新混沌系統的有界性及其界估計

張 勇，尹社會，張光云，張付臣，袁 紅

(1.河南工業職業技術學院，河南 南陽 473009；2.西南石油大學外國語學院，四川 成都 610500；3.重慶工商大學數學與統計學院，重慶 400067；4.臨沂大學理學院，山東 臨沂 276005)

新混沌系統的有界性及其界估計

張 勇1，尹社會1，張光云2，張付臣3，袁 紅4

(1.河南工業職業技術學院，河南 南陽 473009；2.西南石油大學外國語學院，四川 成都 610500；3.重慶工商大學數學與統計學院，重慶 400067；4.臨沂大學理學院，山東 臨沂 276005)

借助一簇適當的Lyapunov函數和一元函數極值理論，研究了在a>k>0，b>0，c>0均為正參數情況下的一類金融混沌系統的有界性.結果表明，數值模擬與理論計算的結果相吻合.

金融混沌系統；有界性；數值仿真

一個混沌系統有界是指該系統的軌線在相空間中有界.如果可以證明一個自治混沌系統存在全局指數吸引集，那么我們可以斷定在這個全局指數吸引集之外不存在該混沌系統的平衡位置、 周期解、 概周期解、 游蕩回復解和其他任何混沌吸引子.俄羅斯著名學者G.A.Leonov和廖曉昕等分別研究了著名Lorenz系統的最終界和全局指數吸引集[1-2].隨后，一些學者研究了其他混沌系統的有界性[3-10].我們將研究一個新金融混沌系統解的最終界，以便為該混沌系統的控制、同步提供理論依據[11].

1 數學模型

蔡國梁等[12]研究了一個改進的金融混沌系統：

(1)

其中：a>k>0，b，c為系統的正參數.當a=0.6，b=0.2，c=0.9，k=0.5，系統初值選擇為(x(0)，y(0)，z(0))=(1，3，4)時，系統軌線的相圖見圖1. 取時間t=1 000 s，系統的各個變量隨時間演化的波形圖見圖2.

有關系統(1)的一些動力學行為研究如控制和同步在文獻[12]中已有報道，但是還有一些動力學行為沒有涉及.我們將研究當a>k>0，b，c均為正參數時，這類系統(1)解的有界性.

2 系統解的有界性

定理1 存在正數β>0，使集合Ψ={(x，y，z)|x2+y2+(z-λ)2≤β，λ≥0}是系統(1)的最終有界和正向不變集.

證明 做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數

V(X)=V(x，y，z)=x2+y2+(z-λ)2，λ≥0.

圖1 系統在各個三維空間上軌線相圖

圖2 各個變量隨時間演化的波形圖

沿著系統(1)的正半軌線計算V(x，y，z)的導數，有

定理1雖然指出了系統(1)的正半軌線最終進入一個有界區域，即系統(1)的正半軌線是最終有界的，但是沒有指出該有界區域的大小和軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計，對于軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計，我們有下面的定理.

定理2 令

V(X)=V(x，y，z)=x2+y2+(z-λ)2，λ≥0.

則當V(X(t))≥L0，V(X0)>L0(t≥t0)時，對于系統(1)的正半軌線，我們有指數估計式

[V(X(t))-L0]≤[V(X0)-L0]e-η(t-t0).

(2)

特別的，集合Ω={(x，y，z)|x2+y2+(z-λ)2≤L0}，為系統(1)的一個全局指數吸引集.其中：

證明 做廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數

V(X)=V(x，y，z)=x2+y2+(z-λ)2，λ≥0.

令

f(X)=-(a-k)x2+2λx，h(y)=-by2+2y，

(3)

當a>k>0，b>0，c>0時，經過簡單計算有

沿著系統(1)的正半軌線計算V(x，y，z)的導數，當V(X(t))≥L0，V(X0)>L0時，有

即有

(4)

根據微分方程比較定理，當V(X(t))≥L0，V(X0)>L0(t≥t0)時，對(4)式兩邊積分有

V(X(t))-L0≤[V(X0)-L0]e-η(t-t0).

注記

(1) 取參數a=0.6，b=0.2，c=0.9，k=0.5，λ=0[12]，這時我們有

取參數a=0.6，b=0.2，c=0.9，k=0.5，λ=1[12]，這時有

由定理2，系統(1)的正半軌線包含在Ω2={(x，y，z)|x2+y2+(z-1)2≤159=(12.61)2}之中，如圖4所示.

圖3 系統的正半軌線包含在三維橢球Ω1內

圖4 系統的正半軌線包含在三維橢球Ω2內

(3) 我們可以斷定在全局指數吸引集Ω之外不存在金融混沌系統(1)的的平衡位置、 周期解、 概周期解、 游蕩回復解和其他任何混沌吸引子.

3 結論

通過構造合適的李雅普諾夫函數簇，研究了在a>k>0，b>0，c>0均為正參數的情況下一類非線性金融系統(1)的有界性，得到了該類系統的最終界估計表達式，并且得到了軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計式.數值模擬表明了方案的可行性.

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(責任編輯：石紹慶)

Boundedness of solutions of a novel system and simulation

ZHANG Yong1，YIN She-hui1，ZHANG Guang-yun2，ZHANG Fu-chen3，Yuan Hong4

(1.Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473009，China；2.School of Foreign Languages，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；3.School of Mathemaitics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China；4. School of Science，Linyi University，Linyi 276005，China)

The boundedness of a class of finance chaotic systems was studied via constructing a Lyapunov function and the function extreme value theory for all positive parametersa>k>0，b>0，c>0 in this paper. Numerical simulations are presented to show the effectiveness of the proposed scheme. Numerical simulation is consistent with the results of theoretical calculation.

finance chaotic system；the boundedness；numerical simulations

1000-1832(2014)04-0081-04

10.11672/dbsdzk2014-04-015

2013-08-19

重慶市自然科學基金資助項目(2009BB3185)；中央高校基本科研業務費(CDJXS 10 10 00 29；CDJXS 11 10 00 26)；南陽市科技發展計劃項目(2013GG048)；重慶市前沿與應用基礎研究一般項目(cstc2014jcyjA00040).

張勇 (1981—)，男，講師，主要從事大學數學教學與研究；張付臣(1983—)，男，博士，講師，主要從事常微分方程穩定性與分岔研究.

O 415.5 [學科代碼] 110·54

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