低頻彈性波超材料的若干進展1)

王 凱 周加喜 蔡昌琦 徐道臨 文桂林

* (湖南大學機械與運載工程學院,長沙 410082)

? (湖南大學重慶研究院,重慶 401133)

** (燕山大學機械工程學院,河北秦皇島 066004)

引言

超材料(metamaterial)是指人為構造的一類材料或結構,能夠實現傳統自然界材料所不能實現的一些性質或功能,比如帶隙結構[1]、波導[2]、負泊松比[3]、負折射率[4]、負膨脹系數[5]、負質量[6]、超透鏡[7]、聲學隱身[8]以及拓撲態[9]等.顯然,超材料的奇異性質超越了自然規律的限制,使其獲得了與自然界中材料迥然不同的超常物理性質,極大地拓展了材料的應用范圍,并引發了諸如新一代信息技術、國防工業、新能源技術、細微加工技術等領域的重大變革,獲得了包括政府、學術界以及產業界的極大關注[10-12].

美國國防部將超材料列為“六大顛覆性基礎研究領域”之一,并開發出能夠適用于航天飛機隔熱設備的具有復原功能的反彈陶瓷管[13].德國的研究人員開發出能夠讓飛機在雷達探測范圍內隱身的隱身超材料.而日本和俄羅斯也將超材料作為戰斗機隱身的核心技術,并投入大量科研經費進行持續攻關.法國科學家利用超材料的基本思想,提出通過在地面上打孔的方式以削弱地震波對建筑物的影響.荷蘭科學家則發明了可編程智能橡膠,其材料性質根據擠壓程度而發生相應變化[14].在國家的大力支持以及科研、產業人員的共同努力下,我國在局域共振超材料理論[15]、薄膜超材料[16]、電磁超材料[17]、負屬性超材料[18-19]以及非線性超材料[20-21]等領域取得了若干原創性研究成果,并始終處在領先位置.此外,在電磁黑洞、聲學黑洞和聲學隱身等功能性超材料研制方面,我國科研工作者也頗有建樹[22-23].我國以光啟科學為首的超材料研發制造企業的迅猛發展標志著超材料在我國正加速從理論研究轉向工程應用.

一般而言,超材料包括基體材料和散射體材料等兩類材料.散射體材料通過一定規律嵌入/放置在基體材料中.散射體材料的形式多種多樣,包括金屬、液體、塑料甚至是空氣[24].需要指出的是,超材料所呈現的奇異物理性質既不取決于基體材料,也不取決于散射體材料,而是由二者組合而成的新結構所決定[25].超材料大致可以分為電磁波超材料、聲學超材料、彈性超材料、結構超材料等[26-27].當波通過超材料時,超材料通過阻礙[28]、吸收[29]以及集聚[30]等方式,實現了對不同類型的波的操控.

當波在超材料中傳播時,波與超材料結構相互作用(散射、反共振等),從而產生能夠抑制波傳播的帶隙結構[25].對于能夠抑制彈性波傳播的超材料帶隙而言,其形成機理主要分為固體中橫波和縱波之間的波形轉化與相互作用(布拉格散射帶隙)以及局域振子的反共振(局域共振帶隙)等兩種[24].其中,布拉格散射帶隙的帶隙頻率與超材料的晶格常數以及超材料構成組分的材料參數相關,而局域共振帶隙的帶隙頻率依賴于局域振子的固有頻率[31].詳細來講,隨著超材料晶格常數減小或基體材料彈性模量變大,布拉格散射型帶隙頻率明顯向高頻區域移動[32],換句話說,難以使用具有支撐能力的小尺度超材料在低頻范圍內開啟帶隙結構.幸運的是,局域共振帶隙的中心頻率僅與局域振子的固有頻率相關,而機械系統的固有頻率屬于機械系統的基本屬性,依賴于系統的慣性與剛度特性[33].因此,局域共振帶隙機制的提出,打破了超材料晶格常數與基體材料參數對帶隙頻率的限制,為使用具有支撐能力的小尺度超材料開啟低頻帶隙提供了契機[15].

然而,傳統局域振子存在大承載能力與小剛度之間的矛盾,局域振子固有頻率依然較高,超材料難以在更低頻率范圍(＜ 100 Hz)內開啟彈性波帶隙結構[34],阻礙了超材料在低頻振動控制、低頻振動能量俘獲、低頻波導以及低頻邏輯結構設計等方面的應用.盡管獲得低頻彈性波帶隙的理論基礎明晰,但如何創新設計超材料結構,以實現超材料的功能性與實用性,依然制約著低頻超材料的發展.本文擬從超材料帶隙結構開啟機理出發,從超材料結構設計、帶隙頻率降低方法、低頻帶隙優化與調控策略等方面入手,系統闡述在保證超材料承載能力以及外觀尺寸等實用性的前提下開啟低頻彈性波帶隙的基本方法,總結低頻彈性波超材料的潛在應用.

