利用導數研究含參函數的最值問題

北京市陳經綸中學 陳 旭

一、教學背景

（一）課程標準要求

《義務教育普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》指出：高中生數學課程以學生發展為本，落實“立德樹人”根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。高中數學課程面向全體學生，實現：人人都獲得良好的數學教育，不同人在數學上得到不同的發展。高中生數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學生學習數學的興趣，使其養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。

（二）教學內容分析

函數是現代數學的最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具。在高中階段，函數不僅貫穿高中數學課程的始終，而且是學習方程、不等式、數列、導數等內容的工具與基礎。

導數是研究函數性質的重要工具，利用導數研究函數的單調性，進而確定函數的極值和最值，也是解決優化問題的一種通法。教材中給出了對具體函數單調性的求解范例，對含參函數的論述較少（教科書第104頁練習題19題）。通過本節的學習學生可以進一步理解掌握利用導數研究含有參數的函數的性質，以及函數最值的確定。因為參數的出現使得很多確定的因素變成了不確定，解決問題時往往需要分類討論，明確分類的依據、分類點的確定、討論順序的清晰等對學生思維提出了較高的要求，同時問題的解決也使學生思維能力得到充分的鍛煉和提升，同時學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等學科素養得以提升。

（三）學習任務分析（見圖1）

圖1 學習任務分析

（四）具體學情分析

在必修第一冊中，教科書給出了函數單調性、函數最值的定義，并運用定義研究了冪函數、指數函數、對數函數和三角函數的單調性和最值，學生對函數的單調性和最值有一定的了解。

在這節課之前，學生也能借助導數研究確定函數，并能確定函數在定區間上的最值，對利用導數研究函數已有初步的認識和嘗試。對于含參函數的研究，在前面單調性的研究中，學生有過接觸，因為參數的不確定性必然會帶來分類討論，分類討論需要清晰有序的思維，對學生能力要求較高，學生有一定的基礎，但還不夠嫻熟，對分類的點和清晰有序的描述還存在很大困難。

樹立函數思想、構造恰當的函數、利用導數研究函數最值、利用函數最值解決問題也是在本節課的問題解決中學生突破難點需要學習和積累的重要的思想和方法。

二、教學目標

（一）教學目標

1.利用導數研究含參的函數單調性，并能確定函數在定區間上的最值；利用導數研究確定函數在動區間上的最值。能根據問題情境恰當地建立函數關系，并利用導數進一步研究函數的性質，充分體會導數在研究函數中的作用。

2.通過對參數的討論，進一步明確分類的依據、討論的順序，體會分類討論、數形結合等數學思想方法的運用，在問題解決中感受邏輯推理的有序性、嚴謹性，從而發展提升思維能力。

3.通過自主探究、小組合作、全班交流的形式，逐步解決問題，樹立學生團隊協作意識，提升學生自主學習能力，在相互交流合作中，解決問題，激發思維，提升能力，發展素養。

（二）教學重難點及教學策略

1.重點：利用導數研究含參函數的性質從而確定函數的最值。

教學策略： 函數的最值往往根據函數的單調性和定義域區間決定，本節課精選兩道例題——含參函數在定區間上的最值、確定函數在動區間上的最值，從兩個不同角度讓學生通過對參數的討論理解函數最值確定的本質，以及利用導數研究函數的方法。

2.難點：對含參問題的分類討論，以及構造函數解決問題的思想方法。

教學策略： 通過自主思考、小組合作、全班討論的方式不斷突破難點，最終讓學生明確決定函數最值的因素、導數的作用、分類討論中分類的依據、討論點的確定、討論順序的清晰，突破難點，鍛煉思維，提升素養。

三、教學評價

（一）核心知識評價

能利用導數研究函數的性質和變化規律，理解函數的極值和最值，會求閉區間上的函數的最值。

（二）思想方法評價

能根據具體問題的背景構造函數，能將問題恰當地轉化為函數最值問題；能利用導數研究函數的性質，確定函數的最值解決問題；在用導數研究函數(特別是含參函數)的性質過程中，能正確進行分類討論解決問題。

