巧用軸對稱性探求線段最值問題

文／袁國富

軸對稱圖形是一種常見的平面圖形。本章從生活中的圖形入手，探究了軸對稱圖形的性質，并在此基礎上進一步探索線段、角、等腰三角形的性質及相關判定，是初中數學的重要內容，也是中考考查的熱點。其中，借助軸對稱思想解決線段最值，即“將軍飲馬”問題，同學們往往因不會構造軸對稱模型而無從下手。其實這類問題的本質是利用軸對稱思想，將幾條線段轉化到同一直線上，利用兩點之間線段最短或垂線段最短來解決。下面，就開啟我們的探究之旅吧。

例古希臘有一位數學家，名叫海倫。有一天，一位將軍向他請教一個問題：從A地出發到河邊飲馬，然后回到B地，如何確定飲馬點P，使得路程最短呢？

【分析】我們可以把這個實際問題轉化為數學問題，即點A、B在直線l的同側，如圖1，在直線l上找一點P，使PA＋PB最小。

圖1

我們不妨分析點P滿足的條件，條件1是點P在直線l上，條件2是PA＋PB最短。若直接連接AB，線段AB與直線l沒有交點，要有交點則需將點A和點B轉化到直線l的異側。如何轉化呢？我們不妨固定點B，此時在直線l的下方找到點A關于直線l的軸對稱點A′。如圖2，作點A關于l的對稱點A′，連接A′B，與l的交點P即為所求。

圖2

為什么“PA＋PB”是最小的呢？如圖3，在直線l上任取一點P′（不與點P重合），連接P′A′、P′B。因為P′A′＋P′B＞PA′＋PB，再由軸對稱性可知PA=PA′，所以P′A′＋P′B＞PA＋PB，所以PA＋PB最小。

圖3

上述的最值問題源于著名的“將軍飲馬”問題，解決此問題的思想就是利用軸對稱的性質化折線為直線，根據“兩點之間線段最短”求最小值。攻略是先找一條定線，再確定兩個定點，然后作其中一個定點關于這條定線的對稱點，最后連接對稱點與另一個定點，和直線的交點即為動點位置。此類問題可歸納為以下步驟：定線、定點、對稱、連線、找交點。掌握了上面的最值模型，我們就來大展身手吧。

變式訓練如圖4，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D是BC的中點，AD=4，點E和F分別是AD、AC上的動點，求CE＋EF的最小值。

圖4

【分析】求CE＋EF最小值，參照“將軍飲馬”模型，通過軸對稱轉化的方式來實現共線，確定最小值。根據等腰三角形的軸對稱性可知，點C和點B關于直線AD對稱，連接BE、BF，如圖5。當B、E、F三點共線時，BE+EF最小，即CE＋EF最小，最小值為線段BF的長。根據“垂線段最短”，即當BF⊥AC時，BF最小，所以求出AC邊上的高BF，即為CE＋EF的最小值。

圖5

幾何學習中經常出現結構簡單、內涵豐富的基本圖形，我們可將其作為解題的基本模型，如本文所講的“將軍飲馬”最值模型。在學習過程中，同學們不僅要能知模和用模，更重要的是理解模型背后的數學原理。“將軍飲馬”模型實際上是軸對稱性質、“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”定理的綜合運用，本質是運用軸對稱進行等線段變換，再根據兩個最值的知識源將折線化為直線，即可順利破解。