朗肯土壓力理論在露天邊坡設(shè)計中的應(yīng)用

郭獻章 李鳳柱 秦嗣龍 張娟霞 楊治華 鄭立志 張學芝

(1.東北大學秦皇島分校實驗教育中心,河北 秦皇島 066004;2.北方燕盛工程技術(shù)有限公司,河北 秦皇島 066000;3.河北鋼鐵集團礦業(yè)有限公司廟溝鐵礦,河北 秦皇島 066000;4.東北大學秦皇島分校資源與材料學院,河北 秦皇島 066004;5.東北大學秦皇島分校發(fā)展規(guī)劃處,河北 秦皇島 066004)

邊坡角關(guān)系著露天開采的安全與效益,歷來受到理論研究與工程技術(shù)界的重視,即在經(jīng)濟合理的基礎(chǔ)上保證邊坡的穩(wěn)定。邊坡角的經(jīng)濟技術(shù)可靠性來源于以下四個方面:① 是否找到了最危險滑面;② 是否提供了可靠的強度參數(shù);③ 是否確定了合理的工況(即荷載組合方案);④ 計算方法本身的合理性[1]。針對以上問題,無論是傳統(tǒng)的極限平衡法,還是現(xiàn)在基于高性能計算的數(shù)值方法,都因邊坡的復(fù)雜性而不能很好地解決。此外,經(jīng)驗類比法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、模糊數(shù)學法等邊坡穩(wěn)定的分析法,也大都基于工程經(jīng)驗,根據(jù)剝采比、開采深度、礦石品位等經(jīng)濟技術(shù)指標來確定邊坡角的大小,其結(jié)果往往偏于保守[2-4]。因此在實施中,關(guān)于邊坡角的設(shè)計,還存在有較大的分歧,還需要借助現(xiàn)場的經(jīng)驗介入。

朗肯土壓力理論是現(xiàn)代土力學兩個著名的古典土壓力理論之一,是英國學者朗肯(Rankine W J,1857)在半無限彈性土體處于極限平衡應(yīng)力狀態(tài)假定基礎(chǔ)上所得出的結(jié)論[5]。由于其概念明確,方法簡單,至今仍被廣泛使用,特別是在各種地基承載力計算中,已經(jīng)被列入國標規(guī)范[6]。受朗肯土壓力極限平衡角(45°±φ/2)的啟示,發(fā)現(xiàn)在此角(45°±φ/2)與自然安息角φ所形成的角度區(qū)間內(nèi)留設(shè)邊坡角,邊坡穩(wěn)定狀態(tài)對巖土坡體的內(nèi)聚力要求很小。這就為弱內(nèi)聚力的坡體邊坡角設(shè)計及坡面支護提供了有益的思路與指導。通過對露天礦邊坡角、坡高與坡體的內(nèi)聚力c、內(nèi)摩擦角φ之間的關(guān)系進行了研究,并結(jié)合北方燕盛工程技術(shù)有限公司多年的施工經(jīng)驗總結(jié),基于朗肯土壓力公式與莫爾圓理論,得出些許有益認識,供工程技術(shù)同行參考討論。

1 理論基礎(chǔ)與研究模型

根據(jù)材料力學單元體的受力狀態(tài)(如圖1(a)),在不考慮中間主應(yīng)力σ2的情況下,可以得到如圖1(b)所示的莫爾圓,應(yīng)力關(guān)系式[7]如下:

圖1 單元受力圖及莫爾圓Fig.1 Diagram of force on unit and its Mohr's circle

在極限平衡狀態(tài)時,可以得到如下主應(yīng)力與切應(yīng)力的關(guān)系:

式中,σ1、σ3分別為最大、最小主應(yīng)力;σ為任意截面上的正應(yīng)力;τ為任意截面上的切應(yīng)力;τf為極限狀態(tài)時的切應(yīng)力;α為所研究截面與最大主應(yīng)力的法平面之間的夾角;φ為邊坡土體的內(nèi)摩擦角;c為邊坡土體的內(nèi)聚力;γ為巖土體的重度;z為單元體的埋深。

