加強(qiáng)概念變式增進(jìn)概念理解
——《梯形的認(rèn)識(shí)》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評(píng)與教學(xué)建議

文|章威維 陳楚楚 宋煜陽(yáng)

一、習(xí)題展評(píng)

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容。

在下面兩個(gè)圖形中分別添加一條線段，使它形成梯形。（每個(gè)圖形各畫(huà)四個(gè)）

圖1

圖2

說(shuō)一說(shuō)：圖1 改畫(huà)為梯形，你是怎樣想的？_______________。

圖2 呢？_______________。

2.能力指向。

對(duì)梯形定義的理解。通過(guò)梯形的分割活動(dòng)，考查學(xué)生對(duì)梯形概念的了解程度。要形成梯形，在沒(méi)有平行線的圖形中，需要?jiǎng)?chuàng)造出一組平行線；在平行四邊形中需要破壞一組平行線，使圖形只有一組平行線，強(qiáng)化“只有一組對(duì)邊平行”的定義理解。

3.學(xué)情分析。

對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)39 名學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)，發(fā)現(xiàn)一半以上的學(xué)生對(duì)圖1 能畫(huà)出2、3 個(gè)梯形，圖2 基本能畫(huà)對(duì)。圖1 中58.9%的學(xué)生畫(huà)出與線段a 構(gòu)成一組平行線的梯形，38.5%的學(xué)生畫(huà)出與線段b 或線段d 構(gòu)成一組平行線的梯形，只有12.8%的學(xué)生畫(huà)出與線段c構(gòu)成一組平行線的梯形。可見(jiàn)學(xué)生對(duì)一般四邊形中分割出梯形，有需要?jiǎng)?chuàng)造出一組平行線這樣的意識(shí)，但對(duì)平行線的方位，還是趨向于水平方向的最多。69.2%的學(xué)生無(wú)法清楚地寫(xiě)出“說(shuō)一說(shuō)”中畫(huà)出梯形的依據(jù)，只會(huì)根據(jù)圖形描述成：“把四邊形分割成一個(gè)梯形和三角形”，不能從梯形的概念去說(shuō)明如何從一般四邊形或平行四邊形中分割出梯形。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容。

在下面圖形中任選兩個(gè)圖形進(jìn)行隨意交叉擺放，重疊部分會(huì)形成不同形狀的圖形。按要求選擇合適的序號(hào)并畫(huà)出草圖。

2.能力指向。

對(duì)各個(gè)圖形特征的掌握與應(yīng)用。通過(guò)兩個(gè)圖形交叉后重疊部分圖形的判斷，考查學(xué)生對(duì)圖形特征的認(rèn)知，發(fā)展學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象能力。

3.學(xué)情分析。

測(cè)評(píng)統(tǒng)計(jì)顯示，試測(cè)班級(jí)中12.8%的學(xué)生能全部正確解答，但大部分的學(xué)生只能回答正確（1）（2）（3）小題，解答兩個(gè)圖形重疊部分是六邊形出現(xiàn)困難。錯(cuò)例中部分學(xué)生畫(huà)成了五邊形，如下圖。

這個(gè)錯(cuò)誤體現(xiàn)出學(xué)生缺少對(duì)不規(guī)則多邊形圖形的認(rèn)知。學(xué)生平時(shí)常見(jiàn)的圖形都是規(guī)則的圖形，如六邊形常見(jiàn)的是正六邊形的圖示，但對(duì)不規(guī)則六邊形學(xué)生就不敏感，已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的缺乏導(dǎo)致解題困難。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容。

在下面方格圖中，在格點(diǎn)上（方格交點(diǎn)）添加一個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)梯形ABCD，點(diǎn)D 的位置有（）種選法。請(qǐng)?jiān)诟褡訄D里畫(huà)出所有梯形，標(biāo)注出點(diǎn)D 的序號(hào)，如第一種D1，第二種D2。