1 基本方法與結構

布拉格散射和局域共振是超材料獲得彈性波帶隙的兩種基本機制.然而,無論是布拉格散射型帶隙,還是局域共振型帶隙,其帶隙頻率都和超材料的基本結構嚴格相關.換句話說,設計合理的超材料結構,是獲得低頻彈性波帶隙的關鍵.本節旨在總結低頻彈性波(＜ 100 Hz)超材料的基本結構并對其進行分類,以厘清低頻彈性波帶隙與超材料構型之間的關系.

1.1 布拉格散射型超材料

當超材料的基體為流體或者氣體時,基體僅能傳播縱波.因為超材料相鄰元胞間反射波的同相疊加,部分頻率的彈性波在超材料結構中傳播時將被削弱,形成帶隙結構,其中心頻率為[25]

式中,c與a分別表示彈性波的波速以及超材料結構的晶格常數.因基體中彈性波的波速與基體的彈性模量呈正相關,所以減小基體彈性模量可以有效降低布拉格散射型帶隙的中心頻率,在低頻區域形成帶隙結構[35].此外,增大超材料結構的晶格常數,也能夠降低帶隙的中心頻率.

當超材料的基體材料為固體時,基體中存在橫波和縱波之間的波形轉化.單個散射體在米氏散射(Mie scattering)過程中低頻縱波向橫波的轉化是布拉格散射型帶隙形成的基本原因.需要注意的是,該波形轉化主要取決于一階諧波的米氏散射,且在散射峰值附近,散射體呈剛體共振模式[36].若將周期性超材料簡化為彈簧-質量原子鏈(其中基體簡化為彈簧和質量塊,散射體為質量塊),其起始頻率與截止頻率分別表示為[37]

式中,m和M分別表示兩種簡化質量塊的質量;k表示連接兩個質量塊的彈簧的剛度.顯然,布拉格散射型帶隙的帶隙位置與散射體材料和基體材料的材料參數相關.

對于布拉格散射超材料而言,增大散射體材料密度、降低基體材料彈性模量以及增大晶格常數均可降低帶隙起始頻率,在低頻范圍內獲得彈性波帶隙結構[38].然而,增大晶格常數會導致超材料整體尺寸明顯增大,嚴重制約超材料在工程實際中的應用.而降低基體彈性模量或者增大散射體密度,即減小式(2)中的k值或者增大M值,散射體的剛體共振頻率減小,布拉格散射型帶隙起始頻率向低頻范圍移動,能夠在低頻范圍內獲得彈性波帶隙.

通過類比DNA 結構,文獻[39]提出了一種一維超材料結構.該超材料由圓形板和螺旋結構組成,其中螺旋結構包括兩側的螺旋線和連接螺旋線的中間連接桿.將圓形板簡化為質量塊,螺旋結構簡化為彈簧,則該DNA 超材料可以等效為傳統彈簧-質量原子鏈結構.改變螺旋線之間的連接桿數量,可以在較大范圍內對螺旋結構的剛度進行調節,這為在低頻范圍內開啟帶隙結構提供了潛在途徑.但是,當超材料的剛度過低時,超材料承受靜載的能力下降,其工程應用潛力降低.

如果不考慮超材料的承載能力,即超材料不承受靜載時,設計無支撐能力的超材料能夠在低頻范圍內獲得彈性波帶隙.如圖1(a)所示,通過在兩個超材料元胞的連接彈簧中間安裝旋轉結構,可以消除連接彈簧的變形,使縱向剛度等于0.該縱向剛度等于0 的超材料的色散關系可以表示為[40]

圖1 無支撐能力超材料[40-41,43]Fig.1 Supportless metamaterials[40-41,43]

式中,Meff和Keff分別表示該超材料的等效質量和等效剛度;q和D分別表示波數和超材料的晶格常數.從超材料的色散曲線得出: 該縱向剛度等于0 的超材料在頻率區間內形成了布拉格散射帶隙.

構造無支持能力超材料并實現低頻帶隙的第二種方法為通過鉸鏈連接質量塊.由于鉸鏈的引入,超材料的轉動剛度等于0.由鐵木辛科梁理論可知,彎曲波由材料的垂向運動與旋轉運動等兩種運動共同控制[41].對于傳統的梁結構而言,能夠在低頻范圍內產生兩支色散曲線,其中一支從0 開始,另外一支從特定的起始頻率開始.因兩支色散曲線分布于整個低頻區域,所以傳統梁結構不能在低頻范圍內開啟帶隙結構[42].

