“變”中找“不變”轉(zhuǎn)化單位“1”
——自編教材《轉(zhuǎn)化單位“1”》教學(xué)例談

文|錢定娟 蔣明玉（特級教師）

【教學(xué)過程】

一、回憶策略，喚醒“轉(zhuǎn)化”

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了很多解決問題的策略：從條件想起、從問題想起、列表策略、畫圖策略、列舉策略、轉(zhuǎn)化策略、假設(shè)策略（課件相應(yīng)演示每個(gè)例題圖）。五年級下學(xué)期學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化策略，你還記得嗎？

生：通過平移、旋轉(zhuǎn)等方法，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形。

師：不直接相加，而是用1 減去空白部分，把繁瑣的分?jǐn)?shù)連加轉(zhuǎn)化為相對簡單的分?jǐn)?shù)減法。有人說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是不斷學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的，把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的。

【設(shè)計(jì)意圖：小學(xué)從三年級起學(xué)了一系列的數(shù)學(xué)思想方法以及解決問題的策略，配合相應(yīng)例題圖一一呈現(xiàn)，喚起學(xué)生的回憶，聚焦“轉(zhuǎn)化”策略，再一次感受“轉(zhuǎn)化”的魅力，也為下文的“轉(zhuǎn)化”埋下伏筆?！?/p>

二、例題教學(xué)，凸顯“轉(zhuǎn)化”

1.轉(zhuǎn)化單位“1”，已知量作單位“1”。

生：總?cè)藬?shù)平均分成5 份，男生有這樣的2 份。

生：男生2 份，女生3 份，還可以畫個(gè)圖，讓數(shù)量關(guān)系變得更加清晰。

師：想法真不錯(cuò)！（展示學(xué)生畫的線段圖）更清楚地看出男生人數(shù)是2 份，女生人數(shù)是3 份。

師：你會(huì)解答這一題嗎？比一比誰的解法更簡便。

生2：5-2=3，女生人數(shù)3 份，女生21 人，先求出1 份多少人，再求男生2 份多少人。

師：題目中原來是以“總?cè)藬?shù)”作單位“1”，現(xiàn)在他把誰作單位“1”了？

生：女生人數(shù)作單位“1”。

師：（追問生3）你為什么以女生人數(shù)作單位“1”？

生3：已知的是女生人數(shù)，那么以女生人數(shù)作單位“1”就是單位“1”已知了，好算。

師：原來是“總?cè)藬?shù)”作單位1，現(xiàn)在轉(zhuǎn)化為“女生人數(shù)”作單位1，這樣就叫“轉(zhuǎn)化單位1”。（板書：轉(zhuǎn)化單位1）這樣轉(zhuǎn)化了單位1，你覺得怎么樣？

生：以已知數(shù)量作單位“1”，直接用單位1 乘分率，解答很簡便。

學(xué)生解答后追問：原來單位“1”是誰？現(xiàn)在你轉(zhuǎn)化為誰作單位“1”？

小結(jié)：轉(zhuǎn)化單位1，以已知量作單位1，思路更簡捷、計(jì)算更簡便。（板書：已知量）

【設(shè)計(jì)意圖：六年級下冊的《解決問題策略》第1 課時(shí)例題，作為本課的例1 教學(xué)，旨在讓學(xué)生更直觀地感受“轉(zhuǎn)化”，更強(qiáng)烈地感受轉(zhuǎn)化單位“1”的好處。轉(zhuǎn)化后，以“已知量”作單位“1”，簡縮了思考路徑，計(jì)算變得很簡便?！?/p>

2.轉(zhuǎn)化單位“1”，不變量作單位“1”，“不同”變“相同”。

出示例題：猴王把一棵樹上的桃分給大、中、小三只猴。大猴說：“我分得12 個(gè)?！毙『镎f：“我分得的是其余兩只猴的?！敝泻镎f：“我分得是其余兩只猴的?！睒渖瞎灿卸嗌賯€(gè)桃？

