌道與窗口規劃問題更為復雜[15]，且考慮工程中的不確定因素和定時定點等約束要求[16]，軌道與窗口搜索需考慮更加細致的約束。 基于一組典型的工程約束條件，設計正確快速的繞月自由返回軌道窗口存在性判據，是決策載人登月任務具體實施年份和月份等重要工作的基礎。

本文首先對繞月自由返回軌道和假定的一組典型工程約束條件進行了描述，然后設計了解析的自由返回軌道窗口存在性判據，最后驗證了判據的正確性，可為中國未來載人登月工程提供參考。

2 問題描述

2.1 繞月自由返回軌道

限制性三體問題中，實際存在4 類連結2 個大中心天體臨近空間的自由返回軌道。 賀波勇[17]總結了地月系統4 類軌道的特點和用途，白道平面內4 類自由返回軌道，如圖1 所示[18]。

繞月自由返回軌道屬于圖1(a)類，Apollo 任務前期飛行均采用該類繞月自由返回軌道，很多文獻中常略稱為自由返回軌道，嚴格意義上講，略稱具有不確切性。 圖1(b)類和(d)類由于近地出發段為逆行軌道，從地球發射需要克服地球自轉引起的推力損失效應，目前未見深入研究和工程應用。圖1(c)類最早由Egorov 等[19]提出，后被Farquhar稱為Egorov 軌道[20]，并巧妙地設計成太陽同步定向軌道，可用于探測太陽風引起的地磁尾變化。

圖1 平面內4 類自由返回軌道[18]Fig.1 Four types of free return planar orbit[18]

2.2 典型約束

決策載人登月任務具體實施年份和月份需要重點考慮設計一套登月飛船使用的繞月自由返回軌道窗口存在性判據，用來快速搜索滿足所有約束條件的軌道窗口參數集合。 綜合文獻[6，10，11，15-17，21]，現假設一組典型的工程約束，具體如下:

1)飛行模式。 登月飛船由返回艙和資源艙(或稱推進艙)組成，和著陸器分別從地面發射至環月軌道，在環月圓軌道進行共面交會組裝，之后著陸器與登月飛船分離，著陸器下降月面，登月飛船滯留環月圓軌道， 航天員進行月面科學探測[21]。

2)工程總體約束。 環月共面交會圓軌道高200 km，交會、組裝和分離下降使用時長共計2 d。分離下降月面時要求著陸為月球造成，且陽光入射角(太陽光和月面的夾角)范圍為5°～15°。 月面著陸可選月球正面南北緯20°以內區域[15，21]。

3)運載火箭約束。 近地停泊軌道傾角20°～25°，火箭入軌高度約為170 km 圓軌道。 單次發射窗口持續時間不少于30 min，每次發射任務火箭都有2 ～3 個發射窗口， 具備冗余備份能力[15，21]。

4)登月飛船約束。 登月飛船采用繞月自由返回軌道進行地月轉移，近地出發和環月第一次制動減速均簡化為切向速度增量。 軌道艙總飛行時間小于15 d。 返回艙氣動外形要求再入角約為-6°±0.2°，對應航程約為4000～8000 km[15，21]。太陽帆光照條件為陽光入射角與太陽帆平面夾角在90°±20°，因太陽帆轉軸和登月飛船姿態均有較大自由度，窗口設計時可先不考慮。

5)地面測控支持約束。 火箭入軌、器箭分離、地月轉移加速等關鍵軌道弧段需具備地面測控(喀什、佳木斯和阿根廷等深空測控站)支持。

3 窗口存在性判據

3.1 地月轉移段軌道計算

月球公轉運動和地球自轉運動分別引起月球探測器發射窗口的月窗口和日窗口問題[22]。 繞月自由返回軌道地月轉移段飛行約3 d 時間，地月轉移段軌道月窗口由月球位置和地月轉移段軌道參數約束范圍共同決定。

參考四段雙二體拼接模型[11]，考慮工程總體約束中環月交會圓軌道高為200 km，近月距rper＝1938 km (下標per 代表近月點perilune)。 將近月點時刻tper月心LVLH(Local Vertical ＆ Local Horizontal Coordinate System)軌道系[22]中近月點參數[λ，φ，vper，θv] 選為軌道設計變量，分別代表該時刻近月點在該坐標系中的經緯度、近月點速度大小及速度方向角，如圖2 所示。 則月心J2000.0 坐標系(上標MJ2 代表月心J2000.0 坐標系Moon-Centric J2000.0 Coordinate System)中近月點位置和速度分別如式(1)所示:

圖2 近月點參數示意圖Fig.2 Illustration of perilune orbital variables

式中，下標in 表示進入月球影響球邊界時刻，pper＝κper(1 ＋eper) 。 則根據Lagrange 系數描述的二體軌道狀態轉移矩陣計算原理，可以計算影響球邊界位置和速度矢量參數，Lagrange 系數(F，G，Ft，Gt) 分別如式(4)所示:

