基于Abel逆變換的顏色法測量火焰當量比的研究

伍文霞，傅鈺雯，舒 文，楊健晟

（1 貴州大學 電氣工程學院，貴陽 550025；2 貴州交通職業(yè)技術學院 物流工程系，貴陽 551400）

0 引言

為了應對溫室效應，2020年國家首次提出了“2030碳達峰，2060碳中和”目標。據(jù)統(tǒng)計，目前在國內(nèi)的能源供給中，仍有超過80%來自化石燃料燃燒。如何提高燃燒效率，減少污染排放，一直以來都是國內(nèi)為實現(xiàn)“雙碳”目標而迫切需要解決的熱點關注問題之一。

由于火焰圖像是三維空間的火焰化學發(fā)光在二維圖像平面的投影，火焰投影的邊緣區(qū)域由于火焰輻射的疊加導致火焰邊緣明顯比火焰中心區(qū)域要亮很多，如圖1所示。這由火焰化學發(fā)光疊加產(chǎn)生的顏色厚度無疑會對基于機器視覺的測量方法造成影響。研究表明，Abel逆變換能有效地通過柱對稱對象的二維投影來反向求解出其在三維空間中的密度分布。邵華等人也曾采用Abel逆變換技術對電弧等離子體的溫度場進行了研究，研究表明Abel逆變換對于電弧等離子體溫度場分析有較好的作用。由于本文研究的本生火焰同樣是柱對稱物體，故Abel逆變換方法給消除火焰邊緣顏色厚度提供了可能。王煒豪為研究火焰化學發(fā)光特性，采用Abel逆變換去除火焰鋒面厚度，并論證了Abel逆變換方法應用在火焰上的穩(wěn)定性和準確性。

圖1 丙烷預混火焰示意圖Fig.1 Schematic diagram of propane premixed flame

綜合前文所述，為了有效消除火焰顏色厚度對顏色法測量火焰當量比的影響，本文擬針對基于Abel逆變換方法處理后的顏色法展開測量火焰當量比的研究。

1 實驗平臺

為應對本文研究需要，搭建了實驗平臺，如圖2所示。燃燒平臺主要由空氣壓縮機、碳氫燃料氣瓶、壓力表、氣體流量計、PC機、預混管以及燃燒器構成。通過PC機控制氣體流量計調(diào)節(jié)空氣和碳氫燃料的流量來獲得實驗需要的當量比的預混火焰；成像平臺主要采用WP-030 CMOS微型工業(yè)相機作為成像裝置，為確保采集到更加清晰的圖像數(shù)據(jù)，選用了光圈為F1.4，焦距為15～30 mm的鏡頭，如此就可將成像平臺采集到的數(shù)據(jù)傳輸?shù)絇C機存儲起來。

圖2 實驗平臺結構圖Fig.2 Experimental platform structure diagram

考慮到后續(xù)的研究需要，通過該實驗平臺分別采集了當量比為0.93、0.96、1.0、1.04、1.08、1.13、1.18、1.24、1.3、1.37、1.44、1.53下的丙烷火焰圖片，每一個當量比分別采集了100張火焰圖片作為樣本數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)中有明顯缺陷的數(shù)據(jù)（如某一瞬間有未充分混合的碳氫燃料燃燒導致火焰大面積呈現(xiàn)紅黃色或者受到外界干擾導致火焰形狀不對稱）剔除掉，接著在每個當量比的樣本數(shù)據(jù)中隨機選擇20張圖片、共計240張圖片作為此次實驗的實驗數(shù)據(jù)。

與此同時，還采集了當量比為0.93、0.96、1.0、1.04、1.08、1.13、1.18、1.24、1.3、1.37、1.44、1.53的甲烷火焰圖片。與丙烷火焰類似，也是選擇了共計240張圖片作為此次實驗的實驗數(shù)據(jù)。

2 實驗方法

本實驗的流程如圖3所示。由圖3可見，首先對圖像數(shù)據(jù)進行處理以獲取完整的預混火焰區(qū)域。分析可知，在部分火焰圖像數(shù)據(jù)中火焰頂端混有紅色的擴散火焰，且由于在HSV顏色模型下紅黃色與藍色分布較遠，因此可采用DFCD（Digital Flame Colour Distribution）技術對層進行閾值分割處理以將藍色的預混火焰和部分未完全燃燒引起的紅黃色擴散火焰進行圖像分割，通過該操作獲得一張紅黃色區(qū)域為0、其余區(qū)域為1的二值圖像。同時，為了消除在數(shù)據(jù)采集過程中的噪聲影響，對圖像進行了濾波以及閾值分割處理，通過該操作獲得一張火焰主體部分為1、其余部分為0的二值圖像。將這2張二值圖像分別與原圖的圖層與圖層進行點乘運算得到處理后的圖像。

