基于最優(yōu)加權(quán)平均模型的高程異常擬合分析

雷白鴿

(重慶市勘測(cè)院，重慶 401120)

1 引 言

高程異常擬合需要精確的GPS數(shù)據(jù)，GPS技術(shù)的快速發(fā)展成為推動(dòng)似大地水準(zhǔn)面精化研究快速發(fā)展的重要因素。高精度的GPS數(shù)據(jù)結(jié)合高精度的似大地水準(zhǔn)面模型能夠更加精確地確定目標(biāo)地區(qū)點(diǎn)的高程異常。目前高程異常擬合研究方法主要有數(shù)學(xué)模型擬合法、地球重力場(chǎng)模型法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[1]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)高程異常擬合這一課題進(jìn)行了大量的研究。張興福等[2]通過研究多類重力場(chǎng)模型擬合GPS點(diǎn)大地高，提出了簡(jiǎn)單譜組合方法和加權(quán)譜組合方法可提高區(qū)域模型高程異常精度，但重力數(shù)據(jù)和地形數(shù)據(jù)流程復(fù)雜，制約著工程的實(shí)際進(jìn)展；楊明清等[3]提出了一種改進(jìn)了的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和算法，高程異常值估算的精度達(dá)到了厘米級(jí)，但對(duì)算法和非線性映射網(wǎng)絡(luò)要求較高，難以實(shí)現(xiàn)；胡伍生等[4]提出了在平坦地區(qū)，二次曲面擬合法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相結(jié)合能夠有效地發(fā)揮二者的優(yōu)點(diǎn)，但受似大地水準(zhǔn)面不規(guī)則變化影響，精度尚需提高。

良好的高程異常擬合方法不僅需要良好的精度，方便、實(shí)用性也很重要。數(shù)學(xué)模型法由于不需要額外的重力、地形參數(shù)和良好的擬合效果成為目前普遍使用的似大地水準(zhǔn)面精化方法[5，6]。本文主要提出了對(duì)多種單一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)平均的方法。分別使用多項(xiàng)式擬合模型(簡(jiǎn)稱多項(xiàng)式法)和多面函數(shù)模型(簡(jiǎn)稱函數(shù)法)對(duì)某地區(qū)高精度GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行似大地水準(zhǔn)面模型構(gòu)建，再通過最優(yōu)加權(quán)平均法對(duì)以上兩個(gè)模型進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)平均(簡(jiǎn)稱加權(quán)法)，通過計(jì)算內(nèi)外符合精度、檢核點(diǎn)最大最小誤差、檢核點(diǎn)誤差小于 1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的個(gè)數(shù)，比較模型的優(yōu)劣性，得到一種擬合效果好、可靠性強(qiáng)的高程異常擬合方法。

2 原理與方法

2.1 多項(xiàng)式擬合模型

多項(xiàng)式擬合模型是高程異常擬合研究中使用最為頻繁的一種方法。多項(xiàng)式擬合模型適用于地形較為平坦的地區(qū)。當(dāng)多項(xiàng)式階次較高時(shí)，擬合的曲面會(huì)出現(xiàn)較大的震蕩，可能出現(xiàn)有些點(diǎn)誤差較大的情況，因此多項(xiàng)式的階次一般采用二次或者三次。建立多項(xiàng)式擬合模型來代表高程異常值，通過最小二乘平差[7]求得系數(shù)，代回?cái)M合模型即可求得各點(diǎn)高程異常。具體流程如圖1所示。

圖1 多項(xiàng)式擬合模型似大地水準(zhǔn)面精化流程圖

具體方法如下：

構(gòu)造已知點(diǎn)高程異常值ξ與坐標(biāo)點(diǎn)之間的模型關(guān)系為：

ξ=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2+……

(1)

式中，ξ表示高程異常值，ai(i=0，1，2，3…)為多項(xiàng)式擬合模型的系數(shù)。

已知點(diǎn)數(shù)大于三個(gè)，可以寫出誤差方程：

(2)

矩陣形式：

V=XA-ξ

(3)

根據(jù)最小二乘原理得：

A=(XTX)-1XTξ

(4)

求得系數(shù)矩陣A后，帶入式(1)可求得各點(diǎn)擬合后的高程異常值。

2.2 多面函數(shù)模型

似大地水準(zhǔn)面是不規(guī)則的圓滑表面，適合用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和，以任意精度逼近，因此多面函數(shù)模型適用。將所有已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)分別建立關(guān)系式，并將這些關(guān)系式按照一定的規(guī)則或者比例疊加在一起，實(shí)現(xiàn)任意情況的無規(guī)則的曲面的擬合，得到理想的擬合效果。具體流程如圖2所示：

圖2 多面函數(shù)模型似大地水準(zhǔn)面精化流程圖

具體方法如下：

高程異常函數(shù)表達(dá)式為：

(5)

公式中，n為中心節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Cj為待定系數(shù)，Qj(x，y，xj，yj)是以(xj，yj)為中心的二次核函數(shù)，可表示為：

Qj(x，y，xj，yj)=[(x-xj)2+(y-yj)2+δ]b

(6)

公式中，δ是平滑因子，視具體情況而定，需要反復(fù)試驗(yàn)找到最佳光滑因子。b為非零實(shí)數(shù)，一般取 ±0.5。

寫成誤差方程的ξ1矩陣形式為：

V=QC-ξ

(7)

根據(jù)最小二乘原理得：

C=(QTQ)-1QTξ

(8)