將傳統梁結構色散方程中的轉動剛度置為0 并求解色散關系,可以獲得轉動剛度等于0 的超材料的色散曲線表達式為[41]

由式(4)可知,當轉動剛度等于0 時,超材料的其中一支色散曲線與波數軸重合,即對于任意波數k,其對應的頻率均等于0.因此,該超材料能夠開啟起始頻率為0 的低頻彈性波帶隙結構.

無支撐能力超材料的第三種實現方式如圖1(c)所示.該類超材料主要通過切削連續均質等截面梁形成.切削處梁截面逐漸減小,形成錐型結構.因錐型體最小截面處截面面積遠遠小于未切削均質連續體的截面面積,所以最小截面處的彎曲剛度與扭轉剛度均非常小,這為實現低頻布拉格散射帶隙提供了可能.此外,通過超材料中局部機構位移與整體超低頻波動強耦合以及在超材料中引入幾何非線性等方式,也能夠開啟起始頻率為0 的超低頻彈性波帶隙[44-46].

五模超材料也稱為“金屬流體”,能夠對縱波和橫波進行解耦,其體積模量B與剪切模量G的比值遠遠大于自然界固體材料的比值[47-49].基于五模超材料的特殊物理性質,北京理工大學胡更開教授團隊首次實現了水聲完美隱身[50].此外,通過在五模超材料中引入負泊松比微結構設計,該團隊還發現了一種“反流體”的波動特性,并實現了彈性波的寬頻極化控制[51-52].由五模超材料所開啟帶隙的中心頻率與材料參數的關系可以表示為[53]

式中,A和B表示兩個負實數,C表示正實數.E與ρ分別表示材料的彈性模量和密度.顯然,減小彈性模量或增大材料質量密度均可以降低五模超材料的帶隙中心頻率,在低頻范圍內開啟彈性波帶隙結構[54].例如,將五模超材料的構成材料由鋁置換成橡膠,帶隙范圍由812～6430 Hz 降低至1.48～11.5 Hz[53].此外,使用密度較大的材料與橡膠材料形成復合五模超材料結構,能夠增大五模超材料的等效質量密度,進一步降低帶隙所處的頻率范圍[55-56].

值得注意的是,不管是由基體材料與散射體構成的傳統超材料,還是五模超材料等新型超材料,較大晶格常數以及較低材料剛度屬性是獲得低頻帶隙的兩個關鍵條件[25].然而,晶格常數增加會明顯擴大超材料的外觀尺寸,使其應用潛力下降;降低材料剛度會影響超材料的靜載承載能力,使其成為無支撐能力結構[24].因此,創新設計具有承載能力但剛度較小的布拉格散射型超材料,是實現利用超材料進行低頻振動控制的理想途徑.

Zhou 等[57]結合打靶法,率先設計了一種可增材制造的一體化超材料結構,其示意圖如圖2(a)所示.由多段梁組成的彈性連接部分的剛度與施加在該超材料兩端的靜載相關,即超材料剛度隨屈曲梁壓縮量的變化而變化[58].當施加靜載等于額定靜載時,超材料剛度趨近于0.與圖1 所示的無支撐超材料不同的是,準零剛度鏈式超材料在靜載條件下出現零剛度特性,即超材料具有良好的承受靜載的能力[59].圖2(b)表示零剛度鏈式超材料的帶隙結構.顯然,在一定壓縮量范圍內,超材料帶隙頻率隨超材料壓縮量的增大而減小,換句話說,零剛度鏈式超材料能夠在低頻(約10 Hz)范圍開啟帶隙結構.

圖2 低剛度鏈式超材料及其帶隙結構[57]Fig.2 Low-stiffness metamaterial and corresponding band structures[57]

1.2 傳統彈性元件局域共振超材料

2000 年,Liu 等[15]在Science上發文,首次提出了局域共振超材料的概念.局域共振超材料的帶隙形成機理與布拉格散射型超材料的帶隙形成機理具有本質區別,主要基于安裝在基體結構上的局域共振單元的強共振特性開啟帶隙機構[14,60-61].局域共振帶隙的中心頻率近似等于局域振子的共振頻率.因此,創新設計局域振子結構,使其具有低固有頻率特性,是利用小尺度超材料開啟低頻彈性波帶隙的核心.

