基于逆有限元法的形狀還原傳感陣列及橋梁撓度監測試驗

雷雨恒，任 亮，李宏男，尤潤州，魏易博

(大連理工大學建設工程學部，遼寧，大連，116024)

橋梁工程是交通互通互聯的關鍵節點和樞紐工程，同時是國民經濟發展和社會生活安全的重要保障。在橋梁工程保有量方面，我國已經是世界第一的橋梁大國，公路橋梁數量達80 余萬座，全國橋梁總數達100 余萬座，且在世界排名前十位的各類橋梁中，我國均占1/2 以上[1-3]。隨著橋梁建設的高速發展，橋梁坍塌事故時有發生，且事故發生頻率總體上呈上升趨勢[4]。橋梁結構在車輛等荷載作用、雨雪等自然因素的影響下，在長期服役期間不可避免地發生損傷與破壞[5-7]。而由上述原因引起的撓度直接反映了橋梁結構的剛度，橋梁撓度是從設計階段到運維階段的重要控制指標，當變形量超過其自身撓度容許范圍，橋梁必然發生倒塌事故，故對橋梁工程進行撓度監測是必要的。

目前常見的橋梁結構撓度監測方法主要分為人工測量與自動測量。人工測量法主要包括水準測量法、全站儀三角高程法與連通管撓度監測法。人工測量法雖然能節省費用，但存在費時費力、使用不便、實時測量比較困難等不足之處，其中連通管法還存在液體響應速度慢，變形監測滯后的問題。自動測量主要包括傾角儀法、加速度計法、近景攝影測量技術、GPS 技術、激光準直感光法、撓度儀法等。傾角儀法易造成測量誤差積累，需對誤差做合理分配與處理，加速度積分法受到積分初值與誤差的制約。近景攝影測量技術雖然精度較高，但價格比較昂貴，監測過程較為復雜，而GPS 技術精度較低，激光準直感光法又容易受到氣流影響，撓度儀法則不能得到各點撓度變化曲線。綜上，常用測量方法均存在不足之處：或是不能實現實時監測；或是成本過高，精度低；或是維護困難、不適合長期使用，安裝條件苛刻、實用性存在問題；或是易受環境影響穩定性能差[8-15]。

“形狀傳感”是利用離散應變數據對變形形狀進行實時重構，依賴于應變數據，可以連續測量靜態和動態響應，根據靜態和運動方程提出各種算法，以獲得更高的精度和更快的運行效率[16]。JINEESH 等[17]利用振型推導出應變-位移轉換矩陣，由實測的離散應變數據重構結構的整體位移。KIM 等[18]將基于模態方法的位移-應變關系應用于梁模型，實現葉片結構的動態變形監測。張合生[19]通過優化布局的FBG 傳感網絡獲取結構形態變化信息，然后，基于結構形態擬合重構方法實現板狀結構的形態實時感知與重構。上述方法對靜態、動態荷載作用下復雜結構的全域形狀重構中不具有優勢，且需要一定的材料或荷載信息還原結構變形。TESSLER 和SPANGLER[20]提出一種用于工程結構位移監測的逆有限元法(iFEM)，通過最小化加權最小二乘函數，應用實測表面應變重建結構變形，并基于Mindlin 理論開發了一種新的三節點逆殼單元。隨后，逆有限元法主要因為如下優勢：① 可以僅通過有限點的應變快速、實時進行全域應變場重構，從而得到結構位移；② 僅基于應變-位移關系，不涉及力學平衡；③ 不需要材料信息，近些年來逐漸被應用于結構變形監測中[21-23]。

逆有限元法在橋梁變形監測的應用中存在一些問題：橋梁結構所用材料屬性一般難以滿足連續、均勻、各向同性；橋梁結構幾何尺寸的改變難以實時準確地反應在逆有限元模型中。本文基于逆有限元方法提出了可以實時、高效地利用實測應變數據還原待測結構位移的形狀還原傳感陣列，解決了上述應用問題，并實現了將其應用于土木工程領域中的橋梁撓度監測，具有廣闊的工程應用前景。

1 形狀還原傳感陣列

1.1 形狀還原傳感陣列概述

形狀還原傳感陣列由鋼梁、固定支座、固定鉸支座構成，將鋼梁一端固接，每隔一定距離(一跨)布設固定鉸支座，實現對鋼梁垂直約束的同時不限制其產生轉角。將鋼梁每一跨視作一個傳感單元，在每個傳感單元上布設一定數量傳感器，用以實測應變數據。將固定鉸支座與待測結構固接，待測結構產生的變形即可視為與形狀還原傳感陣列發生的變形一致，通過還原傳感陣列變形即可進而達到還原待測結構變形目的。在實際橋梁工程中，可將固定支座固接于橋墩或蓋梁位置，將固定鉸支座每隔一定距離固接于橋梁梁板，達到監測橋梁撓度目的。

