立足思維習慣訓練 強化幾何直觀培養

陳 娣

江蘇省連云港市灌云縣新區實驗小學 222200

幾何直觀作為數學十大核心概念之一，顧名思義，是由幾何和直觀這兩個方面融合而成，可以理解為依托圖形進行思考和想象。事實上，不管是概念、性質、法則的教學，還是解題教學，都可以借助于幾何直觀進行發現、探索和記憶。既然幾何直觀有如此大的作用，那么該如何對學生進行這方面能力的培養呢？筆者認為，教師應時時強調幾何直觀的重要性，盡可能多地給予學生思維訓練的機會，讓學生在訓練中體驗圖形的魅力，感悟幾何直觀的美妙，以培育幾何直觀能力［1］。

一、重視對學生畫圖習慣的培養

對于處于數學學習第一階段的小學生來說，抽象思維較為薄弱，而形象思維卻異常發達，他們對圖形的敏感程度往往高于數學符號和數學語言。為了更好地迎合小學生習得抽象知識的“口味”，教師可以通過畫圖這一媒介，讓畫圖來化解抽象知識與形象思維間的矛盾，讓學生更輕松理解數學知識。同時，教師應充分發揮畫圖的獨特效能，有意識地通過畫圖揭示數量關系，描述概念、定理等的內涵，給足學生充分體驗圖形直觀的過程，以激活學生的思維，培養學生畫圖的習慣，助力其幾何直觀的形成。

例1A、B 兩車同時從南城出發到北城，A 車到達北城后立刻返回，在距離北城49 千米的地方和B 車相遇，且A、B 兩車的速度之比為5 ∶3，問兩車相遇時A 車行駛了多少千米？

分析：本題為一道典型的行程問題，題目中的條件并不多，卻對數學思維提出了較高的要求，使得學生在解答時極易思維卡殼。此時倘若能夠用到畫圖分析的方法，那么則可以化難為易，讓問題的解決水到渠成。

師：有同學知道這道題的解題思路嗎？（學生各個面露難色，顯然本題的難度對于學生來說較大）

師（點撥）：在解題時，如果讀題無法建立數量關系，我們可以怎么辦？

生1：畫圖。

師：非常好，那我們就試一試，看畫圖能否給我們提供解題思路。（學生各個積極投入畫圖行動，很快有了結果）

生2：我畫出了圖1，根據圖形可以發現，A 和B 兩車從出發到相遇一共行駛了兩個全程，其中A 比B 多行駛了2個40 千米，所以可以得出路程差是80千米。又根據速度之比為5 ∶3，可見相同時間內的路程比也是5 ∶3，進一步得出路程差是。最終列出算式“40×=200（千米）”。

圖1

正是因為圖形的形象性，學生倍感直觀；正是因為圖形隱含條件“路程差”的暴露，學生很快就能想到解題思路，從而很好地突破了“找尋路程差”這一難點。可以說，正是有了巧妙的作圖與分析，才能讓學生感受到幾何直觀的神奇，從中體驗到數學解題的快樂。

從本例中可以看出，在解題中碰到一些難以理解和較為困惑的題目時，如果能自然而然地想到畫圖，可以讓隱含于題目文字或式子之中的條件顯性化，使抽象的問題形象化，從而方便形象思維的開展，讓學生快速找尋到問題的突破口，促成解題路徑的形成。

二、鼓勵學生數與形結合分析和思考問題

“數”抽象概括了“形”，“形”直觀表現了“數”，這就是數形結合。在解決復雜數學問題時，可以鼓勵學生數與形結合分析來搭個梯子，讓學生更加輕松地梳理題意，擴展思維，自然而然地在數形結合中建立直觀經驗，從而為發展幾何直觀開辟一條重要途徑。

例2計算：

分析：倘若本題只有前面幾項，學生可以通過通分在較短時間內完成計算，但本題是求無數項的和，難度之大也是可想而知的。當然，也有一小部分學生可以猜出“1”這個結論。但是當問及“能說一說理由嗎”，學生依然無法解說。此時，倘若能數與形結合起來分析和思考本題，自然也就峰回路轉了。

師：我們一起來猜想一下，若一直加下去，和是多少？（學生大膽猜想，得出了各種各樣的答案）

師（拾級而上）：我們一起來看圖2，有何發現？（PPT 呈現圖2）

圖2

師：就這樣，不停加下去，空白部分有何變化？

生2：會越來越少，直至消失。

師：非常好！（繼續PPT 呈現圖3）隨著加數的增加，陰影部分的面積逐步增大，越發接近一個圓的面積，當相加的項增加到無數個時，那陰影部分就是一個圓，結果自然等于1。

圖3

本例中，正是由于加數個數的無限性，使得數形結合的應用讓計算更簡捷，同時讓學生充分明晰了題目的深意，關鍵是通過數與形的完美溝通，讓學生親歷規律探究和驗證的過程，有效地滲透極限思想。如此巧用“數形結合”的教學，完美地與小學生的認知規律相融合，通過鼓勵學生猜想，再到以“形”驗證猜想，這樣步步深入，問題的本質自然銜接，不僅可以保證學生解決問題的效率，還可以促進幾何直觀的形成。

三、培養學生學會基本圖形的應用

應用基本圖形對于學生幾何直觀能力的培養和解題能力的提升作用明顯，但是在實際教學中，一些學生往往會由于畫圖不夠準確、討論不夠深刻、理解不夠全面等原因導致出錯。因此，教學中教師應教會學生準確畫圖，并學會應用基本圖形，通過圖形去發現問題、表達問題、理解問題，助力解題能力的提升，孕育幾何直觀［2］。

例3以“題組”為例

分析：初學時，面對這樣一組易混題型，不少學生會覺得十分簡單。但是在具體解決時，卻錯誤百出。事實上，倘若能應用好圖形來解決各題，則可輕松定位解題思路，快速而正確地解題。基于這樣的認識，本題可以根據題意依次畫出圖4 所示的線段圖。同時，在讀題的過程中，單位“1”可以準確而快速地確定，問題1 和問題3 中的單位“1”已知，即可選擇用乘法計算，問題2 和問題4 的單位“1”未知，即可選擇用除法計算。除此之外，這4 題在思路上有一個相同點，就是比較量都需與單位“1”的量進行比較。

圖4

就這樣，通過易混題型的組合練習，學生對解法和思路都有一個準確的定位，原本難以理解的數學問題也變得直觀化和簡捷化。這一過程實現了對分數實際問題數學模型的自主建構，同時促進學生思維的深刻化。

實踐證明，幾何直觀的培育可以讓學生學會數學思考，以促進思維能力的提升和數學素養的發展。因此，在教學中教師應精心設計教學環節，給予學生足夠的時空，重視對學生畫圖習慣的培養，鼓勵學生數與形結合分析和思考問題，并教會學生應用基本圖形，通過圖形去發現問題、表達問題、理解問題，助力解題能力的提升，從而提高幾何直觀思維能力。