一般而言,由線性彈簧和質量塊組成的如圖3(a)所示的彈簧-質量局域共振子,是構成局域共振超材料最簡單的局域共振子構型.利用該局域振子,能夠分析局域共振帶隙的形成機理.將彈簧-質量局域共振子周期性地安裝在彈簧-質量原子鏈[62]、梁[63]以及板[64]上,可形成一維和二維局域共振超材料的原理模型,并分析縱波和彎曲波帶隙的形成機理.研究發現,當彈性波頻率靠近局域振子的固有頻率時,局域振子中質量塊的動力學響應幅值增大,彈性波在主體結構中的傳播幅值減小,超材料形成彈性波帶隙結構[65].局域共振帶隙的起始與終止頻率可以由下式給出,即[34]

式中,kR和mR分別表示局域振子的剛度和質量;M表示超材料元胞中基體的質量.顯然,局域共振帶隙的頻率與寬度均與局域振子的屬性相關,打破了布拉格散射帶隙對超材料晶格常數以及基體材料屬性的依賴,為利用小尺度且具有支撐能力的基體結構在低頻區域內開啟帶隙結構提供了潛在途徑.然而,就線性彈簧-質量塊局域振子而言,其外觀尺寸較大,且線性彈簧存在承載和低剛度之間的矛盾,導致該局域振子很難應用于工程實際.因此,開發新型局域振子結構,是推動超材料由理論研究轉向工程應用的必然趨勢.

通過彈性材料或者彈性結構替代線性彈簧,可以構造緊湊型局域振子.如圖3 所示,用于設計局域振子的彈性材料包括橡膠[66-72]、薄膜[73-74]、懸臂梁[75]以及聚合物混凝土[76]等.使用彈性結構替代線性彈簧的一個優勢在于彈性材料可以同時在多個方向上提供回復力.因此,由彈性結構構成的局域振子能夠開啟不同類型的彈性波帶隙,例如縱波帶隙、彎曲波帶隙以及扭轉波帶隙等[77].需要指出的是,若使用球擺類結構構造超材料元胞,也可以在同一超材料中獲得多類型低頻彈性波帶隙,從而實現對不同種類的低頻彈性波進行控制[78].

圖3 不同類型的局域振子結構[73,79-80,85-87]Fig.3 Schematic diagrams of different types of local resonators[73,79-80,85-87]

除開彈性結構外,將彈性基體進行切削鏤空以形成特定的幾何結構,也是構造緊湊型局域振子的一種方法[79-84].因連接局域振子質量的基體被鏤空,如圖3(c)所示,其剛度遠遠小于完整連續體的剛度,局域振子的固有頻率較低,超材料能夠在低頻范圍內開啟彈性波帶隙結構.然而,無論是由線性彈簧和質量塊組成的傳統型局域振子,亦或是由彈性材料或彈性結構以及質量塊組成的緊湊型局域振子,都存在支撐能力與低剛度之間的矛盾.換句話說,當局域振子質量塊質量較大時,連接質量塊的彈性元件需要較大的剛度以支撐質量塊,局域振子固有頻率難以降低.由于局域共振型超材料的帶隙頻率與局域振子的屬性相關,所以由普通彈性元件和質量塊組成的局域共振超材料難以在低頻尤其是超低頻范圍內開啟彈性波帶隙.

1.3 準零剛度局域共振超材料

固有頻率是機械系統的固有屬性,與系統剛度和慣性相關[88].系統剛度一般用以評估系統抵抗變形的能力.當系統變形增大,所施加的力也增加時,此時稱系統具有正剛度特性.相反,當系統變形增大,所施加的力減小時,稱系統具有負剛度特性.將正負剛度并聯組合,利用負剛度機構的負剛度特性抵消正剛度元件的剛度值,則組合系統的剛度值較正剛度系統剛度值明顯減小[89].通過參數設計,正負剛度并聯組合系統的剛度值在靜平衡位置處等于0,在靜平衡位置周圍趨近于0.此時,該組合系統稱為準零剛度系統,其靜力學特性如圖4 所示[90-91].

圖4 準零剛度系統的靜力學特性[92]Fig.4 Static characters of quasi-zero-stiffness system[92]

設計具有低固有頻率的局域振子是利用超材料開啟低頻彈性波帶隙的核心.但是,單一彈性元件難以達到承受靜載與降低動剛度之間的統一,導致所構成的局域振子固有頻率較高,難以開啟低頻彈性波帶隙[89-93].準零剛度系統的提出,為創新設計低頻局域振子提供了契機.2017 年,Zhou 等[34]率先提出準零剛度局域振子的概念,并基于準零剛度局域振子設計了準零剛度局域共振超材料梁.準零剛度局域振子的剛度-位移表達式可以表示為

式中,kp表示局域振子中正剛度元件的剛度值; γ 表示局域振子在靜平衡位置處的剛度值與正剛度元件剛度值kp的比值,其大小由負剛度機構的參與程度決定;P(x)表示與運動位移相關的變量.顯然,準零剛度局域振子的剛度值可以通過改變 γ 的大小,亦即負剛度機構的參與程度來進行調節.