由上式可知,實際破裂面和最大主應(yīng)力作用面夾角分別呈(45°+φ/2)和(135°-φ/2)。

朗肯土壓力原理如2(a)所示,當擋土墻OEE′O′在土體的作用下向左偏斜至ODD′O′時重新達到平衡,左側(cè)土體受到擠壓,為被動土,其極限平衡面為OB,水平方向的主應(yīng)力為最大主應(yīng)力(σx=σ1),極限平衡角為(45°-φ/2)。在墻體右側(cè),是主動土,其極限平衡面為O′F,豎直方向的主應(yīng)力為最大主應(yīng)力(σz=σ1),極限平衡角為(45°+φ/2)。以上原理的莫爾圓圖解如圖2(b)所示。

根據(jù)朗肯土壓力理論,其主動土壓力范圍的臨界線傾角為αf=(45°+φ/2),這個角度的平面上方的土體△O′FD是不穩(wěn)定的;處于自然安息角平面下方的土體△O′FG是穩(wěn)定的。

如圖2(c)所示對于邊坡來說,邊坡體相當于主動土,O′G右下側(cè)部分的土體不會出現(xiàn)失穩(wěn)。但這個角度對于露天礦邊坡來說,雖安全但不經(jīng)濟,礦山總是在安全條件下追求最大的邊坡角。那么處于△O′GF這個區(qū)間的土體的穩(wěn)定性如何,把α=(45°+φ/2)做為邊坡角時需要滿足什么條件,有什么優(yōu)勢,值得進一步探討。實踐證明,這個區(qū)間內(nèi)的土體如果自穩(wěn),是必須要求有一定的內(nèi)聚力的,也就是說不能是理想的非粘性土。不過在自然界中,理想的非粘性土存在的情況很少,即便是風成的沙丘,在一定的含水率下也有相當程度的內(nèi)聚力,而這個量級很小的內(nèi)聚力就足以維持一定深度的直立壁的開挖,可見在△O′GF區(qū)域內(nèi)自穩(wěn)所需的內(nèi)聚力很小,所以稱之為“工程友好三角區(qū)”。為研究一定內(nèi)聚力參與下△O′FG區(qū)域內(nèi)的土體穩(wěn)定性問題,應(yīng)用極限平衡原理,進行了如下系列的計算與驗證。

圖2 朗肯土壓力原理及其摩爾圓表達圖Fig.2 Schematic diagram of Rankine's theory of earth pressure and diagram of its Mohr's circle expression

2 “工程友好三角區(qū)△O'FG”區(qū)域自穩(wěn)計算

建立邊坡計算模型,邊坡角αf=(45°+φ/2),求解使邊坡處于極限穩(wěn)定狀態(tài)所需的內(nèi)聚力,此時邊坡的安全系數(shù)為1.0。采用瑞典滑弧理論[8],運用北京理正軟件股份有限公司的邊坡穩(wěn)定性計算軟件,不考慮地下水的影響,進行分析。求解模型及計算公式如圖3 和式(4)。

圖3 求解模型Fig.3 Solving model

式中,K為整個滑體剩余下滑力計算的安全系數(shù);l為單個土條的滑動面長度,m,l=bsecθ;b為單個土條的水平寬度,m;W為條塊重力,kN,浸潤線以上取重度,以下取飽和重度;θ為條塊的重力線與通過此條塊底面中點半徑之間的夾角,(°);c、φ為土體抗剪強度指標,此處取總應(yīng)力指標。

坡內(nèi)土體按同一巖性考慮,重度γ=18.5 kN/m3,坡高分別取12、15、30 和50 m,土體內(nèi)摩擦角φ分別取20°、25°、30°、35°、40°和45°,坡體的邊坡角取αf=(45°+φ/2),反算使邊坡處于極限平衡狀態(tài)時的內(nèi)聚力。

