基于多目標規(guī)劃和改進模擬退火算法的FAST 拋物面參數(shù)研究

陳志豪，張碩，王和霄

（山東警察學院，山東濟南 250000）

FAST 由主動反射面、饋源艙及其他相關(guān)系統(tǒng)構(gòu)成，其中主動反射面是一個可調(diào)節(jié)平面，主要包含主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動器及支承結(jié)構(gòu)等。主動反射面技術(shù)的關(guān)鍵是把反射面調(diào)整為拋物面，通過下拉索和促動器協(xié)同完成。

首先根據(jù)實際情況分析影響反射面調(diào)節(jié)的因素，利用各因素的限制，找到最合適的理想拋物面。當給定具體操作條件時，計算出調(diào)節(jié)各主索節(jié)點伸縮量，以使各個平面盡量貼近理想拋物面。

為體現(xiàn)饋源倉在不同時間內(nèi)對無線電波的吸收效果，可以用功率對某一接收過程進行衡量。利用各平面間的投影關(guān)系，將需要考慮波的傳播路徑的接收比問題轉(zhuǎn)化成無線電波有效輻射功率問題，對各個反射面單元的功率積分求和，最終從不同頻率和不同時間上描述功率。

1 模型建立和求解

1.1 建立理想拋物面

為簡化模型，將旋轉(zhuǎn)拋物面簡化為旋轉(zhuǎn)前的二維拋物線，用圓弧替代球面。

1.1.1 基于最小絕對偏差的規(guī)劃模型

在實際調(diào)節(jié)主索節(jié)點貼近理想拋物面時，主索節(jié)點的位移量應(yīng)在合理區(qū)間內(nèi)盡量小[1]。為使各節(jié)點的徑向伸縮量被控制在較小水平內(nèi)，優(yōu)化目標使工作拋物面與基態(tài)圓盡可能接近，本文引入最小絕對偏差（LAD）。首先在x軸上以0.5 m 為步長在[-150，150]范圍內(nèi)取點，優(yōu)化目標為工作拋物線與基態(tài)圓弧的z值LAD 最小，公式為：

1.1.2 基于邊緣優(yōu)化策略的規(guī)劃模型

1.1.3 伸縮量與節(jié)點距離變化率的限制

改變主索點位置時，主索會因自身彈性產(chǎn)生一定形變。另外，主索在徑向移動中，兩塊不同反射板之間的夾角也會使主索點間距離改變。相鄰節(jié)點距離變化率不超過0.07%的要求也是調(diào)節(jié)因素之一，約束表示：

式（3）中：lij為拋物線上任意的節(jié)點向量，即cij變位后的節(jié)點向量；lmn為拋物線上與lij相鄰的節(jié)點向量；cij為圓弧上任意的節(jié)點向量；cmn為圓弧上與cij相鄰的節(jié)點向量。

對于節(jié)點徑向伸縮量，限制拋物線上各點與基準圓弧的徑向距離在[-0.6，0.6]內(nèi)，即：

1.1.4 多目標規(guī)劃求解

目標函數(shù)為（1）和（2）兩個，約束條件為（3）和（4）兩個。使用線性加權(quán)和法將多目標規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃問題求解，將（1）和（2）兩個目標權(quán)重均賦值為1/2。

求解得二維拋物線方程為z=0.002x2－302.04，復原為理想拋物面方程為500（z－302.04）=x2+y2。

1.2 改進的模擬退火算法擬合理想拋物面

FAST 通過促動器移動下拉索以控制主節(jié)點的位置，從而形成近似旋轉(zhuǎn)拋物面。由三角反射面板形成的近似拋物面應(yīng)盡可能接近理想拋物面，即反射面板與理想旋轉(zhuǎn)拋物面需有較高的擬合優(yōu)度。因此將由反射面板構(gòu)成的分段函數(shù)與理想拋物面擬合優(yōu)度最高作為優(yōu)化目標，公式為：

擬將所有促動器徑向調(diào)節(jié)距離作為優(yōu)化參量，由于主動反射面共有2 226 個主索節(jié)點，采用線性搜索法、Monte Carlo 模擬法等無法實現(xiàn)對2 226 個參量的優(yōu)化，因此采取模擬退火算法求解。鑒于算法本身限制，在此將部分步驟進行了改進。

為簡化迭代步驟，減少運行時間，在程序編寫過程中對計算機接受新解的邏輯進行優(yōu)化，節(jié)省了大量的運算時間，同時也保證了優(yōu)化結(jié)果相對原結(jié)果在接受的范圍內(nèi)[2]，具體如下：

式（5）為改進后的接受新解概率函數(shù)，使用此函數(shù)可以明顯地簡化代碼結(jié)構(gòu)，將是否符合約束條件和產(chǎn)生結(jié)果最優(yōu)兩種情況直接通過概率等于0 或1 映射出來，能大幅提高運算速度。