對于準零剛度局域振子而言,負剛度機構是決定其外觀尺寸和力學特性最核心的部分.目前,包括斜彈簧機構[93-97]、X 型機構[98]、半球-半球機構[99]、凸輪-滾子機構[100]以及永磁鐵環[101]等機械結構均可以實現負剛度特性并抵消正剛度元件(主要由線性螺旋彈簧和橡膠塊組成)的剛度值以實現準零剛度特性,如圖5(a)所示.但是,由于正剛度機構與負剛度機構均由機械結構組成,準零剛度局域振子外觀尺寸較大,自重較重,導致所構成的準零剛度局域共振超材料尺寸較大.此外,正負剛度機構并聯組合會引入難以避免的機械接觸,引起機械摩擦,影響超材料帶隙結構的振動抑制性能.

為了突破機械準零剛度局域振子的缺陷,Cai 等[92]利用兩對折疊梁和兩對屈曲梁,設計了如圖5(b)-I所示的可快速增材制造的結構化準零剛度局域振子.在該準零剛度局域振子中,折疊梁為局域振子提供正剛度,屈曲梁提供負剛度,折疊梁與屈曲梁直接相連,避免了冗余的機械接觸,減小了機械摩擦對超材料帶隙結構的影響.另外,相較于機械準零剛度局域振子,結構化準零剛度局域振子質量更輕,整體尺寸更小,更有利于設計緊湊型準零剛度局域共振超材料.

盡管由折疊梁和屈曲梁構成的準零剛度局域振子已經解決了機械式準零剛度局域振子的諸多缺陷,但是該局域振子依然由正負剛度元件組成,結構依然較為復雜.隨著對結構化準零剛度局域共振子結構的持續性改進,正剛度元件和負剛度元件融為一體,改由多段柔性梁實現準零剛度結構[57],如圖5(b)-II 所示.更為重要的是,該型準零剛度局域振子的靜力學特性與多段梁的壓縮量相關,這為調控局域共振超材料的帶隙結構提供了理論支撐[103].

圖5 準零剛度局域振子基本構型[57,92,94,98-103]Fig.5 Schematic diagrams of different types of quasi-zero-stiffness local resonators[57,92,94,98-103]

由式(7)可知,機械準零剛度局域振子的剛度值與負剛度機構的參與程度,亦即剛度系數 γ 相關[34].而結構化準零剛度局域振子的靜力學特性則與多段梁的壓縮量相關[103-105].因局域共振超材料的帶隙頻率與局域振子的剛度相關,所以局域振子的參數對準零剛度局域共振超材料的帶隙具有明顯影響.圖6表示剛度系數與多段梁壓縮量對準零剛度超材料帶隙結構的影響.顯然,隨著剛度系數的減小,即負剛度機構參與程度增加,準零剛度超材料的帶隙頻率向低頻區域移動,這與多段梁壓縮量對準零剛度超材料帶隙結構的影響完全一致,即隨著多段梁壓縮量的增加,超材料帶隙頻率向低頻區域移動.綜上所述,準零剛度超材料能夠在保證承載能力的前提下,在低頻區域內開啟彈性波帶隙.

圖6 準零剛度超材料的帶隙結構圖[95,103]Fig.6 Band structures of quasi-zero-stiffness metamaterials[95,103]

2 低頻帶隙優化與調控方法

增大布拉格散射型超材料的晶格常數或改變構成超材料的基體與散射體的材料參數,能夠在低頻范圍內開啟低頻彈性波帶隙結構[106].但是,無論是增大超材料的晶格常數,還是降低超材料基體材料的剛度,均會制約超材料的工程應用.局域共振型超材料的提出,打破了布拉格散射帶隙的帶隙頻率與晶格常數、基體材料參數之間的依賴關系,成功利用具有承載能力的小尺度超材料結構開啟了低頻彈性波帶隙[107].然而,隨著局域共振帶隙頻率向低頻區域移動,帶隙寬度變窄,帶隙內彈性波衰減效果減弱[108].此外,由于大部分超材料都是由不具備調控功能的機械結構組成,低頻帶隙不易調控,導致超材料的應用潛力下降.因此,發展低頻帶隙優化與調控方法,對推進超材料的研究具有重要意義.

2.1 低頻彈性波帶隙拓寬與彈性波衰減性能優化

將低頻范圍內的單個帶隙拓寬以及在低頻范圍內開啟多個帶隙是在低頻范圍內獲得超寬彈性波帶隙的兩種主要方法.就局域共振型超材料而言,其帶隙結構與超材料元胞內局域振子的固有頻率相關.因此,創新設計局域振子結構或增加局域振子的自由度,均可以拓寬低頻帶隙寬度.目前,設計多自由度局域振子[109-113]、在局域振子中引入慣容器[114-118]、在不同元胞的局域振子間建立耦合[119-123]以及通過依次改變質量或剛度的方式建立梯度局域振子[124-126]是拓寬低頻彈性波帶隙的主要方式.當在局域振子中加入慣容器時,局域振子的等效質量可以表示為[115]

式中,mst與m2分別表示元胞的質量與局域振子的質量;J表示慣容系數.在局域振子中加入慣容器可以明顯擴大等效質量小于0 的頻率區間,即低頻帶隙寬度增加.