（三）關鍵能力評價

能利用導數對函數單調性、極值、最值等性質進行分析、判斷或求解；能準確使用導數有關術語和數學符號進行數學表達，解決與函數有關的問題。

（四)課堂表現評價

表1 課堂表現評價

四、教學過程安排

表2 教學過程

(續表2）

(續表2）

五、教學反思

（一）精心設計問題，驅動學生思考和探究，理解知識本質，突破問題難點

導數是研究函數最有力的工具，我們常常利用導數符號判斷函數的單調性，從而確定函數的極值、最值，進一步解決更多的問題。參數的出現使許多因素變成不確定，而只有對問題本質真正理解才能讓我們知道每一步需要什么，字母參數可能取什么值，在不同取值情況下結果如何……含參函數問題的討論一向是許多學生發怵的地方：為什么討論？在哪兒討論？怎么討論？本節課精心設計了兩個問題：一個是確定含參函數在定區間上最值問題，一個是確定確定函數在動區間上的最值問題。兩個問題的解決的共同點就是：主體思路都是通過導函數的符號確定函數的單調性，通過極值和定義域區間端點值大小的比較確定函數的最值。不同點則是：第一個問題由于函數含參，導函數也是不確定的，導函數的符號也是不確定的，導函數零點的大小也是不確定的，函數在定義域區間兩個端點處的函數值也是不確定的，不確定就要討論，所以此題更凸顯分類討論思想發法的本質，意在幫助學生通過此題進一步明確分類討論的依據，討論點的分類特點，討論順序的清晰有序。而第二個問題由于函數是確定的，所以導函數是確定的，但導函數的符號還是無法直接確定，在比較定義域區間兩個端點值的大小時也出現了無法比較的情況，但此題無法通過對參數的討論而解決，而是需要重新構造函數再研究，意在進一步幫學生樹立函數思想，掌握利用導數研究函數的方法。這也凸顯了看似同樣的困難卻是不同的解決方式。所以方法的應用、問題的解決還是要引領學生看透問題的本質。

（二）注重探究、對比、提煉，促進學生深度思維，提升分析問題、解決問題的能力

本節課給出的兩個問題都是探究函數在閉區間上的最值問題，但仔細比較，第一個是含有參數的不確定的函數在確定的閉區間上的最值問題，第二個則是確定的函數在不確定的閉區間上的最值問題。同時確定函數最值，解決問題的整體思路是一致的，研究函數的導函數的符號，確定函數的單調性，比較極值和定義域區間端點值的大小，確定函數的最值。在整個問題解決過程中學生遇到了兩次困難，也看到了兩個問題不同的處理方式。

首先是兩個問題在確定導函數符號時都出現了無法判斷的情況，此時對比會發現第一個問題是由于參數的不確定，帶來了導函數的不確定，導函數符號的不確定，分類討論即可解決；第二個問題中函數是確定的，與參數無關，無須分類討論，所以采取了更為新穎的方法——重新構造函數再研究，利用導函數的增減性確定其符號，兩個問題處理的方式截然不同。

其次是在比較端點值大小的時候，兩道題由于函數不確定和區間不確定，都出現了端點值大小不確定的情況。第一個問題的突破，只需要對參數進行討論比較即可，第二個問題的解決則無法討論參數，而是采用了作差法，再次構造函數再研究，利用新函數的單調性和最值確定了大小關系。類似的問題、類似的困難，截然不同的處理方式，在思維的障礙處看到不同的處理方式，學生有種豁然開朗的釋然和欣喜。

解題是數學學習不可或缺的部分，有時我們的課堂上例題不必多，但要精。同時要引領學生解題后反思、對比、提煉，在相同的地方看到本質，學會通法，在不同的地方看到思維的靈活、解法的多樣，我想是對學生能力的提升最好的助力。

（三）加強合作交流，注重動手實踐，促進學生深度學習

數學的學習必須有自己獨立的思考，但學生思維的打開、能力的提升還需要更多的合作與交流。在解決本節課的兩個問題時，學生都遇到了困難：第一個問題有些同學討論不清，走著走著就亂了，小組的合作中，在同伴的幫扶下捋順思路走出困境；第二個問題中導數是確定的卻無法判斷其符號，有的同學通過特殊值試到了函數的零點，但說明兩邊的符號不嚴謹，全班交流時很多學生提出了疑問，在思辨的視角下學生找到了更好的方法。

通過小組合作交流可以進一步開拓學生的思維，通過全班的反饋和提煉，也更有利于學生認識問題的本質，讓問題有方法突破，讓思維更加嚴謹，讓表達更加有序而清晰。所以建立適當的學習共同體，課堂上更多地為學生創設機會，讓學生多想、多說、多練，讓學生在思維更多的碰撞中開拓視野、樹立自信、增長能力是非常重要的。