量子力學力學量和表象理論“五步”計算方法的研究與應用*

伊厚會

(濰坊科技學院智能制造學院 山東 濰坊 262700)

劉慧

(濱州學院理學院 山東 濱州 256603)

量子力學是研究微觀粒子運動規律的理論[1～3]，是我國工科類專業中一門非常重要的基礎課程．通過對該課程的學習，有助于學生掌握量子力學的基本原理和方法，加深對微觀世界中物理現象和微觀粒子運動規律的理解和認識．量子力學涉及大量的公式推導和數學計算，課程教學對學生的數學、物理基礎、邏輯思維能力與空間想象能力等都提出了極高的要求．多數教學往往只注重基礎理論的講解和數學公式的推導而忽略知識的應用和物理情境的構建，導致學生感到量子力學知識深奧難懂，影響了學生學習的積極主動性．特別是部分先修課程學習不深入，基礎薄弱的學生，容易對量子力學這門課學產生恐懼心理，嚴重影響了教學質量和教學效果的提升．

在量子力學教學中，注重知識間的聯系、思想方法的應用和知識網絡的形成是非常必要的．力學量和表象理論是量子力學的重要內容[4，5]，文章針對這兩部分內容，提出了“五步”計算方法．通過應用和舉例，解決了量子力學教學內容的重點和難點．“五步”計算方法除有助于學生解決一系列計算問題之外，還有助于學生概念的理解、內容的掌握和知識體系的建立．文章重點介紹力學量和表象理論“五步”計算方法的內容和應用．

1 知識基礎

力學量和表象理論是量子力學的重要內容，在學習這部分知識之前學生已初步掌握了量子力學的基本內容．它們主要有：

(1)微觀粒子的運動狀態用波函數Ψ(r,t)完全描述；

(2)|Ψ(r,t)|2表示在t時刻在r→r+dr中找到粒子的幾率；

(3)波函數的變化滿足薛定諤方程；

(4)量子力學中的力學量用厄米算符來表示；

(5)微觀體系的狀態用厄米算符的本征態(函數)表示；

(6)坐標、動量、角動量、能量算符本征方程的求解等．

2 力學量的計算

2.1 力學量的五步方法

在量子力學中用波函數Ψ(x,t)描寫微觀體系的狀態．當微觀體系的狀態波函數Ψ(x,t)已知時，求力學量F，則按照“找、解、展、求、算”這5個步驟進行．具體如下.

量子力學中，對應的動能算符為

在經典力學中，力學量角動量L=r×p，量子力學中，對應的角動量算符為

對于簡并情況，通常也在本征子空間中取一組正交歸一基．也可用力學量完全集算符來確定一組正交歸一基．

(4)“求”指求展開系數cn

|cn|2是力學量F的概率分布，其物理意義是力學量F的取值為λn的概率．

2.2 力學量實例

例如課本[1]例題求氫原子基態時，電子動量的概率分布．本題的條件是氫原子處于基態，即狀態波函數

已知，需要求解的力學量是動量．對應的“找、解、展、求、算”的5個步驟分別如下所示.

(1)找動量算符

(2)解動量算符的本征方程是

-ih?φp=pφp

動量算符的本征函數

(3)狀態波函數

按照動量算符的本征函數

展開

(4)求展開系數c(p,t)

(5)計算|c(p,t)|2，即電子動量的概率分布為

同樣如果已知狀態波函數，計算L2，Lz，H等力學量，則需要找這些力學量分別對應算符，分別按照以上步驟求解計算即可．

2.3 力學量平均值的兩步方法

由于

力學量F平均值的另一求法是利用公式

計算．在求解力學量平均值時，“找、解、展、求、算”五步可以簡化并成“找、算”兩步．

利用上式計算力學量時，步驟簡單，公式簡潔，便于學生記憶，但僅限于計算力學量的平均值．當利用“找、解、展、求、算”五步計算力學量時，除了可以求解力學量平均值之外，還可以得到力學量的概率分布．“五步”方法雖然步驟復雜，計算繁瑣，但是有助于深刻理解量子力學中的相關概念，幫助學生建立量子力學觀念和理論框架．

3 表象理論

3.1 表象理論的五步方法

在表象理論中，則按照“找、解、展、求、寫”五步進行，前四步和求力學量的步驟相同，第五步直接把態和力學量寫成矩陣形式即可．下面以Q表象為例，討論態和力學量的具體形式.

(5)“寫”指波函數、算符在Q表象中寫成矩陣形式，分別為

3.2 表象理論五步實例

下面分別以坐標表象、動量表象、能量表象為例，討論態和力學量的五步計算方法．

3.2.1 坐標表象

式中x′為坐標算符的本征值，δ(x-x′)為屬于本征值x′的本征函數．

(3)狀態波函數按坐標算符的本征函數δ(x-x′)展開

(4)求系數ax′(t)和算符在坐標表象的矩陣元

算符在坐標表象的矩陣表示是δ函數形式．在行列對應一致的前提下，則此δ函數前面的那部分就是此算符在坐標表象的算符表示．

(5)寫出坐標表象中的波函數

在本征值為連續譜的情況下，由于列矩陣的行不可數，往往用矩陣元來表示列矩陣，因此，任意態Ψ(x,t)在坐標表象的表示就是Ψ(x′,t),就是任意態Ψ(x,t)本身．若某一態波函數是以坐標為自變量,那么它就是在坐標表象的表示,就是某一態以坐標本征函數展開的系數．

3.2.2 動量表象

(1)找動量算符

(2)解動量算符的本征方程

p為動量算符的本征值

為屬于本征值p的本征函數．

(3)狀態波函數按動量算符的本征函數展開

(4)求系數c(p,t)和算符在動量表象的矩陣元

與坐標表象一樣，算符在動量表象的矩陣表示也是δ函數形式．在行列對應一致的前提下，則此δ函數前面的那部分就是此算符在動量表象的算符表示．

(5)寫出動量表象中的波函數

Ψ(x,t)是坐標表象中的波函數, 則c(p,t)就是在動量表象中表示的波函數．

3.2.3 能量表象

(1)找一維無限深勢阱的哈密頓算符

其中

為能量的本征值

為屬于本征值En的本征函數．

(4)求展開系數cn和算符在能量表象的矩陣元

(5)寫出能量表象中的波函數

4 結論

本文總結了量子力學力學量“找、解、展、求、算”和表象理論 “找、解、展、求、算、寫”的五步計算方法．教學實踐表明，“五步”計算方法使大量該類型題目的解題思路更加清晰明了．學生也較容易掌握量子力學的內容，建立完整的知識體系．在教學過程中注重知識間的聯系和知識網絡的形成是非常必要的．只有對教學內容深刻透徹理解，才能做到游刃有余、觸類旁通．