指向推理能力培養的課堂實踐與探索
——以“積的變化規律”為例

成金嬋

江蘇省興化市實驗小學 225700

推理能力是數學核心素養的重要維度。它不僅是學習數學必備的一種思維方式，更是學生終身學習、適應社會不可或缺的重要能力［1］。數學推理具有很強的邏輯性和嚴謹性，它能夠使學生在數學學習中去偽存真，從眾多看似“雜亂無章” 的數學現象中獲得某種規律性認識，從而在這個過程中提升學生思維能力，發展學生的核心素養。

一、創設情境，引發合理猜想

數學家波利亞說：“要成為一個好的數學家，你必須首先是一個好的猜想家。”猜想是推理的前奏。科學合理的猜想有助于發展學生的數學思維，還能夠為學生的數學推理提供一定的方向。因此，要培養學生的推理能力，教師就應當為學生提供合理猜想的時間和空間。

師：星期天，淘氣和媽媽一起去超市購物。他們打算買一些大米，大米的價格是每包6 元，這個時候，媽媽準備出題考考淘氣：①如果買2 包大米，需要多少元？②如果買20 包大米，需要多少元？③如果買100 包大米，需要多少元？同學們，你們能夠幫助淘氣解決這些難題嗎？

生1：第①題可以列式為6×2=12（元）。

生2：第②題可以列式為6×20=120（元）。

生3：第③題可以列式為6×100=600（元）。

師：請同學們觀察并分析這3 個算式，說一說你有什么發現？

（學生討論、交流）

生1：從上往下觀察，我發現，如果其中的一個因數不變，而另一個因數變大，那么積也會變大。

生2：從下往上觀察，我發現，如果其中的一個因數不變，而另一個因數變小，那么積也會變小。

師：對。同學們還有其他的發現嗎？

生3：從上往下觀察，一個因數不變，另一個因數乘一個數，那么積也乘同一個數；從上往下觀察，一個因數不變，另一個因數除以一個數，那么積也除以同一個數。

師：你能結合這3 個式子具體說一說嗎？

生3：比如，從上往下看時，因數6不變，另一個因數2 乘10（變成20），積也乘10（變成120）；因數6 不變，另一個因數20 乘5（變成100），積也乘5（變成600）。從下往上看時，也是同樣的道理。

師：剛才我們得出了兩種結論：①一個因數不變，而另一個因數變大（小），那么積也會變大（小）。②一個因數不變，另一個因數乘（或除以）一個數，那么積也乘（或除以）同一個數。

師：同學們比較一下，哪個結論更好一些呢？

生4：我感覺，第①個表達得比較模糊，第②個結論更好些，表達得更準確。

教學中，教師創設生活情境，激發學生興趣，在學生列出算式后，教師引導學生觀察3 個算式，學生在觀察、分析和討論中進行猜想和推理。需要注意的是，由于認知水平的差異，學生進行猜想和推理的結論也是有差異的。教師應該順勢而教，引導學生對兩種推論進行比較，使學生自主探索出積的變化規律。

二、科學驗證，夯實推理根基

數學是依靠嚴謹的邏輯推理組成的有機系統。學生通過觀察和分析做出的初步猜想，還不能稱之為真正的數學結論。教師要向學生滲透“推理與證明”的科學意識，使學生始終保持嚴謹、理性的思考，反復從不同視角、不同情況驗證結論成立的必然性，并能夠有條理地表達出自己的思考過程，使學生的推理真正做到言之有理，落筆有據［2］。

（一）舉例驗證，感悟歸納推理

在小學階段，學生接觸到的歸納推理大多為不完全歸納推理。在驗證過程中，教師引導學生舉出更多的例子來驗證猜想結論的正確性，就屬于一種歸納推理。但是，小學生推理經驗不足，教師應盡量細化驗證的過程，對于舉例、計算等環節做出更加具體的指導，并引導學生充分考慮一些容易被忽視的特殊情況，這樣才能讓學生真正經歷推理的過程，體驗歸納推理的科學性。