當增加局域振子的自由度時,超材料的傳遞率曲線在低頻區域內出現了多個衰減峰值,即超材料在多個頻率區域內開啟了帶隙結構,在更大的頻率范圍內對作用于超材料上的彈性波起到了衰減作用[127].此外,增加局域共振超材料中局域共振子的個數[128]以及在超材料中引入阻尼[129]也可以拓寬低頻范圍內帶隙的寬度.

對超材料低頻帶隙進行優化的第二個方面為增強超材料在低頻范圍內對彈性波的衰減效果.目前,增強超材料帶隙內彈性波的衰減性能以及削弱超材料通帶頻率區域的彈性波共振峰值是兩種優化超材料彈性波衰減性能的主要方法.就增強超材料帶隙范圍內彈性波衰減效果而言,增大局域振子質量塊的質量[92]和局域振子數量[100]是兩種潛在的途徑.然而,超材料在低頻區域內所形成的帶隙頻率范圍較低頻區域內的通帶頻率范圍較小,也就是說,對一般超材料而言,通帶頻率區域在低頻區域的占比較大[130].此外,當彈性波頻率處于通帶內時,彈性波響應幅值被放大,不利于彈性波控制.因此,對通帶內的彈性波傳遞性能進行優化(削減峰值),能夠有效提升超材料在低頻范圍內整體的彈性波衰減性能.

研究發現,將傳統局域振子中的線性彈簧更換為非線性彈簧所構成的非線性超材料,能夠產生橋接耦合現象[131].具體來說,該類非線性超材料能夠衰減帶隙頻率范圍外通帶區域內的彈性波傳遞幅值,這樣的通帶區域被稱為混沌帶隙[21,132-135].顯然,混沌帶隙的提出,為利用超材料在超寬頻率范圍操控彈性波提供了潛在途徑,具有較為重要的工程應用價值.然而,截止到目前,由非線性超材料橋接耦合效應誘發的混沌帶隙與外激勵幅值相關,限制了該類超材料的工程應用.為打破橋接耦合效應受外激勵幅值的限制,研究學者通過雙級諧振線性超材料也成功實現了橋接耦合效應,在寬頻帶內實現了對彈性波的控制[136].

2.2 低頻帶隙調控方法

局域共振型超材料的帶隙頻率與局域振子的固有頻率相關,而固有頻率屬于局域振子的固有屬性,取決于慣性屬性(質量、轉動慣量)與剛度屬性(垂向剛度、扭轉剛度)[88].因此,局域共振型低頻帶隙的調控方法主要包括基于局域共振子慣性的調控方法與基于局域共振子剛度的調控方法等兩種.

目前,在局域振子中引入慣性放大機構以及通過主動調控局域振子的質量是改變局域振子慣性屬性來調控局域共振低頻帶隙的兩種主要方法.慣性放大機構能夠產生慣性放大效應,能夠通過小質量產生較大慣性力[137].以彈簧-質量系統分析慣性放大機構,獲得慣性放大機構的等效質量為[138]

式中,m和ma分別表示主結構質量和慣性放大機構的質量; θ 表示慣性放大機構的剛性連接桿與主結構之間的夾角.顯然,當夾角θ∈(0,π/4) 時,引進慣性放大機構的機械系統的等效質量大于系統中質量塊的質量之和,換句話說,該機械系統的慣性力通過機械結構被放大了.

將如圖7 所示的由慣性放大機構組成的元胞進行周期性排布,獲得了慣性放大超材料[139-141].在系統反共振頻率周圍,慣性放大機構產生的慣性力能夠抵消主系統的彈性力,所以慣性放大機構能夠在低頻范圍內開啟彈性波帶隙結構[142].更為重要的是,通過改變慣性放大機構的幾何參數,能夠在較大范圍內對系統的慣性力進行調節,這為調控超材料的帶隙位置提供了潛在途徑.

慣性放大機構除單獨構成元胞以形成超材料外,還能夠同準零剛度局域振子進行結合以形成具有慣性放大效應的準零剛度局域振子,其示意圖如圖7(b)-I 所示.將慣性放大準零剛度局域振子周期性地安裝在薄梁上形成超材料梁,開啟的彈性波帶隙結構如圖7(b)-II 所示.顯然,引入具有小質量塊的慣性放大機構能夠明顯降低彈性波帶隙的頻率[95].