3 計算結(jié)果分析

3.1 αf=(45°+φ/2)時所需的內(nèi)聚力

在極限平衡狀態(tài)下,安全系數(shù)K=1 時,所需內(nèi)聚力計算結(jié)果見圖4。從圖4 可知,不管邊坡角是什么數(shù)值,不管邊坡高度多大,在采用αf=(45°+φ/2)的邊坡角時,如果內(nèi)聚力為零,邊坡都是不穩(wěn)定的,都需要一定的內(nèi)聚力才會使邊坡處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實際上,這個基于朗肯土壓力的極限平衡面O′F(如圖2所示),是在全部力的共同作用下的優(yōu)勢破裂面,也即在此面將會產(chǎn)生最大的剪應(yīng)力。假如以此面為界把其左上側(cè)的作用力去掉,則合應(yīng)力在此面不再平衡,相當于作用在此面的法向正壓力減小為零,如果以此面形成邊坡面,則必定會失穩(wěn)滑坡。

圖4 邊坡角為αf=(45°+φ/2)時,內(nèi)聚力—內(nèi)摩擦角關(guān)系Fig.4 The relationship between cohesion and angle of internal friction when slope angle αf= (45°+φ/2)

邊坡巖土體都會有大小不同的內(nèi)聚力存在的,因此隨著內(nèi)聚力大小的不同,在此邊坡角邊坡的內(nèi)部會形成距坡面深淺不同的一個極限平衡面,也就是潛在的滑移面。如果組成邊坡的物質(zhì)是理想散體,理論上內(nèi)聚力為零,則這個面與水平面的夾角應(yīng)該是該物質(zhì)的自然安息角[9],也就是O′F重合于O′G(如圖2)。通過分析O′F與O′G面之間的邊坡角與內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角、坡高的組合,能夠很好地計算出臨界邊坡角,從而優(yōu)化出最佳邊坡角。

由圖4 可知:

(1)內(nèi)摩擦角越大,利用αf=(45°+φ/2)開挖所形成的邊坡需要的內(nèi)聚力越小,雖說大的內(nèi)摩擦角對于αf=(45°+φ/2)開挖的邊坡有利[10]這一結(jié)論是行業(yè)共識,但在坡高確定時,c-φ關(guān)系的線性曲線擬合的相關(guān)度R2≥0.9886,這一近于直線關(guān)系,在實踐應(yīng)用中更為便利。比如坡高一定時,可以根據(jù)c-φ之間的線性負相關(guān)關(guān)系,充分利用φ值和c值互補關(guān)系,來確定經(jīng)濟合理的邊坡角及支護手段。

(2)邊坡高度越大,需要的內(nèi)聚力越大,才能達到極限平衡狀態(tài)。

(3)以αf=(45°+φ/2)開挖的邊坡,其達到極限平衡所需的內(nèi)聚力是很小的。在內(nèi)摩擦角為20°時,僅需19.5 kPa。在內(nèi)摩擦角為45°時,僅需7.75 kPa。這對于比較破碎的邊坡的支護給出了重要的啟示,比如在坡高、邊坡角、內(nèi)摩擦角一定時,如果邊坡達不到安全系數(shù)要求,則邊坡可以放緩到(45°+φ/2,φ)的區(qū)間內(nèi),但需要一定的支護工作,增加一定的內(nèi)聚力。而這個量級不大的內(nèi)聚力要求,可以用土釘[11]、土錨桿[12]等低成本的工程來實現(xiàn)。

3.2 滑坡體厚度

將上述極限狀態(tài)的滑弧位置,按比例畫出,同時標出各滑體的厚度,部分結(jié)果詳見圖5。圖中標注的數(shù)字說明如下:“1220”表示邊坡高為12 m,內(nèi)摩擦角為20°時的極限滑坡的形狀。坡頂上所標數(shù)字是滑坡體頂部水平厚度,中間標注的是滑坡體最大厚度,單位均為m。

圖5 不同坡高時極限穩(wěn)定狀態(tài)的滑坡體Fig.5 Landslide in ultimate stable state at slope of different height

將計算結(jié)果中滑坡體的坡頂寬度和厚度進行統(tǒng)計(見表1),為了反映坡高的影響,將坡頂寬度和厚度分別除以坡高,得出其比值分別稱為寬/高比、厚/高比。