圖3 實驗流程框圖Fig.3 Experimental process block diagram

3 Abel變換與逆變換

對于一個柱對稱物體，其橫截面如圖4所示。

圖4 橫截面示意圖Fig.4 Schematic diagram of cross section

該截面圓的半徑記為，其密度函數(shù)記為（），這里的是截面圓上點到圓心的距離。當一條距離圓心為的弦穿過該截面射到投影面時，其投影函數(shù)（）是其密度函數(shù)（）在該路徑的線積分。由于該物體為軸對稱物體，故推導得到的公式為：

式（3）為Abel正向變換公式，將其應用在火焰上時，（）為火焰三維空間的亮度函數(shù)，（）為圖像傳感器采集到的二維圖像的像素值。根據(jù)公式（3）可得到理論Abel反演公式：

理論上，通過式（4）可以將火焰圖像反演計算出其在三維空間的亮度分布，即獲得了火焰的切片。但是，不能直接通過該公式進行數(shù)值求解，因為表示一個奇點，此時分母趨近于零，被積函數(shù)趨于無窮大。而對于火焰圖像來說，其邊緣區(qū)域，即趨近于處的信息是最值得關注的，故直接通過該公式進行求解對結果的影響過大，并不值得考慮。

有許多學者對Abel逆變換的解法進行了研究，但是這些不同方法對輸入數(shù)據(jù)的大小和格式的要求常常相互沖突，且通常采用的是不同的編程語言，有些解法甚至只能運行在特定的平臺上，這就使得不同算法間的比較變得十分困難。最近，Daniel等人結合不同算法將其通過Python實現(xiàn)，這也使得Abel逆變換的不同解法的對比變得方便起來，且由于現(xiàn)在市面上許多硬件都做到了兼容Python語言，就使得該方法應用到工業(yè)領域成為可能。理論上，Abel逆變換應用對象必須是柱對稱物體，根據(jù)對本生火焰的研究可以得知，本生火焰從理論上來說是柱對稱物體，這滿足Abel逆變換的使用要求。

本節(jié)選取了一張0.93當量比的丙烷火焰作為實驗對象，分別對其、、三個圖層進行Abel逆變換處理，并取原圖對應圖層的左半邊與處理后的圖層的右半邊拼接在一起，在對其做歸一化處理后展示出來。研究可得0.93當量比的丙烷火焰原圖、圖層、圖層以及圖層Abel逆變換處理后與處理前的圖像對比，如圖5所示。

圖5 Abel逆變換處理對比圖Fig.5 Abel inverse transform processing comparison chart

4 實驗結果

4.1 丙烷火焰實驗結果

通過Anaconda3平臺實現(xiàn)以上建模過程，分別對丙烷整體火焰、丙烷火焰中心區(qū)域、Abel逆變換處理后的丙烷火焰、甲烷整體火焰、甲烷火焰中心區(qū)域以及Abel逆變換處理后的甲烷火焰的建模結果進行對比、并繪制成圖，如圖6所示。

圖6 丙烷、甲烷B／G值-當量比模型對比圖Fig.6 Comparison chart of B／G value-equivalent ratio model of propane and methane

圖6中，橫坐標表示當量比，縱坐標表示的值，實心圓形標記表示對丙烷整體火焰建模得到的結果，實心三角形標記表示對丙烷火焰中心區(qū)域建模得到的結果，實心正方形標記表示丙烷火焰經(jīng)過Abel逆變換處理后進行建模得到的結果，空心圓表示對甲烷整體火焰建模得到的結果，空心三角形表示對甲烷火焰中心區(qū)域建模得到的結果，空心正方形表示甲烷火焰經(jīng)過Abel逆變換處理后進行建模得到的結果。

針對丙烷火焰，通過對比整體火焰與Abel逆變換的結果可以發(fā)現(xiàn)，Abel逆變換仍符合原趨勢，即經(jīng)過Abel逆變換前后的都隨著當量比的增大而減小，但從的數(shù)值角度分析可以發(fā)現(xiàn)，在同一個當量比下，Abel逆變換處理后的值普遍比未經(jīng)過Abel逆變換處理的值小，也就是說對于Abel逆變換處理后的圖層的亮度值變小的程度要比圖層大。

對比整體火焰和火焰中心區(qū)域可以發(fā)現(xiàn)，在當量比接近1.5的情況下，只截取中心部分的的值要比選取火焰整體的的值要小，也就是說，在當量比較高的情況下，火焰邊緣的厚度對當量比模型的構建影響比較大，此時的值隨當量比變化趨于平緩，不利于通過該模型對當量比進行軟測量。而當量比較小的情況下，火焰邊緣的厚度對結果影響較小。

對比火焰中心區(qū)域和Abel逆變換的結果可以發(fā)現(xiàn)，在當量比超過1.3的情況下，2組實驗的的值是比較接近的，也就是通過Abel逆變換去除厚度后的結果與中心部分的結果是接近的。綜上所述，針對丙烷火焰，由于火焰建模結果整體線性趨勢較好，Abel逆變換處理雖然起到了一定的改善作用，但考慮到Abel算法的復雜性，這樣的改善卻會得不償失。但從結果分析，Abel逆變換對于預混火焰的應用是有效的。

