第52屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題2的介紹與解答

王 槿，惠王偉，董 校，宋 峰，孔勇發

(南開大學 a.物理科學學院；b.基礎物理國家級實驗教學示范中心，天津 300071)

2022年7月10-17日，南開大學物理科學學院率領中國代表隊參加了由瑞士主辦的第52屆國際物理奧林匹克競賽(International Physics Olympiad，IPhO).比賽采取線上形式，其中實驗考試采用全線上遠程虛擬考試.實驗試題有2道，分別為行星(Planet)和柱狀二極管(Cylindrical diode)[1].實驗試題總分20分，試題1計12分，試題2計8分.本文主要介紹實驗試題2的命題、虛擬實驗考試流程和試題解答，并且結合物理背景知識和實際應用分析命題背景、參賽選手的答題情況.

1 試 題

1.1 實驗裝置與任務

實驗裝置示意圖如圖1所示，柱狀真空二極管由2個同軸圓柱體組成.其中，半徑為Re、長度為Le的圓柱體為發射極，可以發射電子.這些電子通過真空腔體到達半徑為Rc、有效長度可以視為無限長的集電極.集電極具有正電勢V，發射極接地，因此電子從發射極被吸引至集電極.將發射極加熱，逸出的電子因為電勢差被加速運動至集電極.電子在真空中激發形成了等離子體.由于等離子體的性質，真空二極管中通過的最大電流由集電極的電勢以及二極管的幾何參量共同決定.

圖1 實驗裝置示意圖

在實驗過程中，測量要求Rc≥5Re.當Le相對Rc足夠大時，通過真空二極管的最大電流為

(1)

其中C是關于無量綱比值Rc/Re的函數.

當Le與Rc接近時，需要對式(1)進行修正.通過真空二極管的最大電流修正為

IL=I∞F(Rc,Re,Le,V),

(2)

其中F無量綱，且是關于Rc，Re，Le和V參量中部分或所有變量的函數.式(1)是式(2)中F=1的特殊情況.

實驗時，模擬仿真范圍為：圓柱體的半徑變化從0.1～20.0 cm，以0.1 cm為最小變化幅度；圓柱體的長度變化為1.0～99.0 cm，同樣以0.1 cm為最小變化幅度.在實驗中提供模擬電源，集電極的正電壓調節范圍為0～2 000 V.電流表用于測量通過真空二極管的電流.

1.2 仿真軟件說明

仿真程序名為Exp2，允許對不同的一系列輸入參量(集電極半徑Rc、發射極半徑Re、長度Le以及發射極與集電極之間的電位差V)進行無限次最大電流I的測量.在相應提示后，通過鍵盤可輸入對應參量的值，并通過按回車鍵(Enter鍵)進行確認.

為了開始實驗操作，在界面提示時使用以下授權密碼:12345678.888.若輸入密碼不正確，程序將進入測試模式，需要重新啟動程序.程序的某個模擬循環的典型界面如圖2所示.

圖2 程序運行的典型界面圖

首先輸入集電極半徑，然后輸入發射極半徑和長度(單位均為cm)，最后輸入電勢差(單位為V).每次輸入按回車鍵確認，然后程序進行循環，返回到集電極的半徑進行下次輸入.若輸入值超出實驗范圍，系統將報錯“Value Out Of Bounds”，然后返回到回答錯誤的提示界面.

所有的長度測量只記錄到最接近的mm值，而所有的電壓測量只記錄到最接近的V值;輸入任何更精確的數值并不能提高測量精度.任意長度測量的最大不確定度為0.5 mm.任意電壓測量的最大不確定度為0.5 V.因此，重復測量可能會得到不同的電流值.

1.3 試題

1.3.1 A部分：確定指數值(4.5分)

確定式(1)中的指數值，并給出每個結果的誤差邊界.