求得系數(shù)矩陣C后，帶入式(5)可求得各點(diǎn)擬合后的高程異常值。

2.3 最優(yōu)加權(quán)平均模型

本文提出的方法為最優(yōu)加權(quán)平均模型。單一數(shù)學(xué)模型在高程異常擬合中應(yīng)用廣泛，大多適用于特定的地勢(shì)情況，但精度難以符合要求，且對(duì)局部地勢(shì)復(fù)雜地區(qū)無法準(zhǔn)確擬合。對(duì)不同的單一數(shù)學(xué)擬合模型進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)平均，產(chǎn)生一種新的最優(yōu)模型，意義重大。具體流程如圖3所示：

圖3 最優(yōu)加權(quán)平均模型似大地水準(zhǔn)面精化流程圖

假設(shè)共有已知的GPS高程點(diǎn)m個(gè)，高程異常真值為ξ，對(duì)于第j(j=1，2…n)種單一擬合方法測(cè)得的第k個(gè)點(diǎn)的真誤差為：

εjk=ξk-ξjk

(9)

建立殘差矩陣：

(10)

根據(jù)最小二乘原則，得：

(11)

(12)

式中，P是所有單一模型的權(quán)重向量(權(quán)重pi之和為1)，R是分量為1的列向量，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，得：

(13)

由此可得最優(yōu)加權(quán)平均模型下的高程異常值為[8]：

(14)

3 實(shí)例分析

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)介紹

本實(shí)驗(yàn)以某地區(qū)地籍測(cè)量首級(jí)控制網(wǎng)數(shù)據(jù)(通過二等水準(zhǔn)測(cè)量和GPS測(cè)量所得各點(diǎn)高程異常數(shù)據(jù))為研究數(shù)據(jù)，對(duì)提出的模型方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。本試驗(yàn)區(qū)面積約為 100 km2，點(diǎn)位均勻分布，具體分布如圖4所示。由圖4可知，共有32個(gè)高程異常控制點(diǎn)，高程異常值最大值為 11.670 m，最小值為 11.328 m，平均值為 11.536 m，地勢(shì)較為平坦。本實(shí)驗(yàn)分別使用多項(xiàng)式擬合法、多面函數(shù)法和最優(yōu)加權(quán)平均法，并分別以已知點(diǎn)個(gè)數(shù)25、20、15對(duì)試驗(yàn)區(qū)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，剩余點(diǎn)進(jìn)行擬合后的檢核。

圖4 某地區(qū)高程異常控制點(diǎn)分布圖

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本實(shí)驗(yàn)分別按照三種模型的原理與方法進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 精度分析及誤差統(tǒng)計(jì)

外符合精度直接決定擬合效果的優(yōu)劣。由表1可知，最優(yōu)加權(quán)平均模型在參與擬合的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為25、20、15的條件下，外符合精度分別為 4.8 mm、12.1 mm、14.8 mm，優(yōu)于多項(xiàng)式擬合模型的 6.7 mm、13.3 mm、15.8 mm和多面函數(shù)模型的 15.3 mm、18.5 mm、24.3 mm，通過分析可知，最優(yōu)加權(quán)平均模型可整體最低提高精度分別為28.3%、9.0%和6.3%，外符合精度十分接近于擬合效果更好的多項(xiàng)式擬合模型。同等條件下的最優(yōu)加權(quán)平均模型檢核點(diǎn)最大誤差和最小誤差也都小于多項(xiàng)式擬合模型和多面函數(shù)模型，說明最優(yōu)加權(quán)平均模型能夠降低高程異常殘差，使擬合更為收斂。同等條件下檢核點(diǎn)誤差分別小于 1 cm、2 cm、3 cm、4 cm的個(gè)數(shù)最優(yōu)加權(quán)平均模型也接近于多項(xiàng)式擬合模型，優(yōu)于多面函數(shù)模型。

以擬合效果最好的25個(gè)已知點(diǎn)參與擬合的實(shí)驗(yàn)方法結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析，如圖5所示。

圖5 檢核點(diǎn)高程異常不符值

由圖5可知，從擬合效果來看，最優(yōu)加權(quán)平均模型相較于多項(xiàng)式擬合模型和多面函數(shù)模型更為收斂，整體擬合效果更好。說明最優(yōu)加權(quán)平均模型相比于單一數(shù)學(xué)模型可以很好地降低誤差，提高精度。

4 結(jié) 語

通過分別使用多項(xiàng)式擬合模型、多面函數(shù)模型和最優(yōu)加權(quán)平均模型對(duì)某地區(qū)在同一條件下參與擬合的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為25、20、15進(jìn)行擬合分析可知：

(1)同等條件下，最優(yōu)加權(quán)平均模型相較于單一數(shù)學(xué)模型，整體精度可以提高6%～28%。在地勢(shì)較為平坦的地區(qū)，多項(xiàng)式擬合模型比多面函數(shù)模型精度高，最優(yōu)加權(quán)平均模型可以綜合單一數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)，提高精度。

(2)最優(yōu)加權(quán)平均模型檢核點(diǎn)更為收斂，誤差較大點(diǎn)數(shù)少，可靠性更強(qiáng)。由于其他單一模型也參與加權(quán)平均，會(huì)兼顧到其他單一模型對(duì)地勢(shì)較為復(fù)雜地區(qū)的影響，避免精度較高單一模型對(duì)局部地區(qū)無法準(zhǔn)確擬合和精度較低模型所占權(quán)重過高的缺點(diǎn)，數(shù)據(jù)的可靠性得以保證。

(3)實(shí)際工程中，最優(yōu)加權(quán)平均模型操作流程簡(jiǎn)單，實(shí)用性強(qiáng)，具有很好的實(shí)際意義和擬合效果，是工程中可以加強(qiáng)應(yīng)用的一種方法。