師：通過觀察和分析上面的例子，我們已經做出了猜想。那么，我們的猜想是否正確呢？是不是所有的乘法算式都具有這樣的規律呢？

生1：我們可以通過列舉更多的例子來驗證我們的猜想。

師：對，我們在舉例的時候要特別考慮一些特殊的情況。

（學生以小組為單位進行舉例驗證）

生1：我們小組列舉了這樣兩組算式，發現我們原來猜想的結論是正確的。

生2：我們小組有新的發現。我們發現“0”這個數字并不完全滿足我們的猜想。比如，2×6=12，如果因數2 不變，另一個因數6×0＝0，那么2×0=0，這就相當于積12×0=0，這種情況下是符合這個規律的；但是，當除以“0”時，情況就不一樣了。因為0 不能作除數，所以如果這個數是0，就導致算式沒有意義了。

師：對，這一點發現很重要。那么，現在我們如何來修正自己的結論呢？

生3：應該把“0”這種情況排除在外。結論為：一個因數不變，另一個因數乘（或除以）一個數（0 除外），那么積也乘（或除以）同一個數。

師：這樣我們得出的結論就更嚴謹了。

教學中，教師引導學生通過舉例來論證猜想的正確性。在舉例的過程中，不但進一步加深了學生對積的變化規律的認知深度，還通過對“0”這種特殊情況的探討，使學生的思維更加嚴謹，在親身經歷由個別到一般的歸納推理過程中感受到了推理在數學學習中的重要作用。

（二）數形結合，使結論更穩固

“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”用數形結合的策略來驗證猜想結論的正確性主要是基于以下兩點考慮：一是小學生形象思維較強，抽象思維薄弱，而數形結合可以在學生思維形象性和數學規律抽象性之間搭建一座橋梁，從而延緩學生認知坡度；二是盡管在上述教學中，學生通過不完全歸納推理已經驗證了結論的正確性，但不完全歸納推理仍然具有較強的或然性，學生畢竟無法窮盡所有的算式對這條規律進行反復驗證，而運用數形結合驗證“積的變化規律”，不但能夠使數學結論更加穩固、更加令人信服，還能夠提升學生對“積的變化規律”的理解深度。

師：除了用舉例的辦法，我們還能夠用數形結合的方法來驗證我們結論的正確性。這是一個長方形（如圖1），它的長是2 厘米，寬是1 厘米，那么它的面積是多少呢？

圖1

生1：它的面積是2×1=2（平方厘米）。

師：如果它的寬不變，長度乘2（如圖2），這時它的面積是多少？

圖2

生1：2×2=4（厘米），它的面積是4×1=4（平方厘米），而原來的面積是2 平方厘米，2×2=4（平方厘米）

生2：寬不變，長乘2，面積也乘2，這與我們的結論是相符合的。

師：如果它的寬不變，長度乘3（如圖），這時它的面積是多少？

圖3

生1：2×3=6（厘米），它的面積是6×1=6（平方厘米），而原來的面積是2 平方厘米，2×3=6（平方厘米）。

生2：寬不變，長乘3，面積也乘3，這與我們的結論也是相符合的。

師：由圖可知，寬不變，長乘幾，面積就乘幾。長方形的寬是一個因數，長方形的長是另一個因數，通過推理，我們能夠清晰地看到面積隨著長的變化而變化，也就是積隨著因數的變化而變化。

教學中，教師引導學生通過數形結合的策略理解、驗證“積的變化規律”，這就使得抽象的數學規律以比較直觀形象的方式呈現出來，助力學生理解。此外，學生通過把數與形結合起來，通過面積隨著長的變化而變化體現出乘積隨著因數的變化而變化，從而進一步有力地論證了推理結論的正確性。

新課標將“推理能力”列為十大核心詞之一。數學推理能力是數學核心素養的重要組成部分，其在學生的數學學習中發揮著重要作用。推理能力的培養與發展應貫穿于整個數學學習過程中。教師要從創設情境、引發猜想、科學驗證等環節入手，引導學生親身體驗推理的全過程，不斷積累觀察、分析、猜想、抽象、驗證等數學發現手段，以達到發展學生推理能力，提升學生核心素養的教育目標。