單元長度的選取和每個單元中應變傳感器的數量是影響逆有限元方法準確性和魯棒性的重要因素。跨長(即單元長度)L越小，且每個跨長L上安裝傳感器數量越多(即獲得更多應變數據)的情況下，算法還原精度越高；而且，當L長度增加時，可以通過增加傳感器數量，來保證還原精度，但監測成本也會隨之增加。本文綜合考慮精度需求、監測條件和測量環境，試驗采用的形狀還原傳感陣列設計為6 跨，跨長L為1 m，每個單元配置2 個傳感器，每跨上分別距離支座兩側L/6 處為應變測點，采用應變片作為應變傳感器。將靠近固定支座處的固定鉸支座命名為1 號支座，由近及遠命名為2 號～6 號支座。設計圖如圖1所示。

1.2 逆有限元法基本原理

形狀還原傳感陣列的每個傳感單元采用簡單有效的用于梁式結構二維變形監測的新型二節點逆梁單元iBeam3[24]。該單元的逆有限元公式推導基于Euler-Bernoulli 梁拉彎理論中考慮截面應變的最小二乘變分原理，由于公式中只使用了應變-位移關系，iBeam3 單元能夠在沒有任何材料或荷載信息的情況下重建結構變形形狀。此外，由于經典梁理論的平截面假設，該單元只需兩端節點即可實現橫向位移的3 次插值。

如圖2 所示，各向同性直梁單元每個節點有3 個位移自由度，厚度均勻2h，表面至中性層厚度為h，單元長度為L。(x，y，z)為局部坐標系，(X，Y，Z)為整體坐標系。局部坐標系的原點位于單元端點。

基于經典梁理論和有限元理論，iBeam3 單元的位移場定義為：

節 點 自 由度 包 括ui、vi、φi，ui和vi為 沿x軸與y軸的平動自由度，φi為繞z軸的轉動自由度，Ni為經典梁單元形函數。由小變形假設，軸向應變 ε 與 曲率k如下：

等式中所示的平方范數基于歐幾里德范數定義為：

綜上，采用逆有限元法進行形狀還原時，首先將結構求解域離散化為若干個逆單元，在單元內部建立求解矩陣方程，最后經過總體系統集成，實現結構變形求解。

1.3 有限元模擬驗證

以圖1 所示形狀還原傳感陣列為算例，在有限元分析軟件ANSYS 中對其進行模擬分析，將每一跨劃分為3 個單元(逆有限元分析中每一跨劃分為1 個單元)，建模采用Beam188 單元，一端固接，將固接端位置記為0，在2 號和4 號支座位置(即形狀還原傳感陣列2000 mm 和4000 mm處)進行5 mm 位移控制加載，如圖3 所示。

加載后通過有限元模擬得到的圖1 中的各傳感單元兩個測點(分別距離支座兩側L/6 處)的應變值如表1 所示，將其代入上述算法，得到還原結果，驗證形狀還原傳感陣列有效性。

表1 各個測點應變值Table 1 Strain of measuring point

固定支座與1 號～6 號固定鉸支座處還原得到的位移結果與ANSYS 的數值模擬結果如表2所示。

表2 結果對比Table 2 Comparison of results

對比還原結果與模擬結果可知，在發生位移節點處相對誤差最大為2.78%，形狀還原傳感陣列能夠準確獲得節點位移向量。經過插值計算后還原結果如圖4 所示，僅通過有限測點的應變值即可還原得到其全域位移值，還原得到的全域位移值與ANSYS 模擬結果最大相差0.296 mm，形狀還原傳感陣列能夠有效還原被測結構位移場。

2 橋梁模型試驗研究

2.1 橋梁基本情況

本次試驗采用的橋梁模型原橋為大連市莊河建設大街東橋，該橋為混凝土自錨式懸索橋，跨徑布置為70 m+200 m+70 m=340 m，橋面寬27 m，主梁為鋼筋混凝土箱梁。

橋梁模型為混凝土自錨式懸索橋，模型圖如圖5 所示，主梁采用實體斷面，梁寬764 mm、高89 mm，沿橋梁模型橫向方向，兩側設懸臂梁。橋塔為門式結構，設上、下橫梁。橋梁兩端為橋臺。主纜和吊索采用鋼絲繩制作。橋塔及橋臺處支座采用5 mm 厚橡膠板。

實拍圖如圖6 所示，由近及遠分別為橋梁模型主梁第一跨、第二跨、第三跨，設計為跨徑組合2.5 m+7.14 m+2.5 m=12.14 m，本文所開展的試驗研究均在橋梁模型小變形范圍內進行。

