折紙超材料折展穩態特性研究1)

王海瑞 申薛靖 王宙恒 賈 璐 李傳檑 朱龍基 趙丹陽

* (清華大學航天航空學院,北京 100084)

? (西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室,西安 710049)

** (大連理工大學機械工程學院,遼寧大連 116024)

引言

隨著可穿戴設備自感知傳感、飛機自適應智能蒙皮、軍事裝甲多元防護等前沿科技的迅速發展,傳統材料的多功能化及變形調控的難度越來越大,通過巧妙的結構設計發展能夠突破傳統材料性能瓶頸的超材料,已成為新材料研發的重要方向[1-3].折紙超材料作為一種革命性新材料,其在可延展柔性電子[4]、血管支架[5]、高靈敏度傳感器[6]、可重構機器人[7-8]及輕量化重大裝備[9-10]等方面具有巨大應用前景,因而備受國內外學者的關注,這得益于其內部折紙胞元的豐富設計和大折展比.同時這類材料還擁有變形可重構、功能可編程、尺寸與組分材料獨立等優點[11-14],這使得折紙超材料的力學性能不僅呈現出優異的可調性能,而且具有廣闊的調控裕度.

折紙超材料是通過自身內部微結構連續變形來調控整體宏觀大變形,使得力學性能發生演化,例如可調的泊松比、可轉變的穩態和多剛度、可變的模量等[15-17].其中最重要也是最獨特的力學性能當屬折紙構型的多穩態特性.多穩態結構在其運動過程中有多個力學平衡位置,可通過外界能量的輸入使結構在不同穩態構型之間躍遷.目前圍繞折紙超材料的性能分析研究已經取得了一定進展.Yasuda等[18-19]發現了剛性可動的Tach-Miura 折紙結構在軸向伸縮變形過程中的多穩態特性.Hanna 等[20-21]采用能量原理研究了Waterbomb Origami 構型,發現該構型具有雙穩態特性.Silverberg 等[22-23]通過彈性面假設研究了Miura-ori 折紙超材料,發現其存在兩種穩定構型其剛度具有再編程性.Cai 等[24-25]分析了Kresling 管軸向伸縮過程中非線性載荷位移曲線,發現典型雙穩態特征與初始幾何參數條件有關.Fang等[26-29]研究了Miura 堆疊體動力特性,發展了單元的剛度異步自鎖,實現了分段多剛度調控.Song 等[30]研究了堆疊的Miura 折紙超材料的漸進能量吸收性能.以上研究圍繞Miura 類相對簡單的折紙構型及其堆疊體的性能分析取得了一定進展.然而,Miura折紙結構以外具有復雜構型的折紙超材料的構筑較少,穩態等性能研究相對較弱,從而在一定程度上制約了新型超材料的性能調控設計.最近,Wang 等[31]構筑了一種具有三維負泊松比的單層折紙超材料,通過結構參數調控可以使得該結構呈現雙重負泊松比.然而,對該折紙超材料性能的深入研究尚且缺乏,難以指導該超材料結構設計及其性能調控.

本文針對新型折紙超材料力學特性不明確的問題,采用折痕等效扭轉彈簧分析法和能量原理等方法,推導折紙超材料在折展變形過程中的外載荷與結構參數之間的內在關系,分析在復雜內部構型及折展特征協同作用下的外載荷變化規律,以明晰折紙超材料的穩態特性與折展變形之間關系,為超材料的構型參數優化設計和折展變形中的穩態性能調控提供理論依據.

1 折紙超材料構型與力學模型

圖1 所示的折紙超材料屬于單自由度剛性折紙構型,是由多個面體通過公共折痕連接組成.從三維模型可以看出,該構型存在內凹幾何特征,使其呈現三維(面內和離面方向)負泊松比特性.其中圖1(a)所示的折痕圖展示了包括間距尺寸比(r)、邊長比(p,q)和內角(α)以及與初始折展狀態相關的初始折展角(θ0)等幾何參數.如圖1(b)所示,在準靜態折展過程中,假定折紙構型的折痕為扭力彈簧,其單位長度剛度為k.因此,外載荷在其作用方向上所做的外功能夠全部轉化為超材料內部折痕的彈性勢能.