學(xué)生讀題后，找一找兩個(gè)關(guān)系句，單位“1”分別是誰？

生：都是“其余兩只猴總數(shù)”。

師：都是“其余兩只猴總數(shù)”，那單位“1”相同，對嗎？

（學(xué)生中有的頷首，有的搖頭，有的舉手）

生：不對，不相同，小猴說的其余兩只指的是“中猴和大猴”，中猴說的其余兩只指的是“小猴和大猴”。

師：對于自身以外的其余兩只，的確不相同！單位“1”不同，那怎么辦？

生：轉(zhuǎn)化單位“1”，讓單位“1”相同！

師：轉(zhuǎn)化成都以誰作單位“1”呢？為什么？

生：以三只猴分的桃總數(shù)作單位“1”，因?yàn)樘易涌倲?shù)是不變量的。

師：怎樣轉(zhuǎn)化，各猴分的占總數(shù)的幾分之幾？

師：解決問題的策略都不會(huì)孤立使用，這里我們除了用轉(zhuǎn)化策略，仍然可以用畫圖策略。

（師生合作完成線段圖，強(qiáng)調(diào)標(biāo)上問題，才是完整的線段圖）

師：要求單位“1”總量，現(xiàn)在你會(huì)解答了嗎？學(xué)習(xí)紙上算一算。

（指名板演，有用方程解答的，也有直接用對應(yīng)數(shù)量除以對應(yīng)分率求單位“1”的）

師：同學(xué)們，解答這一題時(shí)，我們經(jīng)歷了怎樣的思考過程？

生：我們發(fā)現(xiàn)單位“1”看似相同，實(shí)際根本不相同。

生：我們轉(zhuǎn)化單位“1”，以桃子總數(shù)作單位“1”，因?yàn)樘易涌倲?shù)是固定不變的。

生：我們或列方程，或列算式解答。

小結(jié)：題目中原先單位“1”在變化，我們把不同的單位“1”變?yōu)橄嗤?，以不變量作為單位?”，想小猴、中猴分別分得總量的幾分之幾，進(jìn)而問題迎刃而解。（板書：不變量）

【設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生在變化中激活思維、打開思路，逐步形成有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。在這樣的過程中，學(xué)生先是意識(shí)到“其余兩只”貌似一樣的字詞但內(nèi)涵不一樣，接著會(huì)自問“單位1 不相同，那怎樣就統(tǒng)一單位‘1’了呢？”不僅使接下來的探索活動(dòng)自然順暢，而且也為接下來的探究活動(dòng)提供正確的目標(biāo)和方向。】

3.轉(zhuǎn)化單位“1”，“變”中找“不變”。

出示：甲乙兩班原來學(xué)生人數(shù)的比是7∶8，如果從乙班調(diào)8 人到甲班，則甲班學(xué)生人數(shù)是乙班的。兩班共有多少人？

師：比轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，原來甲班人數(shù)是乙班的幾分之幾？現(xiàn)在呢？

師：兩個(gè)關(guān)系句的單位“1”都是乙班人數(shù)，對此你有什么想說？

生：跟剛才一樣，看似相同但實(shí)質(zhì)上不一樣。

生：從乙班調(diào)8 人到甲班，則乙班人數(shù)在變化，甲班人數(shù)也在變化。

師：那你準(zhǔn)備怎樣來解決這個(gè)問題？

生：轉(zhuǎn)化單位“1”。

師：轉(zhuǎn)化成以誰作單位“1”呢？怎樣轉(zhuǎn)化？學(xué)習(xí)紙上填一填。

師：為什么以總?cè)藬?shù)作單位“1”？

師：如果我們從乙班人數(shù)的變化來思考，又該怎樣解答呢？學(xué)習(xí)紙上寫一寫。

【設(shè)計(jì)意圖：有了前一個(gè)例題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能很快發(fā)現(xiàn)原題單位“1”——乙班人數(shù)在變化，先后人數(shù)不同。在尋找新的單位“1”后，開始建模：如何確定不變量為單位“1”、同一個(gè)量變化前后分別占單位“1”的分率是多少、由相差分率與對應(yīng)的變化數(shù)量求出單位“1”。在經(jīng)歷所有的轉(zhuǎn)化以及解答后，再從乙班人數(shù)變化角度思考，相當(dāng)于完成一道“試一試”或“練一練”?！?/p>

4.引進(jìn)“通比”，溝通聯(lián)系。

師：同學(xué)們，我們轉(zhuǎn)化單位“1”，以不變量（板書：不變量）作單位“1”，那除了從分?jǐn)?shù)（板書：分?jǐn)?shù)）角度，我們還可以從份數(shù)角度來思考。（板書：份數(shù)）