圖7 慣性放大機構示意圖及其帶隙結構[95,138-141]Fig.7 Schematic diagrams of inertial amplification and corresponding band structure[95,138-141]

盡管由慣性放大機構構成超材料或者在局域振子中引入慣性放大機構能夠降低和調節彈性波帶隙頻率,但是大部分慣性放大機構仍屬于被動機械結構,不便于對低頻帶隙進行主動或半主動調控.目前,通過主動/半主動方式改變局域振子質量以調控帶隙的研究,主要集中在如何快速在基體和局域共振子中轉移部分質量.而電磁鐵和泵是兩種實現質量轉移的主要方式.詳細來講,當有電流通過電磁鐵時,連接基體板的兩塊電磁鐵相互粘連.當關閉電源后,電磁鐵中沒有電流通過,相互粘連的電磁鐵脫開,達到改變局域振子質量的目的[143].將超材料基體和局域振子設計成空腔,并在空腔內填充部分液體.使用泵實現液體在局域振子空腔和基體空腔之間的切換,也可以實現局域振子質量的半主動調控[143].

通過主動/半主動或者被動的方式,調節超材料局域振子的剛度,也能夠對低頻彈性波帶隙進行調控.目前,通過被動方式調節局域振子剛度的途徑主要包括在局域振子中引入負剛度機構以抵消局域振子彈性元件的剛度值[144]、鏤空超材料基體以減小局域振子剛度[84]以及調節局域振子結構的壓縮量[103]等.研究結果顯示,通過被動調節局域振子剛度的方式能夠降低超材料的彈性波帶隙頻率,有利于在低頻范圍內開啟帶隙結構.但是,當被動局域振子設計完成后,其結構難以更改,局域振子剛度難以調節,不便于超材料低頻帶隙的快速調控.

通過調節局域振子剛度的方式調控超材料低頻帶隙的第二種方法為構造主動/半主動型超材料.幾種典型的主動/半主動超材料結構示意圖如圖8 所示.按照控制變量對主動/半主動型超材料進行分類,可以分為電控類超材料[14,145-150]、氣壓控制類超材料[151-152]以及溫控類超材料[153-156].常見的電控變量主要包括電壓、電流、電阻以及電感.通常,壓電材料、電磁機構以及磁流變彈性體是超材料執行電控變量以控制局域振子剛度的主要執行元器件.詳細來講,當在壓電材料或磁流變彈性體上作用電場后,壓電材料因逆壓電效應產生變形,而磁流變彈性體的彈性模量發生變化,實現對超材料帶隙結構的調控[14,157-158].而對于電磁機構而言,其基本原理為通過電磁感應原理將電能轉化為機械能,并輔以合適的機械結構實現對局域振子剛度的調節[130].需要指出的是,如圖8(a)所示的壓電材料也是構造智能超材料的主要元器件,其力學性能可以通過調節電控變量進行顯著調節.

圖8 基于局域振子剛度調控低頻帶隙的超材料[14,151,153]Fig.8 Metamaterials capable of opening tunable band structure which adjusted by resonator stiffness[14,151,153]

如圖8(b)所示,當使用氣壓作為控制變量對超材料的低頻彈性波帶隙進行調控時,其執行元件為氣囊.當氣囊內氣壓增加時,氣囊剛度變大,局域振子固有頻率增加,超材料帶隙向高頻范圍移動.相反,當氣囊內氣壓減小時,氣囊剛度變小,超材料彈性波帶隙向低頻范圍移動[152].溫控超材料的執行元器件主要為形狀記憶合金,其示意圖如圖8(c)所示.通過形狀記憶合金調控超材料低頻彈性波帶隙的基本原理為當加載在形狀記憶合金上的溫度發生變化時,形狀記憶合金的組織發生馬氏體相與奧氏體相之間的相互轉化.此時,形狀記憶合金的彈性模量可以表示為[153]

式中,ζ 表示形狀記憶合金中馬氏體所占比例,其值與馬氏體相變開始溫度、馬氏體相變截止溫度、奧氏體相變開始溫度、奧氏體相變截止溫度以及加載在形狀記憶合金上的溫度等參數相關;EA與EM分別表示形狀記憶合金完全由奧氏體以及完全由馬氏體組成時的彈性模量.顯然,當加載在形狀記憶合金上的溫度發生變化時,形狀記憶合金的彈性模量發生變化,導致由形狀記憶合金構成的局域振子的剛度發生變化,進而對超材料的低頻彈性波進行調控.

3 低頻帶隙超材料的潛在應用

當彈性波在超材料結構中傳播時,彈性波與基體/散射體或局域共振單元相互作用,超材料開啟彈性波帶隙,處于帶隙范圍內的彈性波傳播受到抑制[159].目前,超材料已經被用于輸流管道的流致振動抑制[160-161]、艦船動力設備與輔助設備產生的低頻機械減振[93,162]、太陽能電池板低頻減振[163]、汽車低頻減振[164-165]以及蜂巢類輕質結構低頻抑振[166]等.研究結果顯示,工程結構中振動傳播的幅值衰減超過20 dB,有效減小了振動對工程結構的影響.

