平拋運動的越障臨界條件及應用

平貴生

(曲靖市民族中學 云南 曲靖 655331)

曾秀花

(曲靖師范學院 云南 曲靖 655011)

涉障平拋運動是指物體在做平拋運動過程中有障礙物存在的運動，排球、乒乓球、羽毛球運動時水平擊球過網，球網就是障礙物，投擲物體入筐時，筐邊就是障礙物．越障臨界條件是指物體剛好能跨越障礙物時各運動參量需要滿足的條件，越障臨界條件是分析涉障平拋運動問題的關鍵．

1 越障臨界條件

1.1 越障臨界條件方程

如圖1所示，設拋出點高度為H，障礙物高度為L，拋出點與障礙物的距離為d，落點與障礙物的距離為s，平拋運動的初速度為v0，以拋出點為坐標原點，以豎直向下為y軸正方向，以初速度方向為x軸正方向，有x=v0t，得

圖1 越障類問題情境圖

物體剛好跨越障礙物時，落地點和障礙物最高點均在同一拋物線上，因此，在障礙物最高點

落地點

越障臨界條件

越障臨界條件方程中H、L、s、d這4個參量互相制約、相互匹配，只要其中3個量確定，剩下的第4個量唯一確定．物體平拋后能否跨越障礙物只決定于H、L、s、d這4個參量，與平拋初速度無關，4個參量匹配后再決定唯一對應的平拋初速度v0．可以將H、L、s、d和v0稱為平拋運動的5個臨界參量，各臨界參量的表達式如下

平拋運動涉障問題最基本的問題模型是根據越障臨界條件，在已知3個臨界參量的條件下求解另外兩個臨界參量．

如圖2所示，在滿足越障條件的情況下，平拋初速度越大，落點到障礙物的距離s越大，越障臨界條件所對應的s為越障后的最小落點距離．

圖2 平拋初速度與距離s關系

1.2 越障臨界參量變化規律

平拋運動越障臨界條件涉及H、L、s、d這4個臨界參量，采用控制變量的思想，在保證其中兩個參量確定的條件下，分析另外兩個參量的變化規律，是臨界參量變化問題的基本模型．臨界參量變化問題有以下6種情況.

(1)如圖3所示，在L、d確定并滿足越障條件時，H越大，s越小．排球水平擊球時，過網是越障，不出界是對方場地到球網的距離大于等于越障條件所對應的越障后的落點距離s(越障后的最小距離)．擊球高度的最小值對應著s的最大值，對方球場邊界與球網的距離為排球不出界時落點距離的最大值，只要s小于對方球場邊界與球網的距離就能通過改變v0實現過網且不出界．

圖3 L與d確定的情境圖

(2)如圖4所示，在H、L確定并滿足越障條件時，d越大，s越大．在擲物入筐時，投擲點距筐的最遠距離d對應的是物體落入筐底的最遠位置，當投擲點逐漸向筐靠近時，物體的落點位置逐漸向筐內邊(與投擲點靠近的筐邊)靠近．

圖4 H與L確定的情境圖

(3)如圖5所示，在H、d確定并滿足越障條件時，L越大，s越大．水平擊球時，球網越高，落點距離越遠．

圖5 H與d確定的情境圖

(4)如圖6所示，在L、s確定并滿足越障條件時，H越大，d越大．水平擊球要打同一點時，擊球點距網越遠，運動員應跳的越高．身高不同的兩人越障擲物到同一位置，個子高的應站較遠位置．

圖6 L與s確定的情境圖

(5)如圖7所示，在H、s確定并滿足越障條件時，L越大，d越小．同一人同一高度擲物入不同高度筐的底部，筐越高，擲物點距筐越近．運動員同一高度擊球擦網至同一位置時，若網降低，擊球位置應后移．

圖7 H與s的情境圖

(6)如圖8所示，在s、d確定并滿足臨界越障條件時，L越大，H越大．

圖8 s與d確定的情境圖

2 涉障問題例析

【例1】如圖9所示，排球場總長18 m，設網的高度為2 m，運動員站在網前的3 m線上正對網前豎直跳起把球水平擊出．若擊球點的高度不夠，無論球被水平擊出的速度多大，球不是觸網就是出界，因此擊球點的高度應不低于______．

圖9 例1題圖

分析：網高L和擊球點到網的距離確定，擊球點的高度H越大，臨界落點距離s越小．當擊球高度H最小時，臨界落點距離s最大，只要臨界落點距離s不超過對方邊界與球網的水平距離即s≤9 m，就可以通過調節擊球速度v0實現既過網又不出界．由越障臨界條件可得

得

由題知

L=2 md=3 ms≤9 m

代入上式得

【例2】如圖10所示，裝球的球筐固定在水平地面上，小明將玩具小球(可視為質點)水平拋出并投入球筐中．球筐高度h=0.55 m，寬度l=1 m．小球的拋出點離地面的高度H=1.8 m，離球筐右壁的水平距離d=6 m．重力加速度g取10 m/s2，筐壁厚和空氣阻力不計．求：

圖10 例2題圖

(1)要使玩具小球能落入筐中，小明拋球時的速度大小應滿足什么條件；

(2)要使玩具小球直接落在筐底，在保持拋球位置高度不變的條件下，小明至少前進多少距離;

(3)要使玩具小球直接落在筐底，在保持拋球位置與球筐的距離不變的條件下，小明拋球點位置的高度應為多少.

分析：(1)能入筐的條件是，在下落1.25 m高度時，水平位移6 m≤x≤7 m．如圖11所示，以豎直向下為y軸正方向，以水平向左為x軸正方向，有

圖11 例2(1)問情境圖

可得

代入數據得

12 m/s≤v0≤14 m/s

(2)越障臨界落點距離是物體跨越障礙物后的最小落點距離，物體能直接落入筐底的條件是，越障臨界落點距離s不超過筐的寬度，即s≤1 m．如圖12所示，設小明前進x時剛好能將小球直接投入筐底，根據越界臨界條件有

圖12 例2(2)問情境圖

代入數據得

x=1 m

(3)設在保持投射點與筐的水平距離不變的條件下，投射點高度變為H1時，玩具小球剛好能落入筐底．投射點位置越高，越障臨界落點距離越小，小球剛好落在筐左側底部時對應的投射點高度是小球能直接落入筐底的最小值．根據越界臨界條件有

代入數據得

H1≈2.07 m