師：原來甲乙兩班人數(shù)比是7∶8，兩班總?cè)藬?shù)是15 份；現(xiàn)在情況怎樣，誰來說？

生：現(xiàn)在甲班5 份、乙班4份，總?cè)藬?shù)9 份。

師：明明總?cè)藬?shù)沒有增加也沒有減少，怎么份數(shù)不一樣？

生：是不是每一份的標(biāo)準(zhǔn)不一樣？

師：就像比較兩個(gè)圖形的面積大小要統(tǒng)一面積單位一樣，在這里我們也要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)讓總?cè)藬?shù)的份數(shù)相同。這個(gè)過程，我們稱之為“通比”（板書：通比），分?jǐn)?shù)中兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)變?yōu)橥帜阜謹(jǐn)?shù)叫“通分”，比中讓不變量的份數(shù)相同就叫“通比”。

師：15 份和9 份都變?yōu)槎嗌俜荩繛槭裁矗?/p>

生：15 份和9 份都變?yōu)?5 份，因?yàn)?5 和9 的最小公倍數(shù)是45。

師：那原來甲班、乙班人數(shù)各幾份，現(xiàn)在呢？相應(yīng)的變化在你的學(xué)習(xí)紙上對應(yīng)著寫一寫。

師：為了防止混淆，我們用橫線劃去通比前的。大家看，甲班人數(shù)增加幾份？乙班呢？

生：甲班增加4 份，乙班減少的也是4 份。

師：接下來怎么算？寫一寫算式。你覺得要提醒大家注意什么？

生：這個(gè)時(shí)候一定要用通比后的份數(shù)，2 乘45 等于90 人。

師：“通比”是從份數(shù)角度思考，換個(gè)角度思考，會(huì)有別有洞天的發(fā)現(xiàn)！

小結(jié)：同學(xué)們，這一題甲乙兩班人數(shù)都在變化，但是總?cè)藬?shù)不變。我們從分?jǐn)?shù)角度思考，轉(zhuǎn)化單位“1”，把不變量作單位“1 ”，看變化量原來、現(xiàn)在各占它的幾分之幾。我們又從份數(shù)角度思考，“通比”把不變量統(tǒng)一成相同份數(shù)，看變化量的份數(shù)變化情況，先求一份再求幾份。

師：同學(xué)們，從通比中的總?cè)藬?shù)45 份，相差4 份，你看到了轉(zhuǎn)化單位“1”方法中的哪個(gè)數(shù)了？

師：通比方法是轉(zhuǎn)化單位“1 ”方法的升級版！

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的思維是開放的，思維被激活，已漸入佳境。通過“轉(zhuǎn)化單位‘1’”方法與“通比”方法之間的溝通聯(lián)系，讓不同解題策略有了整體的關(guān)聯(lián)，從而使學(xué)生的解題策略更加聚焦，思維從發(fā)散走向嚴(yán)謹(jǐn)、縝密。】

三、總結(jié)提升，暢談“轉(zhuǎn)化”

（略）

【教后反思】

一、是“直面迎擊”還是“側(cè)面繞行”

抓不變量思考，是六年級綜合問題中一種典型問題，大大小小的練習(xí)材料中屢見不鮮，這類問題之所以難以解答，在于比較量的分率往往不以同一標(biāo)準(zhǔn)量為據(jù)，即所謂的單位“1”不統(tǒng)一。對于這類問題是直面迎擊、透徹解決，還是委婉避開、側(cè)面繞行呢？在我看來，這完全取決于學(xué)生的思考、分析、理解是否力所能及。數(shù)學(xué)知識(shí)的編排既要符合知識(shí)本身的發(fā)展規(guī)律，更要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。學(xué)生習(xí)得的知識(shí)點(diǎn)往往以“碎片化”的方式貯存，及時(shí)進(jìn)行梳理、盤點(diǎn)、整合，才能將相對獨(dú)立的“碎片化”的知識(shí)串成線、集成塊、連成網(wǎng)。

課始從復(fù)習(xí)小學(xué)階段學(xué)習(xí)過哪些策略入手，喚醒學(xué)生的記憶，然后開門見山地凸顯出“轉(zhuǎn)化”策略，為課堂省下很多有效的學(xué)習(xí)時(shí)間。從轉(zhuǎn)化“已知量”作單位“1”，到轉(zhuǎn)化“不變量”作單位“1”，層層遞進(jìn)。大膽地重組教材，選取學(xué)生們力所能及的問題深層剖析，抽絲剝繭，既迎合學(xué)生探索的心理需求，又在此過程中思維能力拾級而上。