表1 不同坡高滑弧體頂部水平寬度和最大厚度Table 1 The top horizontal thickness and maximum thickness of sliding arc body with different slope heights

續(xù)表1

從表1 可以看出,以αf=(45°+φ/2)形成的邊坡,其滑坡厚度(坡頂寬度和滑坡體最大厚度)和坡體高度幾乎是標準的線性關(guān)系,誤差非常小。例如內(nèi)聚力為25 kPa,邊坡角為62.5°時,坡高從12 m 到50 m,其坡頂滑坡寬度和坡高之比最大偏差僅為0.003,最大厚度與坡高之比最大偏差為0.002,幾乎完全是一樣的。

由圖6 厚/高比—內(nèi)摩擦角關(guān)系可知,厚/高比—內(nèi)摩擦角負線性相關(guān),相關(guān)系數(shù)R2=0.97,但斜率很小,僅為0.009 5,近于平直線。所以在坡高確定后,滑坡體厚度也基本確定[13],隨著內(nèi)摩擦角的增大,滑坡體的厚高比相應(yīng)減小,但減小幅度不大。而在內(nèi)摩擦角確定時,滑坡體的厚度與坡高正直線相關(guān)。在工程實踐中,為了減少大規(guī)模的滑坡發(fā)生,不宜強制并段以增加單臺階坡高[14];為了防止厚大滑體的出現(xiàn),往往用大平臺將高邊坡從腰部截開,從而減小大應(yīng)力向下的傳遞,進而阻斷厚大滑坡體的形成。

圖6 厚/高比—內(nèi)摩擦角關(guān)系Fig.6 Thickness/height ratio- angle of internal friction diagram

圖7 的擬合曲線顯示,滑坡體頂部寬度與坡高之比—內(nèi)摩擦角更近于一條直線,相關(guān)系數(shù)R2=0.998 5,直線的斜率更小,僅0.007 2。滑坡體頂部寬度與其最大寬度成正比關(guān)系,但在實踐中前者更便于觀察與測量,因此這個指標更好掌握。在已知相關(guān)參數(shù)的情況下,可以很方便地通過滑坡體頂部寬度來推測滑體的總方量[15],也可以在設(shè)計中通過調(diào)整坡高來保證安全系數(shù)。

圖7 滑坡體頂部寬度與坡高之比—內(nèi)摩擦角關(guān)系Fig.7 Relation schema of ratio of slope top width to slope height-internal friction angle

3.3 內(nèi)聚力和坡高的線性關(guān)系

如果按αf=(45°+φ/2)的邊坡角形成邊坡,當其處于極限平衡狀態(tài)時,所需的內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角與坡高的關(guān)系曲線詳見圖8。

圖8 邊坡角為αf=(45°+φ/2)處于極限穩(wěn)定狀態(tài)時的參數(shù)關(guān)系Fig.8 Parameter relation diagram of slope in ultimate stable state when slope angle αf= (45°+φ/2)

由圖8 可知,當邊坡角為αf=(45°+φ/2)時,處于極限穩(wěn)定狀態(tài)的c-φ呈線性負相關(guān),相關(guān)系數(shù)約為0.99,說明在維持邊坡穩(wěn)定的功能上,c、φ兩參數(shù)可線性互補,當一個值不足時,可以從另一個值入手進行邊坡的穩(wěn)定性設(shè)計工作。隨著邊坡高度的增加,擬合線的斜率也隨之增加,直線的截距也在增大,表明維持高大邊坡穩(wěn)定性的坡體材料強度指標c、φ值也必須增大。上述計算還表明,在極限平衡狀態(tài)下,隨著內(nèi)摩擦角的增大,即使巖土只有較小的內(nèi)聚力,也可以維持較大的坡面角,從而得到了坡面角—內(nèi)摩擦角的正相關(guān)線性曲線。