2.能力指向。

對(duì)梯形概念變式和梯形特征的辨析。根據(jù)三個(gè)點(diǎn)找第四個(gè)點(diǎn)形成梯形，在動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)中，考查學(xué)生對(duì)梯形概念的理解和特征的掌握，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

3.學(xué)情分析。

根據(jù)學(xué)生解答的具體表現(xiàn)，劃分為五個(gè)水平層次，如下表。（表格見(jiàn)文末）

測(cè)試班級(jí)學(xué)生的水平大多集中于水平1、水平2 和水平3。問(wèn)題主要反映為概念變式認(rèn)識(shí)不充足，局限于標(biāo)準(zhǔn)梯形（兩底水平方向）和直角梯形等特殊梯形的認(rèn)知，對(duì)一般梯形（兩底不在水平方向或兩腰接近平行）辨認(rèn)度低。60%的學(xué)生能找到形成直角梯形的點(diǎn)D；43.5%的學(xué)生能找到與AB 邊平行的線段DC 上的三個(gè)點(diǎn)，還有20%的學(xué)生錯(cuò)誤地把形成平行四邊形的那個(gè)點(diǎn)也標(biāo)進(jìn)去了。另外的三個(gè)點(diǎn)，需要調(diào)用與BC 邊平行的線段認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生明顯碰到了困難，只有15.6%的學(xué)生能找到其中的1、2 個(gè)點(diǎn)，達(dá)到水平4 的不足6%，說(shuō)明對(duì)梯形概念特征的靈活辨析能力還不足。

二、教學(xué)建議

1.在操作和辨析中，建構(gòu)圖形特征，強(qiáng)化概念理解。

在建立標(biāo)準(zhǔn)梯形的表象時(shí)，學(xué)生對(duì)于“兩條底不在水平方向”或“兩條腰接近平行”這些非標(biāo)準(zhǔn)圖形的一般梯形，容易出現(xiàn)辨識(shí)困難，需要通過(guò)變式材料的操作、辨析幫助學(xué)生建構(gòu)概念。教學(xué)中，一方面通過(guò)畫(huà)不同梯形的活動(dòng)，在比較中凸顯梯形的本質(zhì)屬性；另一方面通過(guò)變式圖形辨析活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從形和邊這兩個(gè)角度去判斷，以強(qiáng)化梯形的特征。像習(xí)題一添加線段的過(guò)程中，在一般四邊形中努力找出一組平行線，建立“沒(méi)有平行線的四邊形需要?jiǎng)?chuàng)造一組平行線”的操作經(jīng)驗(yàn)；而在平行四邊形中，則需要破壞一組平行線，使它們不平行。這樣的操作，都指向“只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形”這一概念本質(zhì)理解。

2.在分割和移動(dòng)中，加強(qiáng)圖形聯(lián)系，發(fā)展空間觀念。

在四邊形概念體系中，梯形與其他四邊形的關(guān)系非常密切。需要打通各圖形之間的聯(lián)系壁壘，通過(guò)分割或移動(dòng)，建立梯形與其他圖形的聯(lián)系。如，移動(dòng)梯形的上底，當(dāng)上底與下底一樣長(zhǎng)時(shí)，就變成了平行四邊形；當(dāng)上底為零時(shí)，就變成了三角形。又如，在一個(gè)梯形中畫(huà)一條線段，既能分割成平行四邊形和梯形，也能分割成兩個(gè)三角形，還能分割成兩個(gè)梯形或一個(gè)梯形和一個(gè)三角形等。這些分割和移動(dòng)，有效溝通了梯形與其他圖形的關(guān)系，培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象能力。教學(xué)中，可以動(dòng)態(tài)演示一個(gè)梯形，隨著一個(gè)點(diǎn)的不斷移動(dòng)，從“標(biāo)準(zhǔn)梯形——等腰梯形——直角梯形——平行四邊形——兩腰接近平行的梯形——三角形”進(jìn)行轉(zhuǎn)變，圖形的變動(dòng)引發(fā)了特征的變化，促使學(xué)生對(duì)梯形與平行四邊形、三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系理解更為清晰。