2.2 裝置布設

形狀還原傳感陣列設計如圖1 所示，共布設6 m，鋼梁選用截面尺寸為30 mm×3 mm 矩形彈簧鋼板，沿橋梁模型主梁縱向方向布設于主梁第二跨底部，固定支座通過建筑結構膠與地面連接，固定鉸支座通過建筑結構膠附著于橋梁模型主梁第二跨底部。6 號支座位于橋塔側，此處撓度值為0，但轉角值不為0°。

裝置具體布設位置如下：在橋梁模型主梁橫向方向上，裝置中的鋼梁外邊緣距離主梁第二跨外邊緣80 mm。在橋梁模型主梁縱向方向上，3 號支座位于橋梁模型主梁第二跨跨中，即1 號～6 號支座分別距離橋塔底部基礎內側邊緣1336 mm、2336 mm、3336 mm、4336 mm、5336 mm、6336 mm。裝置布設圖如圖7 所示，實拍圖如圖8 所示。

2.3 靜態試驗

在2 號～4 號支座處橋梁模型主梁上部放置鋼板實現加載，如圖9 所示。采用水準儀對橋梁撓度進行測量，如圖10 所示，加載前后分別在1 號～5 號支座處的橋梁模型主梁上部垂直放置水準尺，實測橋梁撓度變化。將形狀還原傳感陣列還原得到的橋梁撓曲線與水準儀實測結果進行對比分析。

形狀還原傳感陣列還原得到的橋梁撓曲線如圖11 所示，其中負號代表向下方向。由圖中可以看出，在加載過后，橋梁模型主梁呈現跨中撓度大、兩側撓度小的趨勢，與實際相符，說明撓曲線還原準確，形狀還原傳感陣列可以在靜態加載條件下還原出橋梁撓曲線，在實際使用中效果良好。

各工況還原結果與實測撓度相比，最大相差0.82 mm，最小相差僅為0.012 mm，平均相差0.261 mm，吻合程度較好。

為驗證還原結果準確性與精度，在橋梁模型主梁上部跨中位置放置鋼板實現加載，分別在1 號～5 號支座下方設立激光位移計，如圖12 所示。形狀還原傳感陣列還原撓度與激光位移計測得數據結果如圖13 所示。

由形狀還原傳感陣列還原撓度與激光位移計測量所得撓度對比分析可知，兩者相差均在0.8 mm以內，且最小僅相差0.115 mm。

2.4 動態試驗

動態加載采用如圖14 所示的小車上放置鋼板方式。首先將載有鋼板的小車放于橋梁模型主梁第二跨的1 號支座上方附近，而后在橋旁控制小車從起點由固定支座向固定鉸支座方向運動，運動到橋梁模型主梁第三跨，最后小車由第三跨返回到橋梁模型主梁第二跨的運動起點。撓度測量方式為在橋梁模型主梁第二跨跨中支座下部布設激光位移計，并將還原結果與其進行對比分析。

動態加載后，形狀還原傳感陣列撓度還原如圖15 所示，由激光位移計測量跨中撓度與形狀還原傳感陣列還原得到的撓度吻合程度較好，由圖中可以清晰看出小車靜止后從起點出發，由遠及近駛向測量點過程中，撓度逐漸增大，小車遠離測量點過程中，撓度逐漸減小。當小車運動到橋梁模型主梁第三跨時，橋梁模型主梁第二跨出現向上位移。隨后小車在返回起點過程中，橋梁模型主梁第二跨跨中撓度變化趨勢與上述過程大致相同，最后當小車運動回起點時橋梁模型主梁第二跨跨中撓度基本穩定為0，與實際情況相符。

3 結論

本文提出一種形狀還原傳感陣列用以監測橋梁撓度，該傳感陣列基于逆有限元法，比起常用的橋梁撓度監測方法，其易于安裝，可以實時還原出橋梁撓曲線，且準確性良好。本文將形狀還原傳感陣列應用于混凝土自錨式懸索橋梁模型，并對橋梁模型進行靜態試驗與動態試驗。還原得到撓曲線結果與水準儀讀數最大相差0.82 mm，最小僅相差0.012 mm，平均相差0.261 mm，還原得到的撓曲線符合橋梁模型主梁撓度變化規律。采用激光位移計驗證還原撓度準確性，兩者相差0.8 mm 以內，且最小僅相差0.115 mm。動態試驗還原得到結果與激光位移計測得結果吻合程度良好，該傳感陣列可以準確、及時地還原出橋梁模型結構撓度變化。

綜上，本文所提出的形狀還原傳感陣列對于橋梁撓度的監測具有易于安裝、數據準確、實時性好的優點，僅通過有限點的實測應變數據，即可實時、準確地還原出橋梁撓曲線，從而有效評估橋梁性能，對橋梁撓度監測具有重要意義。