4.2 甲烷火焰實驗結果

由于相對于丙烷火焰，甲烷火焰的值變化不明顯，為了進一步研究Abel逆變換對于甲烷火焰的作用，本文將其單獨列出來進行分析說明。其建模結果如圖7所示。

圖7 甲烷B／G值-當量比模型結果圖Fig.7 Methane B／G value-equivalent ratio model result graph

通過結果可以發(fā)現(xiàn)，未經(jīng)過Abel逆變換處理的甲烷火焰的值隨當量比的變化并不明顯，并且在當量比在0.93～1.18范圍內(nèi)火焰整體以及火焰中心的建模結果顯示值隨當量比變化呈上升趨勢，隨后則呈下降趨勢，這就導致在利用該模型進行軟測量過程中同一個值可能對應2個不同的當量比，這無疑會給實際測量帶來極大的誤差；而經(jīng)過Abel逆變換處理后的曲線線性程度有了明顯提升，且在整體上呈下降趨勢，確保每一個值都只對應一個當量比，故而大大提升了模型測量的準確度，同時也證明了針對甲烷火焰，Abel逆變換對于構建火焰當量比模型有顯著效果。

4.3 不同Abel逆變換算法結果比較

研究至此，分析后可以得知，Abel逆變換對于甲烷火焰的值-當量比模型具有顯著效果，但對于不同的Abel逆變換算法在效果上也存在差異性，因此本文還采取了不同的Abel逆變換算法來進行建模并對比其效果。

本文中采取了three point法、direct法、onion bordas法、basex法、hansenlaw法、onion peeling法六種不同算法來進行比較。

具體來說，three point方法主要考慮了3個相鄰像素，提高了平滑函數(shù)的變換精度，是一種快速而穩(wěn)健的變換方法。但相對地，該方法對于轉換一些梯度變化較大、即特征明顯數(shù)據(jù)的能力降低了。direct方法使用簡單的數(shù)值積分，但與基本的Abel逆變換不同的是，當面對積分的奇異性時，該方法通過分段近似求解依然能獲得相當準確的變換，只是卻要求對數(shù)據(jù)進行精細采樣。onion bordas方法是bordas等人的洋蔥去皮法，該方法與onion peeling法理念相似，但是其數(shù)值解法上有較大區(qū)別。basex方法使用了類高斯函數(shù)基組，該方法能有效抑制圖像的噪聲并保留圖像中的精細特征。hansenlaw方法將Abel變換解釋為線性空間變量狀態(tài)變量方程，這是一種可靠且計算效率高的方法。onion peeling方法將核心的Abel逆變換簡化為簡單的矩陣運算，從而實現(xiàn)高效的運算。

不同Abel逆變換算法對比結果如圖8所示。圖8中，從回歸函數(shù)的決定系數(shù)來做分析可知，direct法應用于甲烷火焰的效果最好，three point法與onion bordas法效果相近，略次于direct法，hansenlaw法與basex法的效果依次降低，而onion peeling法的效果最差。分析后還會發(fā)現(xiàn)，basex、hansenlaw以及onion peeling三種方法在當量比為0.93～1.53范圍內(nèi)的值的跨度大約為0.06，three point、direct以及onion bordas三種方法在當量比0.93～1.53范圍內(nèi)的值的跨度大約為0.04。目前研究可知，當?shù)闹档目缍仍酱螅捅砻鳟斄勘鹊淖兓矫黠@，其走勢就越不會趨于平緩。基于此可推得，three point、direct以及onion bordas這3種方法是要優(yōu)于basex、hansenlaw以及onion peeling這3種方法的性能的。綜前所述，可以得到direct方法應用于構建甲烷火焰的值-當量比模型效果最好。

圖8 不同Abel逆變換算法對比圖Fig.8 Comparison chart of different Abel inverse transform algorithms

5 結束語

（1）Abel逆變換應用于火焰是可行的。本文研究結果表明，從丙烷火焰和甲烷火焰的Abel逆變換應用可發(fā)現(xiàn)其結果表現(xiàn)均與理論相符。

（2）對于丙烷火焰，Abel逆變換處理起到一定的改善效果，但其改善效果相比較于Abel逆變換算法的復雜性來說卻會得不償失。

（3）對于甲烷火焰，Abel逆變換作用十分顯著。根據(jù)實驗結果，經(jīng)過Abel逆變換后的當量比模型的決定系數(shù)有了極大提高。

（4）對比甲烷火焰與丙烷火焰結果后可以發(fā)現(xiàn)，針對含碳量較低的燃料，Abel逆變換對于值當量比模型建立的改善效果更好。

（5）通過對比不同算法并綜合評定后發(fā)現(xiàn)Abel逆變換的direct法應用于甲烷火焰的當量比模型效果最好。