圖1 折紙超材料單胞的折痕圖及三維構型Fig.1 Crease pattern and 3D configuration of origami metamaterials

折紙構型的初始高度對應于其初始折展角度 θ0.外載荷作用下的位移為s.此時,折紙超材料在外載荷Fz作用下產生的外功為

同時,折紙超材料在準靜態折展過程中所有折痕存儲的勢能為

折紙超材料在折展變形過程中的總能量為U=E-W.由于超材料變形過程中始終處于平衡狀態,以折展角 θ 為自變量,根據最小勢能原理=0 .同時結合文獻[31]中折紙超材料的二面角和旋轉角與折展角的關系,可以求得折紙超材料單胞在折展過程中的外載荷為

從外載荷公式可以看出,折紙超材料的外載荷為結構幾何形狀與初始折展狀態的函數.為揭示折紙超材料在折展過程中的穩態行為,有必要進一步探索上述結構參數對折展外載荷的影響規律.

2 參數影響規律分析

本文選定尺寸比a=1,p=5 為折紙超材料長度基準,通過分析折展過程中外載荷的變化規律,研究超材料的穩態特性.圖中色差帶分別表示外載荷的正負和大小.外載荷的正負邊界是初始折展角 θ0.當折展角 θ從初始 θ0增加到90°時,超材料為展開變形,此時為拉伸外載荷,定義為負值.當折展角 θ從 θ0減小到0°時,超材料為折疊變形,此時為壓縮外載荷,定義為正值.同時外載荷的增減過程分別對應了正剛度和負剛度.

2.1 邊長比對折紙超材料外載荷的影響

圖2(a) 顯示折疊壓縮外載荷與折展角θ負相關.圖2(b) 顯示壓縮外載荷先增大到最大值(黑色虛線),然后減小到最小值(紅色點劃線),最后略有增加,即呈現雙穩態特性.圖2(c)顯示壓縮外載荷首先增加到最大值(黑色虛線),然后逐漸減小,表現出單穩態特性.

從圖2 中可以看出,為避免極限折疊時折紙結構的自干擾,橫坐標邊長比q的范圍取決于結構的邊長比p和內角α.此外當折展角 θ 固定時,折紙超材料的折展外載荷與邊長比參數q呈正相關性.從圖2(a)～圖2(c)的對比可以看出,內角α 的增加促使雙穩態的出現.間距尺寸比r的增加使得雙穩態轉變為單穩態.這表明穩態間的轉變與內角α 和間距尺寸比r有關.

圖2 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與邊長比q之間的關系Fig.2 Relationships between external load Fz/kand edge ratio qduring the folding of origami metamaterials

2.2 內角對折紙超材料外載荷的影響

圖3(a)顯示折疊壓縮載荷與折展角θ負相關,與內角α也是負相關;展開拉伸外載荷與內角α負相關.圖3(b)顯示壓縮載荷表現出多種情況,內角α在0°～ 45°范圍內,折疊壓縮載荷單調增加;內角α在45°～ 73.2°范圍內,折疊壓縮載荷先快速增加,然后減少,最后緩慢增加,即壓縮載荷呈現雙穩態.圖3(c)顯示折疊壓縮載荷在內角α為0°～ 24°范圍內表現為單調性,在內角α為24°～ 32°范圍內表現為雙穩態,在內角α為32°～ 73.2°范圍內表現為單穩態.以上表明,折紙構型的外載荷穩態特性與內角α密切相關.

圖3 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與折展角 α 之間的關系Fig.3 Relationships between external load Fz/kand inner angleα during the folding of origami metamaterials

圖3 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與折展角 α 之間的關系(續)Fig.3 Relationships between external load Fz/kand inner angleα during the folding of origami metamaterials (continued)

從圖3 中可以看出,展開拉伸外載荷與折展角θ呈負相關;為避免極限折疊時折紙結構的自干擾,橫坐標內角α的取值范圍決定了邊長比參數q的取值.從圖2(a)～圖2(c)之間的比較可以看出,隨著初始折展角度 θ0的增加,壓縮外載荷逐漸表現出穩態特性;而隨著間距尺寸比r的增大,外載荷表現出由雙穩態向單穩態的轉變,且穩態范圍增大.這表明,初始折展角 θ0和間距尺寸比r對壓縮外載荷穩態的影響非常顯著.