圖9 內(nèi)聚力—坡高擬合曲線顯示,邊坡處于極限狀態(tài)時坡高和內(nèi)聚力的線性關(guān)系非常突出,相關(guān)系數(shù)基本上都為1,斜率平均為1.1。此曲線充分說明,邊坡土體的內(nèi)聚力是邊坡極限高度的決定因素之一[16],在邊坡設(shè)計中,內(nèi)聚力的準確測定與取值,對于邊坡高度的設(shè)定至關(guān)重要。然而邊坡的內(nèi)聚力會在外界因素的介入下發(fā)生變化,比如風化弱化,降水入滲等都會嚴重減小內(nèi)聚力[17],所以邊坡的日常管理中,一定要防止邊坡巖體持續(xù)嚴重強度弱化的發(fā)生,才能保證邊坡的安全。

圖9 邊坡角為αf=(45°+φ/2)且處于極限穩(wěn)定狀態(tài)時所需內(nèi)聚力和坡高的關(guān)系Fig.9 The relationship between cohesion and slope height in ultimate steady state when slope Angle αf=(45°+φ/2)

3.4 滑坡體傾角

在邊坡角為αf=(45°+φ/2)且處于極限穩(wěn)定狀態(tài)時,可計算得到滑坡體上緣和下緣連線的坡面角和內(nèi)摩擦角有密切的關(guān)系,和邊坡高度關(guān)系不大。例如當內(nèi)摩擦角為20°時,滑坡體上緣和下緣連線的坡面角為42.92°～43.76°,相差不到1°。內(nèi)摩擦角為25°時,坡面角46.99～47.16°,也就是說,坡面高度從12～50 m,滑坡體下緣和上緣連線的坡面角相差不到0.2°,基本上是一致的。

仿朗肯土壓力計算公式αf=(x+φ/2)反算x,得出圖10。

圖10 滑坡體傾角—內(nèi)摩擦角關(guān)系Fig.10 Relationship between angle of landslide mass and angle of internal friction

圖10為αf=(x+φ/2)時,滑坡體傾角—內(nèi)摩擦角關(guān)系的線性擬合曲線,圖10 顯示,滑坡體上緣和下緣連線的滑坡體傾角隨內(nèi)摩擦角變大而變大,但是和坡高幾乎沒有關(guān)系,內(nèi)摩擦角25°時,不同坡高的滑體傾角僅相差0.18°,內(nèi)摩擦角為45°時,不同坡高的滑體傾角相差最大,也只有不足3°。

不同坡高時,內(nèi)摩擦角—滑坡體傾角關(guān)系的線性擬合曲線(圖10)基本重合,擬合曲線及相關(guān)度為

式中,x為內(nèi)摩擦角;y為滑坡體傾角。

如果把邊坡土體完全按照散體看,則其滑坡后滑體的傾角應(yīng)該是自然安息角[18]。但有很多順層滑坡,其滑體的傾角遠小于組成坡體的巖石破碎后所堆積成的毛石堆的坡角[19](視為自然安息角),這就表明,在順層滑坡中,要重點關(guān)注的是軟弱夾層或?qū)用娴膹姸热趸痆20],特別是第四系巖土體與基巖的接觸面,如果這些優(yōu)勢滑面的內(nèi)摩擦角或內(nèi)聚力急劇下降,則會在這些優(yōu)勢面上發(fā)生滑坡,而滑后的滑坡體傾角只與這些優(yōu)勢滑面的強度有關(guān),而與組成邊坡的巖石塊體強度相關(guān)度不大。而在滑坡治理時,清坡及對邊坡進行加固,都應(yīng)關(guān)注并利用當坡角為αf=(x+φ/2)時所得到的這些線性規(guī)律,很好地理解“工程友好三角區(qū)△O′FG”所帶來的施工便利。

3.5 改進計算模型后的穩(wěn)定性計算

為更好地研究“工程友好三角區(qū)△O′FG”的內(nèi)在機理,提出如下問題:如果按αf=(36°+φ/2)形成邊坡,其穩(wěn)定性又怎么樣呢? 反映在αf=(x+φ/2)公式中,不同邊坡高、不同內(nèi)摩擦角時,x的取值區(qū)間為(33.5°,39.3°),最大與最小值間相差5.7°。取x的平均值36°,依照朗肯土壓力計算公式仿寫成αf=(36°+φ/2)。在內(nèi)摩擦角確定時,用這一公式計算不同坡高時的滑體坡面角,其值相差是很小的。比如在內(nèi)摩擦角小于40°時,其誤差僅為1.5°。為了回答上述穩(wěn)定性的問題,同樣以表1 中坡高和內(nèi)摩擦角為基準,按αf=(36°+φ/2)邊坡角,形成邊坡,其穩(wěn)定性計算結(jié)果如圖11。