A.1 采集一系列用來確定變量V的指數值γ的數據，在提供的作圖紙上作出合適的圖;為了作圖方便，提供了線性圖紙和對數-對數圖紙，但只需要選擇其中一種作圖.求出數值γ，給出結果的不確定度.(1.5分)

A.2 采集一系列用來確定變量Le的指數值β的數據.在提供的作圖紙中作出合適的圖，只畫1張圖即可.求出數值β，給出結果的不確定度.(1.5 分)

A.3 采集一系列用來確定變量Rc的指數值α的數據.在提供的作圖紙中作出合適的圖，只畫1張圖即可.求出數值α，給出結果的不確定度.(1.5分)

1.3.2 B部分：確定系數C(1.0分)

當Rc=10Re時，求出C的值.

B.1 當Rc=10Re時，通過采集額外的數據或利用以前的數據，求出C值，給出結果的不確定度.(1.0分)

1.3.3 C部分:求出無量綱函數F(2.5分)

當Le和Rc接近時，通過實驗確定Rc，Re，Le和V等參量如何影響式(2)中的F.

C.1 在答題卡的變量列表中，確定各個變量影響F的變化趨勢.例如，當Rc增加時，F是增加、減小還是保持不變?(0.5分)

2 試題解答

2.1 A部分解答

A.1,A.2和A.3的考核方式類似，分別求解系數γ，β和α.首先對式(1)進行對數變換：

lgI∞=lgC+αlgRc+βlgLe+γlgV.

(3)

以A.1為例，根據題意，測量要求Rc≥5Re，Le相對Rc足夠大，因此選擇Rc=10 cm,Re=1.0 cm,Le=99 cm.在10～2 000 V選擇8個數據點，改變發射極-集電極之間的電位差V并運行實驗程序，得到通過真空二極管的最大電流I，如表1所示.

表1 A.1部分的實驗數據

將表1中的lgV和lgI數據繪圖，如圖3所示.根據線性擬合的結果，可以得到γ=1.491±0.005.

圖3 通過真空二極管的最大電流I與發射極-集電極間電位差V的對數關系圖

2.2 B部分解答

將A部分求得的系數α,β和γ代入式(1)，并利用3組測量數據得到系數C=(0.014 6±0.000 3)mA/V3/2.這里也可以采用量綱分析，系數簡化為α=-1,β=1,γ=1.5.

2.3 C部分解答

表2 C.1部分的實驗數據

當F(x)=A+Bx，可以發現，選擇答題卡中的x關于Rc/Le的表達式比較合理.令Rc=10Re，V=2 000 V,改變x=Rc/Le的值.實驗時，需要固定Le改變Rc，或者固定Rc改變Le，來改變比值x.C.3部分實驗數據如表3所示.繪制F-x圖，如圖4所示.斜率為0.195，即為參量B.

表3 C.3部分的實驗數據

圖4 F-x關系圖

3 討論與總結

3.1 實驗命題的背景調研

真空二極管是重要的非線性元件，是獲得高功率帶電粒子束、高功率微波、X射線、γ射線等的關鍵器件.1858年，德國物理學家尤利烏斯·普呂克在進行低壓氣體放電研究的過程中發現陰極射線.1897年，J.J.湯姆孫通過電磁偏轉的方法測量了電子比荷.在一維非相對論情況下，假設陰極表面的電場和電子初始速度均為0，無限大(或者陰極半徑遠大于陰陽極間隙)圓柱對稱的平面二極管的電流密度滿足Child-Langmuir(C-L)定律[2-3]，即

(4)

其中，me和e分別為電子的質量和電荷量，V為二極管間隙電壓，R為二極管陰陽極間距，ε0為真空介電常量.

