“做”中感悟推理論證

文／王競進

第2章軸對稱圖形

組稿團隊：江蘇省建湖縣王競進初中數學名師工作室

領銜人：王競進（正高級教師）

“軸對稱圖形”是蘇科版數學八（上）第2章的內容。在小學階段，我們已經了解了線段、角，認識了等腰三角形、等邊三角形，進入初中后，還學習了平行線、全等三角形，掌握了它們的概念、性質和應用，并發展了我們的思考和表達能力。對于本章內容，我們該如何進行學習呢？接下來，我們來一起了解本章學習的整體思路，以期幫助同學們構建完整的知識結構。

一、在“做”中感悟概念

本章的內容包括軸對稱與軸對稱圖形、軸對稱的性質、設計軸對稱圖案、線段與角的軸對稱性以及等腰三角形的軸對稱性，需要同學們親自體會、認識并概括出它們的概念和基本性質。比如，線段是軸對稱圖形，同學們往往不借助實踐操作，以為它的對稱軸只有這條線段的垂直平分線，但通過動手操作，就會發現，它還有另外一條對稱軸，就是這條線段所在的直線；又如，我們沿著等腰三角形ABC（如圖1）頂角的角平分線AD進行折疊，發現△ABD、△ACD是能夠完全重合的，進而猜想、概括等腰三角形的性質。

圖1

同學們在“做”的過程中，逐漸領悟本章的這些知識點。從知識結構上來看，它們之間也是密切聯系、相輔相成的，是一個完整的、有機的整體。其關系可以用圖2表示，彰顯出數學素養的要求，讓我們從生活中的軸對稱現象抽象出生活中的軸對稱或軸對稱圖形，也使得我們經歷了從特殊到一般的過程，感受類比思想和方法。

圖2

二、在論證中培養推理能力

教材在本章還安排了折紙、畫圖、猜想等多種形式的數學活動，讓我們感受到軸對稱圖形的數學本質。在經歷實踐操作、猜想的過程中，我們進行驗證和恰當的數學分析，證明自己發現的結論是正確的，從而培養發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力以及邏輯推理能力。

例如，對于上述等腰三角形的性質，應用全等三角形的條件與性質進行如下的推理與證明。

如圖1，因為AD=AD，∠BAD=∠CAD，AB=AC，所以△ABD≌△ACD（SAS），所以∠B=∠C，BD=CD。

三、在一題多解中提升思維品質

等腰三角形的判定條件“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，也就是如圖3，在△ABC中，∠B=∠C。那么，我們如何證明AB=AC呢？

圖3

如圖4，我們可以作∠BAC的角平分線AD，也可以作中線AD，還可以作高線AD，都能夠得到△ABD≌△ACD，進而得到AB=AC。其實，我們還可以根據其他三角形全等，證明AB=AC。如圖3，∠C=∠B，BC=CB，∠B=∠C，所以△ABC≌△ACB，所以AB=AC。

圖4

無論是在研究平行線的性質與條件、全等三角形的性質與條件，還是研究本章學習的軸對稱圖形的性質與條件時，我們都要能夠在“做”數學的過程中感悟方法、學會推理論證，養成善于思考、樂于反思的好習慣，不斷提升自己的思維品質。