圖11 內(nèi)聚力—內(nèi)摩擦角關(guān)系曲線[αf=(36°+φ/2)]Fig.11 Relation curve of cohesions and internal friction angle when αf=(36°+φ/2)

圖11為在αf=(36°+φ/2)時內(nèi)聚力—內(nèi)摩擦角關(guān)系曲線。該曲線仍反映了上述已經(jīng)討論過的內(nèi)聚力—內(nèi)摩擦角的線性負相關(guān)關(guān)系,坡高與c、φ強度值的正相關(guān)關(guān)系。不過在此邊坡角進行開挖時,所需內(nèi)聚力更小,比如具備20°的內(nèi)摩擦角與15.4 kPa 的內(nèi)聚力的巖體,就可以使12 m、46°開挖的邊坡保持極限穩(wěn)定,而在內(nèi)聚力為63.4 kPa 時,則可以使50 m、46°的邊坡穩(wěn)定。

在工程實踐中,利用這一關(guān)系可帶來施工中的很大便利。比如北方燕盛公司曾利用此性質(zhì),在中石油塔里木盆地滿東1#油井的基礎(chǔ)施工中成功進行了樁基礎(chǔ)的開挖。塔里木盆地的沙漠中,風成沙流動性極強,也即c、φ極小。為防塌坑,用水浸透風成砂,再在其中進行人工挖孔樁施工,按照這種方法,直徑1.0 m 的樁基礎(chǔ)可以直接開挖,而不用進行任何支護。說明處于流動狀態(tài)的風成砂,在浸水后其內(nèi)聚力也可以達到5～8 kPa 以上。對于12 m 高的邊坡,按αf=(45°+φ/2)～(36°+φ/2)開挖,所有內(nèi)聚力在20 kPa以下的巖土邊坡都可以達到極限穩(wěn)定。因此,可以把αf=(45°+φ/2)～(36°+φ/2)稱為1 級“工程友好三角區(qū)”,把αf=(36°+φ/2)～φ稱為2 級“工程友好三角區(qū)”。

4 結(jié) 論

在研究滑坡體的強度指標c、φ值與滑坡體的坡角、厚度的關(guān)系,與邊坡的極限高度的關(guān)系的基礎(chǔ)上,得到一些規(guī)律性的認識,可用于邊坡的參數(shù)設(shè)計及滑坡的防治,并引入了“工程友好三角區(qū)”的概念,研究發(fā)現(xiàn)在此特定的邊坡角范圍內(nèi),只需要很小的內(nèi)聚力就能使邊坡穩(wěn)定,極大降低了邊坡的支護成本。

在采用αf=(45°+φ/2)的邊坡角時,需要一定的內(nèi)聚力才會使邊坡處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),但所需內(nèi)聚力很小。在此臨界穩(wěn)定狀態(tài),滑坡厚度(坡頂寬度和滑坡體最大厚度)和坡體高度幾乎是標準的線性關(guān)系,厚/高比—內(nèi)摩擦角之間呈近負線性相關(guān)關(guān)系,相關(guān)系數(shù)R2=0.97,但斜率很小,僅為0.009 5,近于平直線。坡體材料內(nèi)聚力和坡高的線性關(guān)系非常突出,相關(guān)系數(shù)基本上都為1,斜率平均為1.1。滑坡體上緣和下緣連線的滑坡體傾角和內(nèi)摩擦角有密切的關(guān)系,但與邊坡高度關(guān)系不大。

在以αf=(36°+φ/2)的坡角進行開挖時,所需內(nèi)聚力更小,一般巖土都可以滿足。在工程實踐中,可很好地利用上述認識,服務(wù)于邊坡工程的設(shè)計與施工。