1923年，Langmuir和Blodgett給出了2個有限長共軸圓柱間的單位長度空間電荷限制電流JD的表達式[4]，在距離圓心r處，有

(5)

目前，關于真空二極管的相關研究已經拓展到多維模型、量子領域及超快過程[5].二極管的有限尺寸、陰極材料、陽極材料等都會影響通過二極管的最大電流.實際應用中需要對經典的C-L定律進行修正[5-7]，其中，對二極管有限尺寸的修正涉及對陰極邊緣效應、二極管縱橫比及二極管結構的修正[8].試題主要考慮關于縱橫比的修正，與系數x=Rc/Re有關.需要注意的是，命題對采用的模型進行了近似.命題中的空間限制電流發射模型基于over-injection模型，也存在其他多種研究模型[8].C-L定律分子部分的二極管陰陽極間距與式(1)中的集電極半徑不同，考慮Rc=10Re進行了近似處理.

基礎物理實驗“真空的獲得與測量”涉及相關知識[9].熱陰極真空電離規管可用于高真空的真空度測量.螺旋燈絲被加熱釋放電子，形成發射電流.管內氣體分子受到高速電子碰撞而電離，生成正離子流并且被收集極捕獲.在一定范圍內，發射電流固定時，離子流與壓強成正比.

試題2略去了上述的物理背景和應用，基于模型，從考核角度出發考查了學生設計實驗、實驗數據處理等方面的能力.實驗設計上，需要選擇合理的初始參量，會控制變量進行多組實驗.實驗數據處理上，需要熟悉列表法、作圖法、最小二乘法擬合曲線等.特別地，需要熟練運用作圖法中的曲線改直，并會進行誤差估計.

3.2 參賽學生的答題情況

圖5顯示了參與本次實驗考試的368名學生關于柱狀二極管的答題情況，總平均分3.61分，28.5%學生得分率超過60%.中國隊參賽學生在此題的最高得分為7.95分，平均分7.48分，整體水平位于前列.一般情況下，實驗考試評分細則主要涵蓋5個方面，即：理論闡述、數據、繪圖、擬合和實驗結果的表達.在柱狀二極管實驗中，理論闡述方面要求不多.中國隊參賽學生在繪圖、擬合和實驗結果的表達上很少失分，體現了扎實的基本功.主要失分點集中在數據部分，包括：設計實驗時參量區間的選擇、數據計算、不確定度的分析與計算.對設計實驗能力和數據處理能力的要求提高，是虛擬考試的新特點.

圖5 柱狀二極管實驗的答題情況

本屆競賽實驗評分細則在爭分環節前的4 h進行了若干處重要更新.尤其是B.1部分，教師和學生通力協作，利用郵件向組委會提交了計算結果和更正建議.幾乎同一時間，新的評分細則被發布，涵蓋了該項調整.對于B.1部分不確定度的評定仍然存在爭議，即利用不確定度的傳遞評定誤差，還是僅僅多次測量評定隨機誤差.

目前，在大學基礎物理實驗教學中，關于不確定度的分析和處理是重點，也是難點.不確定度分析非常重要，例如在某些項目的可行性分析中，綜合評定實驗誤差尤為重要，選擇合適的測量儀器和測量方式，考查實驗路線是否滿足最后的要求指標.科學系統的分析可以提供清晰的技術難點，以制定合理的科學技術路線.用誤差理論來指導實驗設計，選定合理參量，是今后實驗教學中需要強化的內容.

4 結束語

本屆國際物理奧林匹克競賽實驗命題具有豐富的物理背景和內涵，并將難以在實驗室進行的常規實驗通過虛擬方式進行了展現.如何將奧賽的物理背景和考查方式與具體的實驗課程結合并融會貫通是挑戰，也啟發教師在實驗教學中真正做到“以賽促教、以賽促學、以賽促研”，培養學生通過基礎物理實驗學習提升發現問題和解決問題的能力.

致謝：感謝參與試題翻譯、備賽的南開大學周蘇羽、李培增等本科生志愿者.感謝參與本次奧賽培訓、選拔與遠程考試的各位老師！感謝中國科學技術協會、中國物理學會、天津市物理學會等單位和部門對賽事的支持！