2.3 間距尺寸比對折紙超材料外載荷的影響

圖4(a)顯示隨著間距尺寸比r或折展角 θ 的變化,壓縮外載荷始終呈現單調性,即無穩態.圖4(b)顯示壓縮外載荷在間距尺寸比r為0～ 6.3 范圍內單調增加,即無穩態.在間距尺寸比r為6.3～ 7.2 和12.9～ 15 的范圍內,壓縮外載荷表現出單穩態特性.在間距尺寸比r為7.2～ 12.9 的范圍內,壓縮外載荷表現出雙穩態特性.圖4(c)顯示壓縮外載荷表現出單穩態和雙穩態等兩種情況,這取決于間距尺寸比r的取值.

從圖4 可以看出,當折展角 θ 固定時,隨著間距尺寸比r的增加,外載荷逐漸增大;橫坐標間距尺寸比r的取值范圍與其他幾何參數無關,呈現出獨立性.從圖4(a)和圖4(b)的比較可以看出,隨著初始折展角度 θ0的增加,壓縮外載荷表現出穩態特性.從圖4(b)和圖4(c)的比較可以看出,隨著內角α 的增大,壓縮外載荷的穩態范圍逐漸增大.這表明內角α 和初始折展角 θ0對折紙構型的穩態形式影響較大.

圖4 折紙超材料在折展過程中外載荷 Fz/k與間距尺寸比r之間的關系Fig.4 Relationships between external load Fz/kand spacing ratio rduring the folding of origami metamaterials

2.4 外載荷變化規律

從圖5 中可以看出,構型參數為p=50,q=18.75,r=5,a=12.5,α=40o,θ0=60o的折紙超材料外載荷在折展過程中單調遞增,即不存在穩態.構型參數為p=50,q=15,r=50,a=12.5,α=55o,θ0=70o的折紙超材料外載荷在折展角 θ 為0°～ 51.7°的范圍內遞減,表現為單穩態特性,此時為負剛度材料,這在精密儀器的隔振等方面具有潛在應用.構型參數為p=50,q=25,r=5,a=12.5,α=75o,θ0=80o的折紙超材料外載荷在折疊過程中先增加(折展角 θ 從80°到69.75°)后減小(折展角 θ 從69.75° 到49.5°),最后又增加(折展角 θ 從49.5° 到0°),表現為雙穩態特性,這在沖擊吸能等方面具有潛在應用.

圖5 3 種折紙超材料在折展過程中外載荷的變化Fig.5 Three kinds of variations of external loads during folding oforigami metamaterials

綜上,所有折紙超材料的外載荷在展開過程中都呈現單調性.不同折紙超材料的外載荷在折疊過程中表現出不同的變化趨勢,從而呈現出單調性、單穩態和雙穩態等不同狀態.外載荷的穩態特性則由邊長比q、內角α、折展角 θ0和間距尺寸比r共同調控.

3 結論

本文理論研究了新型折紙超材料的面內單向準靜態折展過程的力學性能,建立了折紙構型折展變形過程的力學模型,獲得了折展外載荷與構型幾何參數之間的內在關系,得到以下結論.

(1) 該折紙超材料的外載荷在展開過程中呈現單調性,展開外載荷與折展角 θ 負相關.

(2) 外載荷在折疊過程中可以呈現單調性、單穩態和雙穩態,這些特性的調控密切依賴于邊長比q、內角α、折展角 θ 和間距尺寸比r等構型參數.

(3) 揭示了折紙超材料穩態特性的轉變機理.初始折展角 θ0促使壓縮外載荷表現出穩態特性;內角α的增加促使雙穩態的出現,間距尺寸比r的增加使得雙穩態向單穩態轉變,且穩態范圍增大.

研究結果為新型折紙超材料穩態性能的調控和構型設計提供了可借鑒的思路.有助于推動折紙超材料在大延展皮膚電子、氣動可變行飛行器和高強度軍事裝甲防護等方面的工程應用.