改進前后的運行時間對比如表1 所示，可以看出改進前后運算時間有明顯差距，快了約40%。

表1 運行時間對比（單位：s）

改進前后優(yōu)化結(jié)果對比如圖1 所示。從圖1 可以看出，雖然優(yōu)化結(jié)果有一定犧牲，但完全在可接受范圍內(nèi)，權(quán)衡節(jié)省的時間與優(yōu)化結(jié)果后，完全可以接受本優(yōu)化策略。

圖1 改進前后優(yōu)化結(jié)果對比

面對大量參數(shù)時，僅憑模擬退火算法難找到全局最優(yōu)解，而容易陷入局部最優(yōu)。本文的做法是與Monte Carlo 算法結(jié)合，先大量隨機取解，然后比較擬合度，挑出最優(yōu)的參數(shù)組合，將其作為優(yōu)化的初始解，再用模擬退火算法尋優(yōu)。改進后的模擬退火算法流程如圖2 所示。

圖2 改進后模擬退火算法的流程圖

1.3 射電望遠鏡饋源倉的接收比

由于天體與臺址距離甚遠，因此可將信號視為平面波討論。無線電波的電場強度E多平行于地面，可將信號源的無線電信號視為平面極化波。不妨認為無線電波以恒定平均功率持續(xù)輻射一定時間T且入射時無相位差。

針對射電望遠鏡，假設(shè)每個反射板單元均為平面三角形，且其厚度可忽略不計。由于饋源倉相對FAST較小，因此將其視為厚度可忽略的直徑為1 m 的圓面。射電望遠鏡與信號源相距甚遠，可用真空形式的Maxwell 方程組表示其特性，以變換后的坐標系為基準，無線電波于變換后自坐標平面x′Cy′入射，易得出遠離場源電磁波的波動方程：

式（6）中：E和H分別為電場強度和磁場強度的瞬時強度；E0和H0分別為振幅；ω為無線電波的傳播角頻率；u為無線電波的傳播速度（在空氣中近似于真空光速）。

無線電波傳播過程中存在著擴散衰減、反射衰減和折射衰減等衰減方式。假設(shè)認為無線電波在入射FAST 時，總是對瞬時拋物面垂直入射，因此可不考慮折射衰減。對于擴散衰減，有經(jīng)驗公式：

式（7）中：ATT為衰減損耗；f為電磁波頻率；d為其傳播距離。

設(shè)P0為無線電波初始振幅，結(jié)合式（7）利用分貝的定義得出功率P隨距離d的衰減公式P=P0/（1032.45f2d2），從而得到了功率隨距離平方變化的衰減系數(shù)k=1032.45f2。

對一塊反射板單元，其接收的無線電波與其在拋物面開口所在平面上的投影所接收的相同。同樣對饋源倉圓面關(guān)于該三角反射板的對稱圓面，假設(shè)入射無線電波能夠穿過反射板繼續(xù)沿z′負方向移動，其接收信號為能到達對稱圓面在拋物面開口所在平面上的投影穿過三角板的信號。而對于對稱圓面的方程，可以通過選取原圓面不共線的3 個向量求解方程組。設(shè)該反射單元在x′Cy′的投影區(qū)域為G，對應(yīng)對稱圓面投影區(qū)域為K，如圖3 所示。兩者重疊區(qū)域M=G∩K。對于確定了反射單元的對稱圓面有唯一方程確定其所在平面z=f（x，y）ij。故可對區(qū)域M進行二重積分：

圖3 反射單元與對稱圓面投影示意圖

進而對各個反射板單元的功率進行求和得到接收功率：

求解二重積分時，發(fā)現(xiàn)運算時間很長，難求出最終結(jié)果，因此將化簡為近似表達式。分析發(fā)現(xiàn)，對于二重積分對應(yīng)的柱體，可利用其投影前的圓心對應(yīng)的函數(shù)值近似柱體的高。對于積分區(qū)間，可通過對稱圓面的法向量對夾角進行計算。利用對稱圓面在x′Cy′的橢圓投影為固定面積，求出橢圓中心（x0，y0，z0）的對應(yīng)函數(shù)值為整個積分區(qū)域內(nèi)的平均能流密度，該橢圓長軸為1，短軸為圓面與x′Cy′夾角余弦，給出圓面法向量n，x′Cy′單位法向量e=（0，0，1），進而推出更便于計算的近似表達式：

設(shè)每個反射單元的效率Pij為關(guān)于時間的函數(shù)，其對時間的積分與入射的平均功率和時間的乘積之比即為饋源倉的接收比r，為[5]：

2 模型評價與推廣

本文使用改進的模擬退火算法，實現(xiàn)了對大量參數(shù)的擬合，精簡了計算量，更好地擬合了理想拋物面。在計算饋源比時，引入Poynting 矢量，在時間的維度上對饋源艙接收信號的過程進行刻畫，更好地體現(xiàn)接收比。

本文并未考慮各反射面單位自身曲率，因此必然對擬合理想拋物面以及饋源艙接收比的計算產(chǎn)生影響。