局域振子的反共振效應是局域共振型超材料產生帶隙的本質原因.當作用在超材料上的彈性波的頻率處在帶隙內,即外激勵頻率接近局域振子的固有頻率時,局域振子動力學響應較大,超材料能夠對機械能量進行俘獲[167].使用超材料俘獲振動能量的兩種典型結構如圖9(b)所示.目前,摩擦納米發電機[168]、電磁發電機[169]以及壓電材料[86]是同超材料相結合以俘獲振動能量的主要能量轉化機構.研究結果顯示,將超材料與俘能材料/結構相結合以構成俘能超材料,能夠俘獲頻率在100 Hz 附近的振動能量,且輸出電壓可以達到10 V 以上.

圖9 超材料的部分應用[83,93,168-169,175]Fig.9 The application of metamaterials[83,93,168-169,175]

超材料除可以用于振動抑制和振動能量俘獲以外,還可以執行邏輯運算以實現信息處理[83].一般而言,力學超材料中具有兩種不同幾何形狀的元胞可以用來表示二進制狀態0 和1.改變元胞間的相互作用,力學超材料可以實現不同的邏輯門和信號傳輸[170].目前,可用于構造力學邏輯超材料的元胞形式包括螺旋彈簧[83]、雙穩態彈性結構[171]、導電聚合物[172]以及屈曲梁[170]等.無論構成邏輯超材料的結構形式如何,已經提出的超材料都能夠實現基本的邏輯運算,并為實現軟體機器人的相關機械邏輯奠定了理論基礎.需要指出的是,超材料還有諸如構造波導器件[173]、實現聲學黑洞[174]等眾多應用.

4 結論與展望

超材料的提出,引發了包括信息技術、國防工業、新能源技術以及細微加工等諸多領域的重大變革.帶隙是超材料的關鍵特征之一,被廣泛用于彈性波操控與利用.超材料帶隙結構與超材料的晶格常數、基體與散射體材料屬性以及局域振子屬性相關,如何利用小尺度超材料在低頻范圍內開啟帶隙結構是擴大超材料在低頻彈性波操控與利用領域的關鍵科學問題之一.本文在簡要介紹超材料的帶隙開啟機理與影響因素后,詳細總結了能夠在100 Hz附近頻率區域開啟帶隙的布拉格散射型超材料、傳統局域共振型超材料以及準零剛度超材料,并厘清了低頻彈性波帶隙頻率與超材料參數之間的關系.低頻彈性波帶隙的優化策略和調控方法也在本文中進行了詳細闡述.最后,從低頻振動控制方法、低頻振動能量俘獲以及邏輯運算等三個方面分析了超材料的潛在應用.隨著對超材料研究的深入,低頻超材料的研究將逐步完善,并在多個領域實現工程應用.

低頻彈性波超材料是近十年來關于超材料研究的新方向,目前已經在結構設計、數學模型建立以及潛在應用等方面取得了豐碩的研究成果.但是,低頻超材料距離工程應用還存在諸如承載能力小、結構不夠緊湊、非線性模型難以建立與求解等多方面的不足.因此,低頻超材料的發展還面臨如下挑戰.

(1)結構化低剛度且具有承載能力的局域振子的創新設計.傳統局域振子存在承載能力與低剛度之間的矛盾,難以開啟低頻帶隙.準零剛度超材料為設計具有承載能力的低頻帶隙超材料提供了契機.但是,目前大部分準零剛度局域振子由機械結構組成,結構復雜、尺寸較大、自重較重,難以構造緊湊輕質的超材料.因此,基于拓撲優化方法,創新設計具有承載能力的結構化小剛度局域振子,是低頻超材料進一步發展的關鍵.

(2)非線性超材料的數學建模與分析方法.傳統局域振子由線性/準線性彈性元件提供回復力,其回復力-位移關系表達式較為簡單,可使用傳遞矩陣法和平面波展開方法等推導超材料的色散關系,獲得其帶隙結構.但是,真實局域振子中存在諸如間隙、碰撞、干摩擦、材料彈塑性、結構大變形、幾何非線性等非線性因素.如何對含有非線性的超材料進行數學建模,并求解超材料的高維非線性方程,是設計超材料并評估其性能的核心問題.

(3)低頻彈性波帶隙結構的優化與主動調控.對局域共振帶隙而言,其帶隙寬度隨帶隙頻率的下降而變窄,帶隙內超材料對彈性波的衰減效果減弱.此外,目前對低頻彈性波帶隙的主動調控方法較少,難以在低頻范圍內對彈性波帶隙進行大范圍的主動調控.因此,拓寬低頻帶隙寬度,強化帶隙內彈性波衰減效果以及對低頻帶隙位置進行主動調控是拓展超材料在振動抑制方面應用的另一關鍵性問題.