二、是“問題引領(lǐng)”還是“搭梯攀爬”

六年級下冊第三單元《解決問題的策略》的例1，是選擇合適的策略解決問題，也有一題多解的用意。但安排在本節(jié)課開始，則是為了凸顯“轉(zhuǎn)化”，以“未知量”作單位“1”轉(zhuǎn)化為以“已知量”作單位“1”，思考的路徑簡短了，計(jì)算起來簡便了。如果說例1 的轉(zhuǎn)化功效并非必要、唯一，只是錦上添花、好中求佳，那么例2 的轉(zhuǎn)化則是必要的、唯一的解決問題方法、策略。

例1 讓學(xué)生們感受到何為“轉(zhuǎn)化單位‘1’”、轉(zhuǎn)化有何奧妙之處，“轉(zhuǎn)化”意識(shí)可謂在例1 的啟示下生根、發(fā)芽、開花。而出示例2后，讓學(xué)生通過問題引領(lǐng)自主思考——“兩句關(guān)系句單位‘1’是誰？相同嗎？”“不相同怎么辦？”，一步步逼近思考的核心：轉(zhuǎn)化成以誰為單位“1”？各占單位“1”的幾分之幾？怎樣解答？自然想到轉(zhuǎn)化為“不變量”即總量作單位“1”，啟發(fā)學(xué)生在變化中激活思維、打開思路，逐步形成有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題。而這一轉(zhuǎn)化的過程，由學(xué)生在課時(shí)作業(yè)紙上完成，讓每位學(xué)生都親歷轉(zhuǎn)化。

思考是一種搜尋更廣、潛入更深、更富挑戰(zhàn)性的深層智力活動(dòng)，是學(xué)生對數(shù)學(xué)對象深刻、理性的認(rèn)識(shí)過程。正所謂好的問題猶如一石激起千層浪，讓學(xué)生沉浸在思考的漣漪之中；又如柳暗花明又一村，讓學(xué)生在探索頓悟中感受思考的樂趣，思考是艱苦的過程，更是一個(gè)享受的過程。要引發(fā)學(xué)生“智力振奮”的狀態(tài)，就要將問題這顆“石子”投擲于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生的思維鼓蕩、蔓延和發(fā)散。

三、是“背道而馳”還是“溝通聯(lián)系”

轉(zhuǎn)化單位“1”的方法，是從分?jǐn)?shù)角度思考，兩個(gè)量分別占不變量的幾分之幾，進(jìn)而列方程或列算式解答；通比的方法則從份數(shù)角度思考，抓住不變量，讓其份數(shù)相同，再看變化量的份數(shù)變化情況，先求一份，再求幾份。在近幾年的教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)覺這種方法還頗受學(xué)生歡迎，同一道練習(xí)題完成時(shí)，選用“通比”方法的比選用“轉(zhuǎn)化單位‘1’”方法的人數(shù)要多，感覺應(yīng)該與這種方法只涉及整數(shù)范圍的運(yùn)算有關(guān)。

老實(shí)說，開始也顧慮擔(dān)心，因?yàn)楸菊n課題是轉(zhuǎn)化單位“1”，通比方法中不用單位“1”，直接從份數(shù)角度思考，會(huì)不會(huì)有與課題大相徑庭的“嫌疑”呢？會(huì)不會(huì)被質(zhì)疑“背道而馳”呢？但細(xì)細(xì)琢磨、比較，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，通比其實(shí)只是轉(zhuǎn)化單位“1”的分解步驟而已，通比中的“總?cè)藬?shù)45 份，相差4 份”，也就是轉(zhuǎn)化單位“1”方法中相差數(shù)量所對應(yīng)的分率。引進(jìn)“通比”，溝通兩者間聯(lián)系，不僅解決了這一尷尬境地，而且讓學(xué)生們深度學(xué)習(xí)，思維不斷走向深入，變得通透、遼遠(yuǎn)。學(xué)生的解題方法是多元的，思維是開放的，通過方法與方法之間的溝通，讓不同解題策略有了整體的關(guān)聯(lián)，從而使學(xué)生的解題策略更加聚焦，思維也從發(fā)散走向嚴(yán)謹(jǐn)、縝密。