則登月飛船飛行至影響球邊界處時刻如式(8)所示:

從LEO 出發時刻為t0＝tin- ΔtLEO-in。 該時刻地心修正軌道六根數前五項與tin時刻值相同，只有真近點角等于0。 則地月轉移總時長見式(11):

3.2 月地應急返回段軌道計算

這里對真空近地點(Vacuum Perigee，Vcp)做簡單解釋:對于月地快速返回軌道大氣層邊界附近而言，再入點在不考慮大氣攝動的真空近地點之前約20°，而真空近地點幾乎與月地返回軌道出發時刻，月球相對于地球的反垂點重合[17]。 月球反垂點的赤經和赤緯可通過月球位置獲取，進而確定真空近地點位置。 由于月地平均距離為384 400 km，月地返回軌道近地距約為(6378＋122) km，遠地距大于(384 400-66 200) km，則地心坐標系中，月地返回軌道偏心率0.96＜eEJ2＜1。 再入角?是大氣層邊界處的飛行路徑角，小于0，與再入點地心距rr和真空近地距rvcp存在式(14)關系:

3.3 存在性判據

考慮環月交會軌道高度為常數，選擇近月點時刻的軌道參數將自由返回軌道分為2 段分別計算，將原本6 維的空間軌道設計問題自由度降為4 維[λ，φ，vper，θv] 。 近地出發時刻和應急返回真空近地點時刻不僅依賴近月點時刻軌道參數，還需通過JPL 星歷計算月球影響出入口時刻月地相對位置和速度，導致這2 個時刻的約束難以簡單解析地映射到近月點時刻軌道設計變量，而軌道設 計 變 量[λ，φ，vper，θv] 初 值 均 可 簡 單 獲取[17]。 鑒于以上2 個方面原因，將月窗口存在性判據問題轉化已知設計變量初值的非線性規劃問題，模型如式(15)所示:

式中，Q1，Q2為調整收斂一致性的系數。 設計遍歷框架以一定時間步長搜索近月點時刻，判斷非線性規劃后的近地出發時刻和真空近地點時刻軌道參數是否滿足約束，如果均滿足，則該時刻存在滿足約束的繞月自由返回軌道，否則不存在。

4 算例

4.1 算例1

僅考慮式(15)中約束，以10 min 為搜索步長，利用SQP 算法計算2025 年7 月1 日后28 d內月窗口(一個朔望月)，如圖3 所示。

圖3 2025 年7 月窗口與月球緯度幅角關系Fig.3 The July 2025 window and lunar argument of latitude

橫軸為從2025 年7 月1 日起算天數，縱軸分別為每天的小時數和月球緯度幅角值。 平均單次計算耗時0.5 s，月球緯度幅角與軌道存在窗口能匹配對應，表明本文設計的軌道存在性判據快速、高效。 2025 年白道面傾角約為28.5°，受軌道傾角最大值25°約束，當月球緯度幅角值處于90°和270°附近時，不存在月窗口。 當月球處于升/降交點附近時，存在2 個連續的月窗口，各持續約9 d。

4.2 算例2

若在算例1 約束基礎上考慮繞月自由返回軌道在近月點制動2 d 后，開始月面著陸的陽光入射 角5° ～15° 約 束， 并 以 Apollo-11 著 陸 點(E 23°26′， N 0°41′)為例，計算2025 年7 月1 日后180 d 月窗口如圖4 所示。

圖4 考慮著陸點陽光入射角的2025 年后半年月窗口Fig.4 Monthly window of the second half of 2025 considering the sunlight angle of the lunar landing site

橫軸為從2025 年7 月1 日起算天數，縱軸分別為每天的小時數和Apollo-11 著陸點2 d 后陽光入射角。 可見，若以Apollo-11 著陸點為例，2025 年后半年僅7、8、9、11 和12 月有5 個月窗口，分別持續為19.3 h、19.5 h、19.5 h、3.3 h 和19.5 h。

5 結論

本文提出了基于四段二體軌道拼接模型的載人登月自由返回軌道窗口存在性快速判據，算例不僅驗證了存在性判據的正確性和快速性，還得到典型約束條件對月窗口的影響規律。

1)僅考慮近地出發軌道高度、傾角和返回地球時再入走廊約束，受地月轉移段軌道傾角最大值25°約束，月球緯度幅角處于90°和270°附近時不存在月窗口，2025 年每個朔望月存在2 個持續約9 d 的月窗口；

2)由于月球自轉與公轉同周期，晝夜均為14.2 d，同時考慮月面著陸時刻著陸點陽光入射角約束和繞月自由返回軌道運動學約束，并不是每個朔望月都存在2 個連續的月窗口，具體情況需要具體計算。